立体几何 空间向量

1 空间向量在立体几何中的应用:

（1)直线的方向向量与平面的法向量:

①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得atOAOP，其中向量a叫做直线的方向向量．

由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．

②如果直线l⊥平面，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量．

由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定．

（2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:

设直线l,m的方向向量分别是a，b,平面，的法向量分别是u,v，则

①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；

②l⊥ma⊥ba·b＝0；

③l∥a⊥ua·u＝0；

④l⊥a∥ua＝ku，k∈R;

⑤∥u∥vu＝kv,k∈R;

⑥⊥u⊥vu·v＝0．

(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：

①异面直线所成的角：设a,b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．

设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为,显然],2π,0(则|||||||,cos|212121vvvvvv

②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．

设直线a的方向向量是u，平面的法向量是v，直线a与平面的夹角为,显然

]2π,0[，则|||||||,cos|vuvuvu

③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－l－在二面角的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角－l－的平面角．

利用向量求二面角的平面角有两种方法：

方法一：

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析

以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。

首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法

一：利用空间向量求空间角

(1)两条异面直线所成的夹角

范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线,ab的方向向量为a,b，其夹角为，则有cos___________.

(2)直线与平面所成的角

定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。

范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与法向量所成角的余弦值为|cos|___________.直线与平面所成的角为，则有sin___________.或在平面内任取一个向量m，则|cos|___________..

(3)二面角

二面角的取值范围是 .

二面角的向量求法：

方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的

即为所求的二面角的大小；

方法二：设1n，2n分别是两个面的 ，则向量1n与2n的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。

二：利用空间向量求空间距离

（1）点面距离的向量公式

平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是 ，即d=||||MPnn.

（2）线面、面面距离的向量公式

平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d= .

1 立体几何之空间向量法

【知识要点】

1. 利用空间向量证明平行问题的方法

(1)线线平行：直线与直线平行，只需证明它们的方向向量平行．

(2)线面平行：利用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向

向量平行；利用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向

量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．

(3)面面平行：平面与平面的平行，除了利用面面平行的判定定理转化为线面平行外，只

要证明两个平面的法向量平行即可．

下面用符号语言表述为：

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a

1，b

1，c

1)，b＝(a

2，b

2，c

2)，平面α，β的法向量分

别为u＝(a

3，b

3，c

3)，v＝(a

4，b

4，c

4)．

(1)线线平行：

l∥m⇔a∥b⇔a＝kb⇔a

1＝ka

2，b

1＝kb

2，c

1＝kc

2.

(2)线面平行：

l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a

1a

3＋b

1b

3＋c

1c

3＝0.

(3)面面平行：

α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a

3＝ka

4，b

3＝kb

4，c

3＝kc

4.

2. 利用空间向量证明垂直问题的方法

(1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两条直线的方向向量垂直．

(2)线面垂直：利用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方

向向量垂直；利用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方

向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行．

(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要

证明两个平面的法向量垂直即可．

下面用符号语言表述为：

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a

1，b

1，c

1)，b＝(a

2，b

2，c

2)．平面α，β的法向量分

别为u＝(a

3，b

3，c

3)，v＝(a

4，b

4，c

4)．

(1)线线垂直：

l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a

1a

2＋b

1b

2＋c

1c

2＝0.

(2)线面垂直：

l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a

§3.2 立体几何中的向量方法(二)

——空间向量与垂直关系

课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．

1．空间垂直关系的向量表示

空间中的垂直关系

线线垂直 线面垂直 面面垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔______ 设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔________

2.空间中垂直关系的证明方法

线线垂直 线面垂直 面面垂直

①证明两直线的方向向量的数量积为______．

①证明直线的方向向量与平面的法向量是______．

①证明两个平面的法向量____________．

②证明两直线所成角为______. ②证明直线与平面内的相交直线________. ②证明二面角的平面角为________.________.

一、选择题

1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )

A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α斜交 4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )