外摆线插齿刀的设计与加工
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外摆线插齿刀的设计和制造研究
摘要：
外摆线齿轮在测量仪器和加工设备中有广泛应用，外摆线插齿刀是加工这种齿轮的重要加工刀具。在设计过程中，理想的外摆线刀具是满足外摆线齿形的基础上的圆柱面。然而，在加工过程中，插齿刀作为刀具使用，需要切削刃。因此，外摆线插齿刀的设计和加工是不同的。本文通过中点和中线的方法计算出了刀齿长度的合理范围。给出了外摆线插齿刀的设计和加工模型，以此来确定顶刃和侧刃的后角。本文是这种类型的插齿刀制造和应用的参考。
1 简介
中心距的变化对渐开线齿轮影响并不显著，外摆线齿轮具有一些不同于渐开线齿轮的特点。尽管外摆线齿轮对中心距的变化十分敏感，这种齿轮仍然具有广泛应用。插齿刀被用来加工这种类型的齿轮，文献【1—4】讨论了设计和加工模型。应用文献【5-6】中的渐开线插齿刀，文献【7-8】提出了插齿刀磨削砂轮和刀齿合理长度的通用CAD/CAM计算模型。这些文献的大部分只讨论了渐开线插齿刀。只有很少一部分以加工外摆线齿轮的外摆线插齿刀为例。事实上，非渐开线齿轮对中心距变化的敏感性并没有明确的提出，并没有突出外摆线插齿刀的独特之处。尽管所有的这些参考文献能够用于外摆线插齿刀的研究，但并不能直接用来解决一些问题，例如刀齿的合理长度（指最后一个合理的切削刃的顶部到初始切削刃之间的距离）。通用模型没有强调在刀齿合理长度范围之内的侧切削刃的后刀面的准确性。文献的结果都是近似的。为了计算出准备的加工模型，重新思考这个问题是有必要的。这篇文章的研究成果既能用于其他外摆线插齿刀的设计和加工好，也能用于其他非渐开线齿轮，因为它们都对中心距的变化很敏感。
外摆线插齿刀既能用于外摆线外齿的加工也能用于外摆线内齿的加工。外摆线插齿刀的齿形与外摆线斜齿相似。齿向和刀具的中心线之间有倾斜角度。直齿插齿刀的齿向是平行于刀具中轴线的。外摆线插齿刀的设计和制造比直齿插齿刀的设计更困难，因为插齿刀具的螺旋角比滚齿的侧后刀面的螺旋角要大。加工插齿刀不同于滚齿刀的加工。外摆线插齿刀的设计和加工方法，理想侧切削刃的后刀面的计算，磨削砂轮的设计，实际获得的侧切削刃的后刀面和磨削砂轮的修形将在下面加以介绍。
2外摆线插齿刀的设计和制造的不同之处
对渐开线齿轮来说，在齿轮加工过程中调整中心距和相应的变位系数就能实现正常啮合。顶切削刃处的后角引起的插齿刀半径的变化，可以通过改变变位系数来补偿掉。如果插齿刀和已经修形之后的切削刃之间的误差和相关的渐开线齿轮是可以接受的，可以用渐开线插齿刀来加工满足要求的齿轮。由于非渐开线齿轮，例如外摆线齿轮，对中心距变化的敏感性，不能完全通过变位的方法来解决。同样的道理，相关齿轮也对中心距的变化很敏感，所以插齿刀对顶切削刃处的后角的半径变化很明显。如果假定齿形的允许误差必须小于δ，为了满足运动精度
，顶切削刃处的后角αe=6°，刀齿的合理长度可以通过下面的公式定义：
L <2δcot αe ≈2×9.514δ= 19.028δ.（1）
因此，对于非渐开线齿轮例如外摆线齿轮，如果修形后切削刃在端面上的投影仍然是理想齿形，则获得齿形是理想齿形。换句话说，理想的插齿刀是以齿形曲线为基准的圆柱面。事实上，无法实现，因为需要顶切削刃和侧切削刃处的后角。如果不存在，不能加工，因为工件和刀具之间存在摩擦。事实上两个切削刃的后角都得有。合理的刀齿长应该满足公式1。让后角尽可能大，来改善侧切削刃处的后刀面的精度。
