(优选)极坐标和参数方程ppt讲解

第2讲参数方程与极坐标参数方程与极坐标是数学中用来描述曲线的两种不同的方式。

它们在平面几何、计算机图形学和物理学等领域中都有广泛的应用。

本文将详细介绍参数方程和极坐标，并比较它们的优缺点。

参数方程是一种使用参数来表示曲线上的每个点的方法。

通常情况下，参数方程用(t,f(t))的形式表示。

其中t是参数，f(t)是x坐标和y坐标的函数。

通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上的点的不同位置。

参数方程的优点之一是它能够描述复杂的曲线。

相比于直角坐标系中的方程形式，参数方程可以更方便地描述曲线的形状和特征。

例如，对于一个圆，它的参数方程可以写成x=r*cos(t)，y=r*sin(t)，其中r是半径，t的取值范围是[0, 2π]。

通过改变参数t的取值，可以得到圆上的所有点。

参数方程的另一个优点是它能够描述曲线上的每个点的运动轨迹。

例如，对于一个抛物线，它的参数方程可以写成x=t，y=t^2，其中t的取值范围是实数集。

通过改变参数t的取值，可以得到抛物线上的所有点的位置。

然而，参数方程也有一些局限性。

首先，它只适用于平面曲线，无法描述空间曲线。

其次，尽管参数方程可以用来描述复杂曲线，但对于一些简单的曲线，参数方程可能会比直角坐标系下的方程形式更加复杂。

极坐标是一种使用极径和极角来表示平面上的每个点的方法。

极径是点到原点的距离，极角是点的极坐标与x轴正方向之间的夹角。

通常情况下，极坐标用(r,θ)的形式表示。

极坐标的优点之一是它能够更方便地描述对称性。

对于一个圆，它的极坐标方程可以写成r=a，其中a是常数，θ的取值范围是[0,2π]。

通过改变极角θ的取值，可以得到圆上的所有点。

极坐标的另一个优点是它能够更方便地描述旋转。

对于一个正多边形，它的极坐标方程可以写成r=a，其中a是常数，θ的取值范围是[0,2π/n]，n是多边形的边数。

通过改变极角θ的取值，可以得到多边形绕原点旋转的轨迹。

然而，极坐标也有一些局限性。

础 为___极__点___，射线 Ox 称为___极__轴___．同时确定一个长度单
位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方
向为正方向)，这样就建立了一个_极__坐__标__系_．对于平面上任意
一点 M，用 ρ 表示线段 OM 的长度，用 θ 表示从 Ox 到 OM
的角度，ρ 叫做点 M 的__极__径____，θ 叫做点 M 的___极__角___，
有序数对(_ρ__，__θ__)_就叫做 M 的极坐标．一般地，极径 ρ≥0；
极角θ可取任意实数．
图 11－64－1
双
向
三、直角坐标与极坐标的互化
固 基
1．互化条件：(1)原点与极点重合，(2)极轴与 x 轴正方向
础 重合，(3)两坐标轴长度单位一致．
2．互化公式：xy＝ ＝ρρcsionsθθ，，tρan2θ＝＝x2＋yx（y2x，≠0）.
θ.这样点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．空间的
点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上
述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)．有序数
组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，其中 r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2
π.
双
向
—— 疑 难 辨 析 ——
固
基 础
1．极坐标系中，点的极坐标是唯一的．( )
坐标系与 参数方程
坐标系 参数方程
单元网络
核心导语
一、极坐标系 1.定义——极坐标系与直角坐标系的区别，极坐标系 下点的坐标表示. 2.互化——极坐标系下点的坐标与直角坐标系下点的 互化，关注互化条件、互化公式. 3.方程——极坐标系下特殊位置的直线、圆的极坐标 方程. 二、参数方程 1.概念——参数方程中参数的意义. 2.参数方程——直线、圆、圆锥曲线的参数方程. 3.互化——参数方程与普通方程的互化，关注参数的 取值范围和互化公式.

专题复习：极坐标与参数方程-P要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参 数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).