三次函数性质总结

三次函数性质的探索 ，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在我们已经学习了一次函数 取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？最大值与最小值，在某一区间 轴相交的位置．决定函数与y时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b利用已学过的知识得出：当k>0n][m， 上恒成立的充要条件在其中运用的较多的一次函数不等式性质是：0fx 0fm  0nf

接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：

图1 图2

利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，

对称轴上取得最小值；

当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，

对称轴上取得最大值．

在某一区间取得最大值与最小值．

其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．

总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？

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三次函数专题

一、定义：

320)d(aaxbxcxy 。形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义1、220)(aax2bxyc3acb124 ，把定义2、三次函数的导数叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。特别是文科。

3yx开始从最简单的三次函数 系列探究1：y

31xy 的相关性质呢？反思1：三次函数xO

31yx 的相关性质呢？反思2：三次函数311yx 反思3：三次函数的相关性质呢？3x2f(x)2xB 天津理）（2012（4）函数在区间(0,1)内的零点个数是

1 （B） ）0 （A3 D） （ （ C）2

23)0d(a(fx)axbxcx 的性质：：探究一般三次函数系列探究220)(aax2bxcf3(x) 先求导 ．单调性：12012ac(2b)△)(xf 上是增函数； 在，此时函数 （1）若R22012ac△(2b)x,xxx0c2bxf)(x3ax ，令（2）若且两根为，2211)xx,()x),((,x)xf( 在上单调递增，在 则上单调递减。2121

a>0 a<0

导函数 >0 0 >0 0

图

象

xxx 1 2

xx0 xxx2

1 xx0

2

2．极值点的个数：若函数f(x)在点x的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x )≤f(x))，则称函数f(x)000在点x处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。 00xfy,0△上不存在极值点。在1）若，此时函数无极值；三次函数 （xyf,0△>上的极值点要么有两个。在 2（）若，三次函数2x,xxx02cbxf(x)3ax，且 两根为且2121xxf(x))xf(，简言之： 此时函数波峰是为极大值在处取极大值 11xxf(x)，简言之：波谷是为极小值处取极小值

在22

论证如下：

令f′（x）=3ax+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f（x）=0的实根。 /2①当Δ=4b-12ac＞0时，方程f（x）=0有两个不等的实根，记为x、x， /221 则x、x是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点； 21②当Δ=4b-12ac =0时，该方程有两个等根：x=x=x，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增， 2012

此时y=f（x）没有极值点；

x

(-∞,x)

x （x，+∞) 000 + 0 f（x） + / f(x)

↖ ↗

③当Δ=4b-12ac＜0时，f（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。 /2

3.奇偶性：bd0时是奇函数。函数当且仅当

bb．对称性：4,f())(中心对称（了解） 函数图象关于点 3a3a3

32dbxcxf(x)axn2x)x)f(mf(m，对称的充要条件是n）关于点（m证明：三次函数， 即3232c(mx)d]mx)2b(mx)a[(mx)nb(mx)c(mx)d][a(，+

232n22mc2d)2b)x(2am2bm(6ma 整理得， ,可得据多项式恒等对应系数相等bb32f(m)f()mdmcnambm =且， a33abb))(,f( 从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； a33a

设函数的对称中心为（m，证明：n）。

将函数的图象平移，则所得函数按向量是奇函数，所以

化简得： ，。上式对，得恒成立，故

的对称中心是（）。 所以，函数 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对实际上：其导函数为b20c3ax2bxf(x)x 3a 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二图象的对称中心在导函数＝f(x)y＝称轴，可见，y 阶导为零的点。 由上又可得以下结论：xm)(xy(x)f'yf(x)yf)n(m,对称图象关于直线对称，则.

是可导函数，若的图象关于点yf(x)f(x)f(2mx)2n,),(mn 对称，则 的图象关于证明f(xx)f(x)f'(x)lim

x0x)2(xx)nf(xf)2)x(f2mxf(mx2nlimlim)2(mxf'

xx00xx)xx)f(xf()limxf'( x0xmx)x'yf(.

图象关于直线 对称

4

mx)x'(yyf(x)f)0m,(. 若图象关于点对称，则图象关于直线对称

mx)xf()2mf(x)yf(x 图象关于直线对称，则证明 ，)(xx)ff(xlimx)f'( )f(xf(xx)x0x)'(xlimf ， )xxx)f(2m(f2mx0x limf'(2mx) x0x)(xyf'0x)f'(x)'f(2m),0(m.

对称， 图象关于点

这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数

）图象的切线条数f三次函数（x系列探究3： 由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；

而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。

，求曲线在点（２，４）处的切线方程＋4/3＝已知曲线y x/3例.3

f′（２）＝４，，′（x）＝x解：f2 f′（２）＝４曲线在点（２，４）处的切线斜率为k＝ ，－４＝４（x－２）∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y －４y＝４x即

，则曲线过点（２，４）的切线方程。/3＝x＋4/3y变式：已知曲线3—————— －４＝０x错解：依上题，直接填上答案４－y

处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。A 错因剖析：如下图所示，在曲线上的点 上，它可以是切点也可以不是。4/3/3xy点（２，４）在曲线＝＋3

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正确解法：设过点（２，４）的切线对应的切点为（x，x/3＋4/3）， 300斜率为k=x，切线方程为y -（x/3＋4/3 ）=x（x-x） 2230000即y=xx- 2x/3+4/3 3200点（2，4）的坐标代入，得4=2x-

2x/3+ 4/3， 32002 x-6 x+8=0 ， ∴x-3x+4=0， 23230000又∵x+1-（3x-3）=0

2300（x+1）（x-x+1）-3（x-1）（x+1）=0 200000∴（x+1）（x-4x+4）=0 ∴x=-1或x=2 200000∴切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0

点评：一个是“在点（2，4）、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。 ”

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32f(x)axbxcxd(a0)的图像： 系列探究4：一般三次函数

a>0 a<0

导函数 >0 0 >0 0

图

象

xxx 1 2

xx0 xxx2

1 x0

x

三次方程的实数根：从数形结合的视角看

y

y yy

xO

xx x2 1 O

O

xO xx xxxxxxxxxxxx212121

）的图象与y=f（xx 轴交点个数三次函数

在实数集上怎样进行因式分解，交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d ）（x-x1记ax3+bx2+cx+d=a（）x-x2（x-x3）， 3个；，则交点为≠（ⅰ）若x1x2≠x3 ，则交点为2个。≠、（ⅱ）若x1、x2x3中有两个相等，不妨x1=x2x3 ，则交点为（ⅲ）若x1=x2=x31个； 轴只有一个交点。（＜ 有d2-4e0，y=fx）的图象与x，且x2+dx+e））（（ⅳ）若fx=a（x-x0（）

20acb(△2)12 ）若，方程有且只有一个实数解；1（220acb(△2)12xxx,x0f(xcbx3)ax2 ，，令两根为2（）若且2112xx0)()(fxfx)x(yf轴只有一个交点，，即函数极大值点和极小值点在①若轴同侧，图象均与21x或x ，所以原方程有且只有一个实根。则方程有且只有一个实数解，且21(f)(fxxx)0x)(,, ，且有②若，则方程有三个不同的实数解，21120或0)x(fx(f) ，则方程有两个不同的实数解③若21

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