第 1 页 共 10 页 等差数列
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d表示，即
＝d(n∈N＋，且n≥2)或 ＝d(n∈N＋)．
2．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的____________．
3．等差数列的通项公式
若{an}是等差数列，则其通项公式an＝ .
①{an}成等差数列⇔ an＝pn＋q，其中p＝ ，q＝ ，点(n，an)是直线 上一群孤立的点．
②单调性：d＞0时，{an}为 数列；d＜0时，{an}为 数列；d＝0时，{an}为 ．
4．等差数列的前n项和公式
(1)等差数列前n项和公式Sn＝ ＝ .其推导方法是 ．
(2){an}成等差数列，求Sn的最值：
若a1＞0，d＜0，且满足
1nna，a时，Sn最大；
若a1＜0，d＞0，且满足
1nna，a时，Sn最小；
或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．
5．等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
6．等差数列的性质
(1)am－an＝ d，即d＝am－anm－n.
等差数列常见结论
1， 判断给定的数列{}na是等差数列的方法
（1） 定义法：1nnaad是常数*()nN数列{}na是等差数列；
（2） 通项公式法：(,)naknbkb是常数数列{}na是等差数列；
（3） 前n项和法：数列{}na的前n项和
222(,0)nAnBnABBS是常数,A数列{}na是等差数列；
（4） 等差中项法：*212()nnnnNaaa数列{}na是等差数列；
2， 等差数列的通项公式的推广和公差的公式：
*()(,)nmaanmdnmN*(,,)nmaadnmNnmnm；
3， 若A是a与b的等差中项2Aab
4， 若数列{}na，{}nb都是等差数列且项数相同，则{},{},{},{}nnnnnnnkbababpaqb都是等差数列；
5， 等差数列{}na中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；
6， 等差数列{}na中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；
7， 若数列{}na是等差数列，且项数*,,,(,,,)mnpqmnpqN满足mnpq，则mnpqaaaa，反之也成立；当pq时，2mnpaaa，即pmnaaa是和的等差中项；
8， 若数列{}na是等差数列的充要条件是前n项和公式()nSfn，是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即222(,0)nAnBnABBS是常数,A；
9， 若数列{}na的前n项和2(,)nAnBnCABs是常数,C0，则数列{}na从第二项起是等差数列；
10， 若数列{}na是等差数列，前n项和为nS，则{}nSn也是等差数列，其首项和{}na的首项相同，公差是{}na公差的12；
11， 若数列{}na，{}nb都是等差数列，其前n项和分别为,nnST，则2121nnnnaSbT；
12， 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为,,xdxxd；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为3,,,3xdxdxdxd；
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等差数列及其前n项和
【考纲说明】
1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质 .
2、 探索并掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式.
3、体会等差数列与一次函数的关系 .
4、本部分在高考中占 5-10分左右.
【趣味链接】
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学， 读书不久，高斯在数学上就显露出
了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年， 教师彪特耐尔布置了一道很繁
杂的计算题，要求学生把 1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写 着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动， 心想这个小家伙又在捣乱，但
当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时， 才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法， 他
发现：第一个数加最后一个数是 101，第二个数加倒数第二个数的和也是 101,……共有50
对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高 斯的才华使彪特耐尔十分激动， 下课后特地向校长汇报， 并声称自己已经没有什么可教高斯
的了。
【知识梳理】
一、等差数列的相关概念
1、等差数列的概念
如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 则这个数列称为等
差数列，这个常数称为等差数列的公差.通常用字母 d表示。
2、等差中项
如果a , A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:或2A=a，b
2
推广：2耳=an-1 ' an 1(n - 2)= 2an 1 =久'an 2
3、等差数列通项公式
若等差数列、a n』的首项是印，公差是d，则an = ◎ ■ n -1 d .
a — a
推广：an =am (n - m)d ,从而 d n m。
n — m
4、等差数列的前n项和公式 2 / 8
n 3i Qi n n T
等差数列的前n项和的公式：① Sn :②Sn = na d . 2 2
第二节等差数列及其前n项和
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋an2.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
[小题体验]
1．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
答案：10
2．(2018·温州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝5，a5＝3，则an＝________；S7＝________.
答案：－n＋8 28
3．(2018·温州十校联考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝12，则S7＝______.
答案：28
1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
2．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．
[小题纠偏]
1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是( )
A．(－3，＋∞) B.－∞，－83
