高中数学-三次函数的性质：单调区间和极值测试

3．3.3三次函数的性质：单调区间和极值1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．三次函数的导数零点与其单调区间和极值设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．填写下表：当a>0时，当a<0时，要点一求三次函数的单调区间和极值点例1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)＝2x3＋3x2＋6x＋1；(2)f(x)＝－2x3＋9x2－12x－7.解(1)f′(x)＝6x2＋6x＋6＝6(x2＋x＋1)．由于f′(x)恒正，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增．无极值点．(2)f′(x)＝－6x2＋18x－12＝－6(x2－3x＋2)＝－6(x－1)(x－2)．∴f′(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上均为负，在(1,2)上为正，∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上递减，在(1,2)上递增，∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2为其极大值点．规律方法对此类题目，只要理解了f′(x)的符号对函数f(x)取极值的影响，所有问题便迎刃而解，所以重要的是方法的领悟．跟踪演练1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)＝－x3＋x2－x；(2)f(x)＝x3－12x2－2x－5.解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x －1， ∵Δ＝22－4×(－3)×(－1)＝－8<0， 又∵－3<0，∴f ′(x )<0恒成立． 故函数f (x )在R 上单调递减且无极值点． (2)f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.根据f (x )的单调性及f ′(x )＝0的零点知x ＝1为函数f (x )的极小值点，x ＝－23为其极大值点．要点二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间上的最大值． 解 ∵f (x )＝x 2(x －a )，∴f ′(x )＝x (3x －2a )． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a 3. 当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (0<a ≤2)，0 (2<a <3)，综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (a ≤2).0 (a >2)，规律方法 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．跟踪演练2 在本例中，将区间改为结果如何？ 解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0； ②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在上单调递减， 从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3.综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.要点三 函数极值的应用例3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：maxh(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪演练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)∪(2,3)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c>f(1)，∴x∈时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，∴c 的取值范围为(－∞，－19，＋∞)．1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈时，f ′(x )<0， 故f (x )在上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间上的最大值为10，则其最小值为________．答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.1．求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．。

三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。

它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数△=，若方程的判别式，则在R 上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。

若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i ）当时，有一个零点；（ii ）当时，有两个零点；32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠x ,,,a b c d2()32f x ax bx c '=++xx 0a >0a <)3(412422ac b ac b -=-()0f x '=0∆≤()f x (,)-∞+∞()0f x '=0∆>1x 2x ()f x 12()()0f x f x ⋅>()fx xxxx12()()0f x f x ⋅=()f x（iii ）当时，有三个零点。

3、对称中心三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称. 证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称. 4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数（1） (2012·大纲全国高考)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1答案：A（2）函数f(x)=x 3-3x 2+x -1的图象关于（ ）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033xxxx12()()0f x f x ⋅<()fx xx)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ))3(,3(abf a b --)('x f a b x 3-=abx 3-=)3()3)(3()3()(2323abf a b x a b c a b x a d cx bx ax x f -++-++=+++=x ab c ax x g )3()(23-+=)(x f ))3(,3(a b f a b --2条1条【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.解析 由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于成中心对称知选C（4）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（ ）A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x -1)(x -2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A(5) 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）（6）（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ） （A ）x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,,则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在上为减函数，在（x 2，,)上为增函数，故C 错。

