初中数学优课---以数助形巧拼正方形--教学设计(梁洪源)

18.2.3 正方形第1课时 正方形的性质1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 特殊平行四边形的性质的综合菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且互相垂直平分C ．对角线互相平分D ．四条边相等，四个角相等 解析：选项A 不正确，菱形的对角线不相等；选项B 不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C 正确，三者均具有此性质；选项D 不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】 利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题如图所示，正方形ABCD 的边长为1，AC 是对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 于点F .(1)求证：BE ＝CF ； (2)求BE 的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE ＝EF ，再证明△CEF 为等腰直角三角形，即可证BE ＝CF ；(2)设BE ＝x ，在△CEF 中可表示出CE .由BC ＝1，可列出方程，即可求得BE .(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°.∵EF ⊥AC ，∴∠EFA ＝90°.∵AE 平分∠BAC ，∴BE ＝EF .又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝45°，∴∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∴EF ＝FC ，∴BE ＝CF ；(2)解：设BE ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，CE ＝1－x .在Rt △CEF 中，由勾股定理可得CE ＝2x .∴2x ＝1－x ，解得x ＝2－1，即BE 的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】 利用正方形的性质解决角的计算或证明问题在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数． 解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF 中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用 【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ； (2)OF ＝12CE .解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识证明，有时也利用全等三角形解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题如图，正方形AFCE 中，D 是边CE上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED和Rt △AFB中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S △AFB .∵S 四边形ABCD ＝24cm 2，∴S正方形AFCE＝24cm 2，∴AE ＝EC ＝26cm.根据勾股定理得AC ＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、板书设计1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．。

八年级数学精品教案《正方形》通用一、教学内容本节课选自人教版八年级数学上册第十二章《几何图形及其变换》中的第三节“正方形”。

具体内容包括：正方形的定义、性质、判定方法，以及正方形在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 知识与技能：理解正方形的定义，掌握正方形的性质及判定方法，能够解决与正方形相关的实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、操作、探索等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

三、教学难点与重点教学难点：正方形的性质及判定方法。

教学重点：正方形的定义及其在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：直尺、圆规、量角器、三角板。

五、教学过程1. 导入：通过展示一组实际生活中的正方形图片，引导学生观察并说出正方形的特点，进而引出本节课的主题——正方形。

2. 新课：（2）性质：组织学生分组讨论，发现并证明正方形的性质。

3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，结合正方形的性质和判定方法进行讲解，巩固所学知识。

4. 随堂练习：设计有针对性的练习题，让学生及时巩固所学知识，提高解题能力。

六、板书设计1. 正方形的定义2. 正方形的性质3. 正方形的判定方法4. 例题及解答5. 随堂练习题及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列图形中哪些是正方形，并说明理由。

（2）已知：如图，四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，延长BA到F，使AF=AB，连接CF。

求证：CF垂直平分EF。

2. 答案：（1）图形①、③、④是正方形。

（2）证明：延长EC交BA延长线于点G。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过引导学生观察、思考、讨论，使学生掌握了正方形的定义、性质和判定方法。

但在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时调整教学方法。

课后可以布置一些拓展延伸的题目，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

例如：探究正方形与矩形、菱形的联系与区别。

初中数学【正方形】教案教学设计【目标定向】1、了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法。

2、经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。

【学生先学】（一）、创设问题情景，引入新课：我们学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定，以前我们还知道正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中。

（二）新课学习由此可知正方形既是特殊的菱形也是特殊的矩形，所以正方形具有矩形和菱形的一切性质，那么正方形有哪些性质？又如何判定一个四边形是正方形呢？你能总结出来吗？1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：①边的性质：②角的性质：③对角线性质：④对称性：正方形是对称图形，它有条对称轴.3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．实际上，我们只要证明一个四边形既是又是，那么它就是正方形了。

【合作探究】1、已知：如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC 于点F。

求证：四边形CEDF是正方形。

C B2、如图，正方形ABCD 中，△EBC 是正三角形，求∠EAD 的度数。

【点拨拓展】3.如图3已知正方形ABCD ， ME ⊥ BD ，MF ⊥ AC ，垂足分别为E 、F. （1） M 是AD 上的点，若对角线AC=12cm ，求ME+MF 的长。

（2）若M 是AD 上的一个动点，ME+MF 的长度是否发生改变？ （3）当M 点运动到何处时，四边形MFOE 的面积最大？【当堂检测】⒈正方形的边长为a ，则它的对角线长 ，若正方形的对角线长为b ，它的边长为 。

⒉边长为a 的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b 正方形，则所剩余图形的周长为 。

中考数学正方形复习优质教案新人教版一、教学内容本节课将复习新人教版数学教材第九章“四边形”中的第三节“正方形”。

具体内容包括正方形的定义、性质、判定方法及相关定理，着重对正方形面积计算、对角线性质、正方形与特殊四边形的关系进行深入探讨。

二、教学目标1. 知识目标：使学生熟练掌握正方形的性质、判定方法，并能运用这些知识解决相关问题。

2. 能力目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。

3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作探究、积极思考的学习态度。

三、教学难点与重点教学难点：正方形的判定方法、正方形与其他特殊四边形的关系。

教学重点：正方形的性质、面积计算、对角线性质。

四、教具与学具准备教具：三角板、圆规、直尺。

学具：三角板、圆规、直尺、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入通过展示一组正方形物品（如正方形桌面、正方形瓷砖等），引导学生观察、思考正方形的特点及在生活中的应用。

2. 知识回顾引导学生回顾正方形的定义、性质及判定方法。

3. 例题讲解（1）求正方形面积。

（2）已知正方形对角线长度，求边长。

4. 随堂练习（1）求下列正方形面积。

（2）已知正方形对角线长度，求边长。

5. 合作探究（1）正方形与矩形、菱形的区别与联系。

（2）正方形的对角线性质。

六、板书设计1. 正方形的定义及性质。

2. 正方形的判定方法。

3. 正方形的面积计算。

4. 正方形的对角线性质。

5. 正方形与其他特殊四边形的关系。

七、作业设计1. 作业题目（1）求下列正方形面积。

（2）已知正方形对角线长度，求边长。

2. 答案（1）略。

（2）略。

（3）略。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

2. 布置拓展延伸作业，提高学生运用知识解决实际问题的能力。

3. 鼓励学生在生活中寻找正方形的实例，感受数学与生活的联系。

重点和难点解析1. 教学目标的制定2. 教学难点与重点的识别3. 教学过程的安排与实施4. 板书设计5. 作业设计6. 课后反思及拓展延伸一、教学目标的制定教学目标应明确、具体，涵盖知识、能力和情感三个维度。