1 第16讲 线段的相等与和、差、倍
知识框架
线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容．重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系，能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线段的中点的意义．另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍，并学会用作图语言描述画法．
16.1
线段的大小的比较
1. 线段的表示
（1）可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点．如图所示：线段可以用表示端点的两个字母A、B表示，记作线段AB．
（2）也可以用一个小写英文字母，如图所示：线段可以用小写英文字母a表示，记作线段a．
2. 线段的大小比较
通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”．
线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法．
叠合法如下：
将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD叠合．这时端点B可能的位置情况如下表：
图形 点B的位置 符号表示
情况一
点B在线段CD上（C、D之间） 记作：AB < CD（或CD > AB） A B
C D (B) (A) 知识精讲 2 情况二
点B与点D重合 记作：AB = CD
情况三
点B在线段CD的延长线上 记作：AB > CD（或CD < AB）
3. 如图，已知线段a，用圆规、直尺画出线段AB，使AB = a．
（1）画射线AC；
（2）在射线AC上截取线段AB = a．（以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点B）
线段AB就是所要画的线段．
4. 两点之间的距离：
联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离．
两点之间，线段最短．
【例1】
判断题：
（1）在“线段AB”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．（ ）
线段的比较与运算
线段是几何中的基本概念，我们常常在数学、物理等领域中遇到线段的比较和运算。线段的比较是指通过一定的方法来判断两个线段的大小关系，而线段的运算则是对线段进行加减乘除等操作。在本文中，我们将探讨线段的比较与运算。
一、线段比较
在线段比较中，我们主要关注线段的长度。比较线段的长度可以用数学方法，也可以用几何方法。
数学方法：
1. 比较两个线段的长度，可以将它们的长度进行数值比较。例如，有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，若a>b，则可以判断线段AB较长。
几何方法：
1. 使用比例关系。比较线段的长度可以通过其相似比例关系来判断。如果两个线段的各个相应部位的长度之比相等，则可以判断它们的长度相等。例如，若线段DE与线段FG的长度之比等于线段HI与线段JK的长度之比，则可以判断线段DE与线段FG的长度相等。
二、线段运算 1. 线段的加法运算：线段的加法运算是指将两个线段的长度相加。例如，线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，那么线段AB与线段CD的加法运算结果为a+b。
2. 线段的减法运算：线段的减法运算是指将一个线段的长度减去另一个线段的长度。例如，线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，那么线段AB与线段CD的减法运算结果为a-b。
3. 线段的乘法运算：线段的乘法运算是指将一个线段的长度乘以另一个线段的长度。例如，线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，那么线段AB与线段CD的乘法运算结果为a*b。
4. 线段的除法运算：线段的除法运算是指将一个线段的长度除以另一个线段的长度。例如，线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，那么线段AB与线段CD的除法运算结果为a/b。
需要注意的是，在进行线段运算时，要注意线段的单位一致性，否则可能会导致计算结果的不准确。
以上是关于线段比较与运算的介绍。线段的比较可以通过数学方法或几何方法来判断，而线段的运算则是对线段的长度进行加减乘除等操作。掌握线段的比较与运算，能够帮助我们更好地理解几何概念，并在实际问题中应用相关知识。
1.4 线段的比较和作法 知识点专项训练
一、知识概述
1、两点之间的所有连线中，线段最短．简单说成两点之间线段最短.
2、两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离．
线段的长度可用有刻度的直尺测量．
3、线段大小的比较方法
(1)叠合法．如比较线段AB、CD的大小，可将线段AB、CD移到同一条射线上，使它们的端点A、C都与射线的端点重合，再由点B与点D的位置关系，就可得出线段AB和CD的三种大小关系．
(2)度量法．先用刻度尺量每条线段的长度，再按照长度比较它们的大小．线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的．
表示方法：用几何语言表述两线段比较可能出现的三种结果．
若两线段为线段AB、线段CD，如上图，则分别有如下结论：ABCD
4、线段的中点
如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫做线段AB的中点，类似地，线段有三等分点、四等分点等．
如图所示，若点M是线段AB的中点，则 AM=BM=AB或AB=2AM=2BM．
5、求线段长度通常有三种方法：①逐步计算求线段的值；②用字母代换求线段的值；③构造方程求线段的值．
6、直线、射线、线段之间的联系与区别
二、典例讲解
例1、（1）如图，A、B是河流l两旁的两个村庄，若在河流l上建一个水厂，使它到两个村庄铺设的供水管道最短，请你在l上标出点C的位置，并说明理由．
（2）一个圆柱形的柱子，一只蚂蚁由柱子的一条高AB的最底端B点沿侧面转圈爬到顶端A点，问小蚂蚁怎么走路线最短？
例2、（1）C是线段AB的中点，D是线段BC上一点，则下列说法不正确的是（ ）
A．CD=AC－BD B．
C．CD=AD－BC D．
（2）如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①，②AB=BC，③AC=2AB，④AB＋BC=AC．能表示B是线段AC的中点的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第四章 基本平面图形
第二节 比较线段的长短
课 型：新授课
教学目标：
1.借助于具体情景中了解“两点之间线段最短”的性质；能借助于尺、规等工具比较两条线段的大小；能用圆规作一条线段等于已知线段.(重点)
⒉通过思考想象、合作交流、动手操作等数学探究过程，掌握线段中点的概念，了解线段大小比较的方法策略，学习开始使用几何工具操作方法，发展几何图形意识和探究意识.（难点）
⒊在解决问题的过程中体验动手操作、合作交流、探究解决的学习过程，激发学生解决问题的积极性和主动性.
教学方法：师生互动与生生互动相结合.
教 具：3根长度不等的小木棒、圆规、直尺、多媒体课件.
教学过程：
一、 情境导入，适时点题
情境1：
师：如图从A村到B村，有三条路径可选择，你愿意选第几条路径？说出你的理由.
A B
生：走第二条路.因为这是直路，感觉它最近.
师：虽说条条大路通罗马，但我们都希望走条近路.那上图告诉我们什么样的路最近呢？
生：直路比较近.
师：很好，我们把这一性质称为线段的基本性质：
两点之间的所有连线中，线段最短.简单地记为：两点之间，线段最短.
（学生快速读一遍，理解其意思.）从而引入两点之间的距离的概念：
两点之间线段的（长度），叫做两点之间的距离.因此两点的距离是非负数.
设计意图：利用生活中可以感知的的情境，极大地激发学生的学习兴趣，使学生感受生活中所蕴含的数学道理. 情境:2：
师：大家认识下面的两位名人吗？
生：姚明和潘长江.
师：那么，我们现在来比较一下他们的身高.
学生七嘴八舌，发表见解:姚明更高一些 .
师：那要是让潘长江老师站到三楼上，姚明站在地面上呢？
生：这样就没有可比性.
(学生对这一提问很感兴趣.在此基础上，教师适时提出，如果我们用线段来表示人的身高，又如
何比较线段的长短呢？从而引入课题.)