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。

∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。

三次函数的性质：单调区间和极值典例剖析题型一 三次函数的单调区间和极值例1 设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值，并求出f （x ）的单调区间.题型二 求待定常数例 2 已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．备选题例3：已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.点击双基1.函数y =x 2（x －3）的减区间是（ ）A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2） 2、函数y=3x -3x+2在闭区间[]0,3-上的最大值和最小值分别为 （ ）A ，2，1，B 2 ，-18 C.1，-17 D 4，-16 3、函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ),0(+∞B )1,(-∞C ),(+∞-∞D ),1(+∞4、若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；5、曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；课外作业一 选择题：1. 函数x x x f 12)(3-=的“驻点”是 A ．1B.1- C ．2-和2D. 02．函数x x x x f --=23)(的单调减区间是A ．（)31,-∞- B.),1(∞ C ．（)31,-∞-，),1(∞ D.)1,31(- 3. 已知c ax x y +-=32在),(+∞-∞上的单调递增，则 （ ） A 、a ≤0且R c ∈ B 、,0≥a 且R c ∈C 、,0<a 且0=cD 、,0≤a 且0≠c4. 已知函数a ax x y 3423-+=的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的（ ） A 、0 B 、±3 C 、0或±3 D 、35. 已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是（ ）A.－37B.－29C.－5D.56. 设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的 图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )7. 若对任意的x 有34)(x x f ='-2且1)1(-=f ，则此函数的解析式可能是（ ） A 、4)(x x f =-2B 、2)(4+=x x fC 、2)(4-=x x f x+1D 、1)(4-=x x f8.54)(3++=x x x f 的图象在1=x 处的切线与圆5022=+y x 的位置关系是（ ） A 、相切 B 、相交但不过圆心C 、过圆心D 、相离二 填空题9、函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________10、函数f(x)=2x 3-3x 2-12x +5在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是 ．11、若函数y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________.三 解答题12、 已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值13、设函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象与y 轴的交点为P ，且曲线f(x)在P 点出处的切线方程为24x+y －12=0，又函数在x=2出处取得极值－16，求该函数的单调递减区间．14、若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.思悟小结1． 形如 d cx bx ax y +++=23(a≠0,b,c,d 为常数)的函数叫做三次函数，三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线（不同于普通抛物线）。

专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤． 当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤； 由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点； 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析 方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意； 当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思 在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。

