第一讲 向量

- 1 - 第一讲 向量 一、教学目标： 复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示．向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。 二、教学重难点： 1.重点：向量的运算及应用 2.难点：向量基本概念的理解，向量的应用 三、知识呈现：

1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量． 2．向量的表示：①用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB； 3．向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作AB

．

说明：(1)不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段． (2)向量不同于数量．数量之间可以比较大小，向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的． (3)向量的模（是正数或零）可以比较大小． 4．几组特殊的向量：①零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0或0． 说明：零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个．规定所有的零向量都相等． ②单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． ③平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．记作ab∥． 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．（3）规定：零向量与任意向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若a与b相等，记作ab． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．向量a的相反向量记为a． 5．向量加法的概念：已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OAa，ABb，则向量OB叫做a与b的和，记作ab，即abOAABOB．求两个向量和的运算叫做向量的加法． ①规定：0aa，0aaaa，即0ABBA；②向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后

向量的定义 向量的表示 向量间的关系 向量

相等向量

相反向量 共线向量 符号表示 几何表示 基底表示 坐标表示 向量的运算 加法 减法 数乘

向量的应用 数量积 平行与共线

长度 夹角

垂直 - 2 -

一个向量终点的有向线段所表示的向量；③向量加法的平行四边形法则： 说明：(1)求和向量必须共起点．(2)向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共线向量相加，仍用三角形法则． 6．向量加法的运算律：交换律：abba；结合律：abcabc．

7．向量减法的有关概念:若bxa，则向量x叫做a与b的差，记作ab，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 8．向量减法的作图方法:在平面内任取一点O，作OAa，OBb，则BABOOAOBOAa

，即ab表示从向量b的终点指向被减向量a的终点的向量．

9．向量的数乘的定义：一般的，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：（1）aa；(2 ) 当>0时，a与a方向相同，当<0时，a与a，方向相反，当＝0时，a＝0．实数与向量a相乘，叫做向量的数乘． 10．向量数乘的运算律：（1）()()aa (结合律)； （2）()aaa (分配律)；（3）()abab (分配律)． 11．向量共线定理：一般地，对于两个向量a（0a），b，如果有一个实数，使得(0)baa

，那么b与a是共线向量，反之，如果b与a（0a）是共线向量，那么有

且只有一个实数，使得ba． 12．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=11e+22e．我们把不共线的向量1e，2e



叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． 13．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j

作为基底，任取一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj ①，则把（x，y）叫做向量的直角坐标，记作：a=(x，y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式为向量的坐标表示． 14．向量坐标运算：已知),(11yxa，),(22yxb，1212(,)abxxyy，1212(,)abxxyy，),(11yxa．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数

与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 15．共线向量坐标表示的一般性结论：设a11(,)xy，b22(,)xy（a≠０），如果a∥b，那

么12210xyxy；反过来，如果12210xyxy，那么a∥b． 结论（简单表示）：向量a与b共线0b01221yxyxba． 16.向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB（0≤θ≤180°）叫做向量a和b的夹角．特别地，当θ=0时，a与b同向；当θ=180时，a与b反向；当θ=90时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b． - 3 -

17. 平面向量数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积（或内积）（scalar product of vectors），记作a·b，即：a·b=|a||b|cosθ． 我们规定：零向量与任一向量的数量积为0． 向量数量积模的性质：当a与b 同向时，a·b=|a||b|；当a与b 反向时，a·b=－|a||b|． 特别地，a·a=|a|2或|a|= a·a．

向量数量积的运算律：设向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： （1）a·b=b·a；（交换律）； （2）（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）=λa·b；（结合律）； （3）（a+b）·c=a·c+b·c．（分配律）。 18.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为a= (x1,y1)，b= (x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2．

即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 推论及公式：  设a=（x，y），则a2=x2+y2，即|a|=x2+y2．

 两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为AB = 221212xxyy．

 a=(x1,y1)，b= (x2,y2)，它们的夹角为θ，则有121222221122cosxxyyxyxyabab

 0abab

1212xxyy=0．

19.请写出向量有关运算（加、减、数乘、数量积等）的几何意义与物理学原型：

四、典型例题： 1、向量共线定理 向量共线的充要条件的两种表达形式： ①、//ab(0)b(,0)abRb；

②//ab(0)b且设11(,)axy，22(,)bxy12210xyxy（1212,,,xxyyR） 注1：（三点共线有公共点的两个共线向量） 注2：（两直线平行无公共点的两个共线向量） 注：比较向量共线与线段共线的区别

向量运算/定理/定义 几何意义 物理学原型 相反向量：a 作用力与反作用力 加法：a + b 三角形法则（平行四边形法则） 位移的合成、力的合成

减法：a  b 三角形法则（减法是加法的逆运算） 数乘：λa 共线向量（b = λa (a0) b//a） 位移=速度×时间 平面向量基本定理 力的分解 数量积： a·b = |a| |b| cosθ 功 - 4 -

三点共线定理：当OA，OB不共线时， OP=(1t) OA+ tOB（系数之和为1）A,B,P三点共线

例1（全国卷III）已知向量(,12),(4,5),(,10)OAkOBOCk，且A、B、C三点共线，则k=＿＿＿＿ 例2向量(2,)ax,(,8)bx，且//ab，求x

例3（全国卷Ⅱ）已知点A（3，1），B（0，0）C（3，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有其中,CEBC等于 （ ） A．2 B．21 C．－3 D．－31 【思考】（全国卷Ⅰ）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m =

2、向量的数量积（内积） 定义：0,0ab cos,ababab

坐标表示：设1122(,),(,)axybxy， 1212abxxyy cos,ababab的几何意义是： a的长度与向量b在a方向上的投影的乘积。

性质：1、abab 数量积的运算律：⑴交换律 ⑵数乘结合律 ⑶分配律 注：无结合律()()abcabc

无消去律 abac0abc或或()abc 例4(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是△ABC的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

例5（上海卷）直角坐标平面xoy中，若定点)2,1(A与动点),(yxP满足4OAOP，则点P的轨迹方程是__________。 例6（江苏卷）在ABC中，O为中线AM上一个动点,若AM=2，则)(OCOBOA的最