修正之后的侧切削刃的精度仍然比δ要求的高，加工的齿轮合理。显然这种方法不是简介中提到的通用方法。针对这种加工方法，以下讨论插齿刀设计和加工中的相关问题。
3 理想侧后刀面的计算公式
图2a-c 外摆线插齿刀的切削刃在端面上的投影。a 理想投影 b每条切削刃在端面的投影放大图。c 外摆线切削刃在端面上的投影。
图d-e d在端面上节圆和外摆线齿形的投影 e在端面上外摆线齿形的投影
外摆线插齿刀切削刃在端面上的投影的计算公式如下：
m是模数，r0是圆弧半径，是圆弧的终端角，Z0是齿数，γ1是圆弧的一个角度参数，θ是外摆线的角度参数，θ0是外摆线的终止角，θ1是外摆线的起始角。理想侧切削刃处的后刀面的计算公式如下：
其中，λ是长度参数。因为前角γ的存在，前刀面是一个锥面。形状像yz平面上的截面曲线。前刀面如下表示：
切削刃是图3所示圆柱面和图4所示锥面的交线。参数之间的关系如下：
需要指出的是在这一部分计算的切削刃是理想的，侧切削刃的后刀面也是理想的。如第2部分讨论的，在实际加工中理想的切削刃无法实现。它将被作为计算随后的加工过程中的误差的基准。从后面一节可知，径向进给速度应该根据后角的要求和轴向进给相协调，像SAX-9C磨齿机，来确定顶刃的后角αe和侧切削刃的后角αp
4 侧切削刃后刀面磨削砂轮的初步设计
初步设计的砂轮需要之后修形。由于砂轮的轴向速度很高，插齿刀的截面齿形主要通过在砂轮沿着插齿刀截面曲线旋转定义。这个问题可以看做平面曲线齿廓齿轮的啮合问题。以图2中的曲线为基础，通过参考文献【8】中的，以及其他的齿轮啮合的原理，在图2坐标系中的砂轮的计算公式如下：
其中R是节圆半径
5 实际获得的侧刃的后刀面
如公式3所示，为了确定必要的顶刃后角αe，以及侧刃的后角αp，砂轮沿着与z轴成αe夹角，与径向矢量成αe夹角的方向移动。产生的圆柱面可以定义如下：
其中
根据啮合原理，实际获得的侧刃的后刀面是已经加工的圆柱面的旋转包络面
其中
满足以下的包络条件
6 砂轮的修整方法
能够计算出图3所示的切削刃A和B的加工误差，根据误差来修整砂轮。将刀齿L的中间切削刃作为已知。进给速度是恒定的，加工误差近似是线性的，因为是圆周运动。如果中线处的修整后切削刃对应的误差是0，那么前刀刃和最后修整
得到的切削刃的误差的绝对值近似相等。
由
令
相应的增量定义如下：
用
来代替砂轮横截面中的xˆ，重复计算公式6-17，直到
砂轮的横截面}ˆ,ˆ{*yx正是所要求的。
7 最大加工误差计算以及侧刃后角试验
由第5部分中的实际获得的侧刃的后刀面，可以看到，为了计算出初始切削刃和最终修形刃之间的误差，只有四个转折点需要考察：
这是因为理想刀具和实际刀具的顶刃和底刃的绝对值都是最大值。应当考察正常误差，意味着应当计算误差的最高点和最低点。令误差的最大值为Δ，因此
如果Δ<δ,侧刃的后角计算相对简单。令*1*yy，已知对应)2,1(*1*izzii的Δx1和Δx2。侧刃的后角可以通过以下公式近似：
8 例证
初值：δ=0.05mm，从以上的计算公式我们得到L=0.95,最大加工误差Δ=0.4478mm。砂轮横截面如图4所示。相关数据如表1
表1 砂轮的横截面相关数据
如果δ=0.025mm，我们得到L=0.47mm。αe可以通过正确的运动关系实现，这一数据满足要求。
图4 外摆线插齿刀磨削砂轮的横截面
9 结论
从以上的模型和例证可以看出，非渐开线齿轮对中心距的变化十分明显。
