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解三角形.板块一.三角形中的有关问题.学生版

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【例1】 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosB （ ）

A．14 B．34 C．24 D．23

【例2】 在ABC中，下列等式总能成立的是 （ ）

()AcoscosaCcA ()B sinsinbCcA

()CsinsinabCbcB ()DsinsinaCcA

【例3】 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是 （ ）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

【例4】 △ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为23，那么b等于 （ ）

A.231 B.1+3 C.232 D.2+3

【例5】 若ABC的内角A满足2sin23A，则sincosAA ( )

A.153 B．153 C．53 D．53

【例6】 在△ABC中，“sinsinAB”是“AB”的 （ ）

A 充分不必要条件 B必要不充分条件 典例分析

板块一. 三角形中的

有关问题 2 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

【例7】 在△ABC中，若2222()sin()()sinabABabC，则△ABC是（ ）

A 等腰三角形 B直角三角形

C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形

【例8】 ,,abc是ABC三边长，若满足等式()()abcabcab，则角C的大小为 （ ）

()A060 ()B090 ()C0120 ()D0150

【例9】 在△ABC中，已知tantan33tantanABAB且3sincos4AA，则△ABC是 （ ）

A 正三角形 B正三角形或直角三角形

C 直角三角形 D 等腰三角形

【例10】 在△ABC中，,33ABC，则△ABC的周长为 （ ）

A． 43sin()33B B．43sin()36B

Ｃ． 6sin()33B Ｄ．6sin()36B

【例11】 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且BC边上的高为2a，则cbbc的最大值为 （ ）

A．22 B 2 C 2 D 4

【例12】 在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）

A.0020,45,80bAC B.030,28,60acB

C.014,16,45abA D. 012,15,120acA

3

【例13】 在ABC中，已知5cos13A，3sin5B，则cosC的值为（ ）

A 1665 B 5665 C 1665或 5665 D 1665

【例14】 若钝角三角形三边长为1a、2a、3a，则a的取值范围是 ．

【例15】 在ABCC中，060,1,3,sinsinsinABCabcAbSABC则= ．

【例16】 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，若00105,45AB，

22b，由c= ．

【例17】 在△ABC中，2b，3c，△ABC面积32S，由A= ．

【例18】 在ABC中，若∠C=60°，则cabcba=_______.

【例19】 在锐角ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.

【例20】 已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．

【例21】 在△ABC中，7,8,9abc，则AC边上的中线BD长为 ．

【例22】 在ABC△，角,,ABC所对的边分别是,,abc，若三角形的面积14S222abc，则∠C的度数是_______.

【例23】 在ABC△中，sinA=CBCBcoscossinsin，判断这个三角形的形状.

4 【例24】 在ABC△中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且22acacbc，求∠A的大小及cBbsin的值.

【例25】 如图，D是直角ABC△斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=.

(1)．证明 sincos20;

（2）．若AC=3DC,求的值.

【例26】 ABC中，内角,,ABC成等差数列，边长8,7ab，求边c及ABC面积．

【例27】 在ABC中，cba,,分别为角CBA,,的对边，已知ABCc,27的面积为323，且tantan3tantan3ABAB．求ba的值．

【例28】 已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为2.

（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.

【例29】 在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.

证明：222cba=CBAsinsin）（.

【例30】 已知圆内接四边形ABCD的边长分别是2,6,4ABBCCDDA，求四边形ABCD的面积． 5 DCBA

【例31】 在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，若,,abc成等比数列，且2cos28cos50BB，求角B的大小并判断△ABC的形状．

【例32】 在ABC△中，,,ABC所对的边分别为,,abc，且1cos3A

（1）求2sincos22BCA的值；

（2）若3a，求bc的最大值；

【例33】 在ABC△中，,,ABC所对的边分别为,,abc，设,,abc满足条件

222bcbca和132cb，求A和tanB的值．

【例34】 如图，已知ABC△是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC△的中心G，设MGA（233）

（1）试将AGM△、AGN△的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；

（2）求221211SSy＋的最大值与最小值． 6 NMGDCBA

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解直角三角形

解直角三角形

板块一 解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.

二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：

⑴ 三边之间的关系：222abc (勾股定理)；

⑵ 锐角之间的关系：90AB；

⑶ 边角之间的关系：sinaAc，cosbAc，tanaAb，cotbAa.

三、 解直角三角形的四种基本类型

⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)，由sinaAc求出A，则90BA，22bca；

⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)，求出90BA，sinacA，cosbcA；

⑶ 已知一直角边和一锐角(如a和锐角A)，求出90BA，cotbaA，sinacA；

⑷ 已知两直角边(如a和b)，求出22cab，由tanaAb，得90BA.

具体解题时要善于选用公式及其变式，如sinaAc可写成sinacA，sinacA等.

四、解直角三角形的方法

解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：

当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；

无斜边时，就用正切或余切；

当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；

既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．

直角三角形两锐角间的三角函数关系

（五）解直角三角形的技巧及注意点

在RtABC中，90AB，故sincos(90)cosAAB，cossinAB，tancotAB，cottanAB.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．

（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型

对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；

解三角形专题(学生版)

解三角形专题(学生版)

解三角形专题

1.(2022·湖北荆州·荆州中学校联考模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分

别为a,b,c，B=60°，a2=b2+c2-bc，延长BC至D，使BD=5，△ACD的面积为332．

(1)求AB的长；

(2)求△ACD外接圆的面积．

2.(2022·湖北武汉·统考模拟预测)在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，

b，c，且c-bsinC=a-bsinA+sinB(1)求A；

(2)若D为BC上的点，AD平分角A，且c=32，AD=3，求BDDC.二轮复习训练专题12

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3.(2022·湖北·房县第一中学校联考模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2cos2C-cosC=2cos2B-2sin2A+cosA-B.

(1)求角C；

(2)若a+b=4，求c的取值范围.

4.(2022·湖北·校联考模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分

∠BAD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosB+acosC+

ccosA=0

(1)求B；

(2)若AB=CD=2，△ABC的面积为2，求AD二轮复习训练专题12

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5.(2022·湖北·校联考模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若

b2+c2-a2=2absinC.(1)求角A；

(2)若AB=32,AC=3，点P在线段BC上，且CP=13CB,Q是线段AC中点，

AP与BQ交于点M，求cos∠AMB.

6.(2022·湖北武汉·统考模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD=π2，

AB=1，∠ABC=3π4.

(1)当BC=2，CD=7时，求△ACD的面积；

(2)当∠ADC=π6，AD=2时，求cos∠ACD.二轮复习训练专题12

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7.(2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测)如图，在△ABC中，

已知AB=2，AC=23，∠BAC=30°，BC边上的中线AM与∠ABC的角平分线BN相交于点P．

专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版)

1 专题24 解三角形中的最值、范围问题

解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,acacac三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.

1、正弦定理：2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC外接圆的半径

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网

例如：（1）222222sinsinsinsinsinABABCababc

（2）coscossincossincossinbCcBaBCCBA（恒等式）

（3）22sinsinsinbcBCaA

2、余弦定理：2222cosabcbcA

变式：2221cosabcbcA 此公式在已知,aA的情况下，配合均值不等式可得到bc和bc的最值

4、三角形中的不等关系

（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少

（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

sinsincoscosabABABAB

其中由coscosABAB利用的是余弦函数单调性，而sinsinABAB仅在一个三角形内有效.

数学精华教案：解三角形(1)附答案学生用

数学精华教案：解三角形(1)附答案学生用

学必求其心得，业必贵于专精

教案12 解三角形（1）

一、课前检测

1。设函数.sin)32cos()(2xxxf（Ⅰ)求函数)(xf的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设CBA,,为ABC的三个内角，若31cosB，41)2(Cf，且C为锐角，求Asin的值。

2。已知函数()sin()(0,||)fxx的图象如图所示。

(Ⅰ）求,的值;

（Ⅱ）设()()()4gxfxfx，求函数()gx的单调递增区间.

xyO1241学必求其心得，业必贵于专精

3。已知为锐角，且tan()24.

（Ⅰ）求tan的值；（Ⅱ）求sin2cossincos2的值。

二、知识梳理

(一)。三角形中的各种关系

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．

1．角与角关系：A+B+C = π，由A＝π－(B＋C）可得：

1)sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C）．

2）222CBA．有：2cos2sinCBA,2sin2cosCBA．

2．边与边关系：a + b 〉 c，b + c 〉 a，c + a 〉 b，

a－b < c，b－c 〈 a，c－a 〉 b．

3．边与角关系：

1）正弦定理 RCcBbAa2sinsinsin

变式有：①CBAcbasin:sin:sin::；

②CRcBRbARasin2,sin2,sin2；

③CBAcbaCcBbAasinsinsinsinsinsin；

④CBAcbasin:sin:sin::.

正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题.

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;

（2）已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步学必求其心得，业必贵于专精

求出其他的边和角）

2）余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC,b2 = a2+c2－2accosB，a2 =