3．3.3三次函数的性质：单调区间和极值[读教材·填要点]设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数，可能有以下三种情形：(1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号．①若a>0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(2)函数F′(x)有一个零点x＝w.①若a>0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(3)函数F′(x)有两个零点x＝u和x＝v，设u<v.①若a>0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增.可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值．②若a<0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减.可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值．[小问题·大思维]1．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值；当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．2．若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上有且只有一个极小值点，那么该极小值是否是函数的最小值？提示：借助图象可知，该极小值就是函数的最小值．求下列函数的单调区间和极值．(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝－x3＋12x＋6.[自主解答](1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，令y′＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：当x＝－3时，函数有极大值，且y极大值＝57；当x＝1时，函数有极小值，且y极小值＝－7.(2)y′＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)，令y′＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调增区间为(－2,2)．当x＝－2时，y有极小值，且y极小值＝f(－2)＝－10；当x＝2时，y有极大值，且y极大值＝f(2)＝22.(1)求多项式函数的单调区间，关键是求出f′(x)后，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(2)单调区间可以是开区间，如果区间端点在定义域内，也可写成闭区间．1．求函数y＝8x3－12x2＋6x＋1的极值．解：y′＝24x2－24x＋6＝6(4x2－4x＋1)，令y′＝6(4x2－4x＋1)＝0，解得x1＝x2＝1 2.当x变化时，y′，y的变化情况如表所示：所以此函数无极值．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝－x 3＋x 2＋x ＋1，x ∈[－3,2]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]． [自主解答] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1， 令f ′(x )＝－(3x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝2时，f (x )取最小值－1； 当x ＝－3时，f (x )取最大值34.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0，且x 0∈[a ，b ]；(3)求最值，有两种方式：①是将f (x 0)的值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值；②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值．2．求函数f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5在区间[－2,2]上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝12x 2＋6x －36＝6(2x 2＋x －6)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝32.又f (－2)＝57，f ⎝⎛⎭⎫32＝－1154，f (2)＝－23， ∴函数f (x )的最大值为57，最小值为－1154.设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．[自主解答] (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0， 即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163. 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.(1)f (x )在区间I 上为增函数⇒f ′(x )≥0在区间I 上恒成立，f (x )在区间I 上为减函数⇒f ′(x )≤0在区间I 上恒成立．(2)由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527， 又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－2时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若x ∈[－3,2]时都有f (x )>2c －12恒成立，求c 的取值范围．[巧思] 解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))恒成立问题转化为F (x )＝f (x )－g (x )>0(F (x )＝f (x )－g (x )<0)恒成立问题，再用导数方法探讨F (x )的单调性及最值．[妙解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f ′(－2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，12－4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－6.(2)由(1)知f ′(x )＝3x 2＋3x －6. 令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：∴f (x )在[－3,2]上的最小值为c －72.即2c －12<c －72，∴c <－3，∴c 的取值范围为(－∞，－3)．1．下面四幅图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是( )A ．①③B ．③④C ．②③④D ．②④解析：根据函数的单调性与其导函数函数值之间的关系，易得③④一定不正确． 答案：B2．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调递减区间为( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)，(2，＋∞)解析：f ′(x )＝6x 2－18x ＋12， 令f ′(x )＜0，得1＜x ＜2. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．答案：D4．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－195．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)是R 上的增函数，则a ，b ，c 的关系式为________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在R 上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4b 2－12ac ≤0，从而解得a >0，且b 2≤3ac .答案：a>0且b2≤3ac6．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0，或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.故x＝0时，f(x)最大值是3.一、选择题1．函数y＝f(x)在[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值解析：由最值与极值的概念可知，D选项正确．答案：D2．函数y＝x3－3x＋3在区间[－3,3]上的最小值为()A．1B．5C．12 D．－15解析：y′＝3x2－3，令y′＝0，得3x2－3＝0，∴x＝1或x＝－1.当－1<x<1时，y′<0；当x>1或x<－1时，y′>0，∴y极小值＝1，y极大值＝5.又当x＝－3时，y＝－15；当x＝3时，y＝21，∴y min＝－15.答案：D3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有()A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有－2和4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.答案：B4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为________． 解析：f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 令f ′(x )<0，得－1<x <11. ∴f (x )的单调递减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)6．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，∵f (x )在R 上是单调函数， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．解析：∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∴Δ＝4a 2＋96b >0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6.ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，∴ab 的最大值为9.答案：98．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，对任意x ∈[－1,2]都有f (x )>m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝3x 2－x －2＝0，得x ＝－23或x ＝1，由题意知只要f (x )min >m 即可， 易知f (x )min ＝f (1)＝72，所以m <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 三、解答题9．求下列各函数的最值： (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x (x <0)．解：(1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：又因为f (x )在区间端点处的函数值为f (－3)＝0， f (3)＝－18，所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2， 所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表： 单调递增 单调递减 单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)； 递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

三次函数的性质：单调区间和极值
【学习目标】
1．了解三次函数的图象和简单性质，三次函数与二次函数的联系。

2．会用导数研究三次函数的单调性，并且求解出三次函数的单调区间，认识它们之间的内在联系，进一步培养运算能力。

3．会用导数研究三次函数的极值，并且学会求解，认识事物之间的相互联系，培养辨证思维能力
【学习重难点】
重点：理解并掌握三次函数的单调区间和极值。

难点：理解并掌握求解三次函数的单调区间和极值的步骤，会运用到解决实际问题当中。

【学习过程】
一、新课学习。

知识点一：三次函数的单调区间和极值。

三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点是容易求出的。

所以，用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极大极小，这个增减区间，就是三次函数的单调区间，列出表格，对函数的极大极小值点就可以一目了然。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．指出函数3234y x x =+-的单调递增区间。

2．指出函数32454y x x x =+-的单调递减区间。

3．若函数()323321y x ax a x =++++有极大值和极小值，求a 的取值范围。

4．函数326y x x a =-+的极值是什么？
二、课程总结。

1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测。

1．求下列函数在指定闭区间上的最大值和最小值。

（1）()[]32241,2,1f x x x x =+-+-；（2）()()[]2e 43,3,2x f x x x =-+-。

2．求解函数322611y x x =-+的单调减区间及极值。