高三数学三次函数图象和性质与四次函数问题
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三次函数与四次函数
大连市红旗高中王金泽 wjz9589＠
在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数中的应用
第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况
三次函数图象说明
a对图象的影响可以根据极限的思想去分析
当a＞0时，在x→+∞右向上伸展，x→-∞左向下伸展。
当a＜0时，在x→+∞右向下伸展，x→-∞左向上伸展。(可以联系二次函数a对开口的影响去联想三次函数右侧伸展情况)
与x轴有三个交点若0
3
2>
-ac
b,且
)
(
)
(
2
1
<
⋅x
f
x
f，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点
与x轴有二个交点若0
3
2>
-ac
b,且
)
(
)
(
2
1
=
⋅x
f
x
f，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点
与x轴有一个交点1。存在极值时即0
3
2>
-ac
b,且0
)
(
)
(
2
1
>
⋅x
f
x
f，既两个极值同号，图象与x轴有一个交点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。
1.()0f x =根的个数
三次函数d cx bx ax x f +++=2
3
)(
导函数为二次函数:)0(23)(2
/
≠++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(41242
2
ac b ac b -=-， (1) 若032
≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；
(2) 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有三个不相等的实根.
说明(1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032
≤-ac b （或032
>-ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）.
(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
032>-ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .
(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032
>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f .
2.极值情况：
三次函数d cx bx ax x f +++=2
3
)(（a ＞0）, 导函数为二次函数)0(23)(2
/
>++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(41242
2
ac b ac b -=-， (1) 若032
≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数；
(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中
a
ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.
证明：c bx ax x f ++=23)('2
, △=)3(41242
2
ac b ac b -=-，
(1) 当0≤∆ 即032≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数.
(2) 当0>∆ 即032
>-ac b 时，解方程0)('=x f ，得
a
ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=
由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数. 由0)(' 总结以上得到结论: 三次函数)0()(2 3>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032 ≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值； (2) 若032 >-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值. 由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。 【例题1】：（2005全国二卷）设a 为实数，函数3 2 ()f x x x x a =--+． （Ⅰ）求()f x 的极值； （Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点． 解：（I ）f x x x '()=--3212 若f x '()=0，则x =-1 3 1， 当x 变化时，)(),('x f x f 变化情况如下表： x ()-∞-，1 3 -13 ()-1 3 1， 1 ()1，+∞ f x '() ＋ 0 － 0 ＋ f x () ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以f(x)的极大值是a f += -27 5 )3 1(，极小值是f a ()11=- （II ）函数f x x x x a x x a ()()()=--+=-++-3 2 2 111 由此可知x 取足够大的正数时，有f x ()>0，x 取足够小的负数时有f x ()<0，所以曲线y f x =()与x 轴 至少有一个交点。结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值