极坐标与参数方程ppt课件(最新)

从教学楼出发沿东偏北 90 方向 50m
走 60 3 米到达实验楼 从教学楼出发沿东偏北 135 方向走 50米到达办公楼
A 教
学12Biblioteka m60° 60m B体 育
楼
馆
（某校园的平面示意图）
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
应用导练
题组一：在极坐标系里描出下列各点
点的极坐标确定，在坐标平面内点的位置唯一确定
A(3, 0)
4
D(5, ) 3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
C(3, ) 2
F (4, )
应用导练
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
3
G 5
3
想一想：
①平面上一点的极坐标是否唯一？
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。
探究导学
某同学在教学楼处， （1）向东偏北60 °方向走
120m到达什么位置？
D实验楼 C图书馆
（2）如果有人打听实验楼和 办
办公楼的位置，他应如何
公
描述？
楼
解：通过计算可得
E 45°
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可点以的极写坐出标统可以一有表多种达表式示？
方法;其中极径相同，不同的 是极角；这些极角它们是终 边相同的角，极坐标统一的 表达式为

【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不
仅仅是把其中的参数消去，还要注意 x，y 的取值范围，也即在 消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. ①题很容易忽略参数范围 0≤θ≤ π ，②题很容易忽略参数方程
2 中 0≤sin2θ≤1 而出错.
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
φ， φ
转换
成普通方程为 y＝x－a 和x92＋y42＝1，直线与 x 轴的交点为(a,0)
就是椭圆的右顶点(3,0)，所以 a＝3.
答案：3
【方法与技巧】常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参 数方程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、 椭圆的参数方程)等.经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲 线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围， 确保普通方程与参数方程等价.
_______________________________.
(2)柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式：
①柱坐标化为直角坐标公式： xy＝ ＝ρρcsionsθθ，， z＝z；
____________________.
x＝rsinφcosθ，
②球坐标化为直角坐标公式：
y＝rsinφsinθ， z＝rcosφ
C．x2＋y－122＝14
D.x－122＋y2＝14
3．若直线的参数方程为xy＝ ＝12＋ －23tt， (t 为参数)，则直线的

单位与原直角坐标系的长度单位相同。
用坐标的观点理解上述直线参数方程中的参数t，
在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起
来。
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
说明一：、 参数 t 的有关性质
2．由极坐标求最值
例3．（2009大丰市）已知A是曲线 ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线 ρcosθ=1距离的最大值和最小值。
分析：可以把极坐标方程转化为普通方程， 再结合图形解答问题。
评注：将极坐标方程转化为普通方程是解决两 曲线位置关系的重要方法。
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
例 9．（2008 江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y) 是 椭 圆 x2 y2 1 上 的 一 个 动 点 ， 求
3 S x y 的最大值．
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
3．极坐标方程研究两曲线的位置关系
例
5．（江苏省南通市
2008-2009）求直线
x y
1 1
2t,（t 2t
为参数）被圆
x
y

所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′＝1. (2)将 ①代入 x ＋ y ＝ 4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′2 y′2 ＋ ＝4. 4 16
2 2 x ′ y ′ 所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆 ＋ ＝1. 16 64 2 2
x ′ y′ 答案：(1)x′＋y′＝1 (2) ＋ ＝4 4 16
2
2
5x＇＝x 例 3 在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 曲线 C 变 4y＇＝y，
为曲线 x′2＋y′2＝1，求曲线 C 的方程． 解析：设曲线 C 上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的 坐标为(x′，y′)，
5x′＝x， 由 得 4y′＝y
x y 1 代入 x′ ＋y′ ＝1，得25＋16＝1. y′＝4y.
题型二 伸缩变换
例 2 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过伸缩
x＇＝2x， 变换 后的图形． y′＝4y
(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.
x′＝2x， 解析：由伸缩变换式 得 y′＝4y
1 y＝4y′.
1 x＝ x′， 2
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′ ＋y′＝1.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换 就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换. (2)设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������������(������ > 0), φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������������(������ > 0) 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

∵ 0 表示极点，而曲线 2acos 通过极点， ∴ 2acos 即为所求.
例 2．将极坐标方程2 a2cos2 化为直角坐标方程： 解： 2 a2(cos 2sin2), 4 a22(cos2sin2), 4 a2[(cos)2 (sin)2], (x2 y2)2 a2(x2 y2).
（三）极坐标系中曲线的对称性
（2）当 R, R 时，
M(, )
的量法 ：逆转为正，顺转为负. O
0
x
的量法 ： 0 时，则在角的 终边上取 M 点，使OM ；
0 时，则在角的 终边的反向延长线上取 M 点，
使 OM .
O
0
x
M(, )
M(, )
(, )
O
x
M1(, )
这样，一对实数(, ) 对应唯 一 点 M，
(, 2k) (, (2k
2．
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(ab0)
的参数方程：
xacost
ybsint
,
t[0, 2].
椭圆
(
x
x a2
)2
(
y
y b2
)2
1
(ab0)
的参数方程：
x y
x y
acost bsint
(a
b
0),
t[0, 2].
3．摆线的参数方程：
xa(t sint) y a(1cost )
(
y
)
2 3
1
，
aa
2 22
故普通方程为 x 3 y 3 a 3 .
（二）几种常见曲线的参数方程
1． 圆 x2 y2 a2 的参数方程：
x acost yasint

详细描述
摆线的极坐标方程是ρ=a(1-cosθ)，其中ρ表示点到原点的距离，θ表示点与x轴的夹角，a表示摆线的 半径。通过这个方程，我们可以方便地计算摆线的长度和面积。
实例三：磁场线的参数方程
总结词
磁场线的参数方程表示
详细描述
磁场线的参数方程通常由两个参数构 成，例如时间和角度。参数方程可以 描述磁场线在任意时刻的位置和方向 ，从而方便地计算磁场线的长度和面 积。
极坐标与参数方程的转换关系
极坐标与直角坐标转换
极坐标系中的点可以用直角坐标系中的坐标表示，反之亦然。具体转换公式为 ：$x = rho cos theta, y = rho sin theta, x^2 + y^2 = rho^2$。
参数方程与直角坐标转换
参数方程中的点也可以用直角坐标系中的坐标表示，具体转换公式取决于参数 方程的形式。
05
极坐标与参数方程的习题及解析
习题一：求圆的极坐标方程
总结词
理解并掌握圆的极坐标方程的推 导方法
详细描述
通过给定的圆心和半径，利用极 坐标与直角坐标方程
80%
总结词
掌握参数方程转换为普通方程的 方法
100%
详细描述
通过消去参数，将参数方程转化 为普通方程，以便更好地理解曲 线的几何意义。
极坐标与直角坐标的关系
对于平面内任意一点P，其直角坐标为(x,y)，则其极坐标为(r,θ)， 其中r=√(x²+y²)，tanθ=y/x。
极坐标与直角坐标的转换
直角坐标转换为极坐标
已知点P的直角坐标为(x,y)，则其极 坐标为(r,θ)，其中r=√(x²+y²)， tanθ=y/x。
极坐标转换为直角坐标

x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
双基自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝2－＋1t－t， (t 为参
数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线
答案 (－4,0)
4．(2013·广州调研)已知直线 l 的参数方程为：xy＝＝12＋t，4t (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
x＝2t，
解析 将直线 l 的参数方程：
化为普通方程得，y＝1＋2x，
y＝1＋4t
圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆心(0， 2)到
重点方法：<1>消参的方法；<2>极 坐标方程化为直角坐标方程的方法； <3>设参的方法。
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其
中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度

∴直角坐标方程为 x2＋y2＝4ay. (2)把方程变形为 ρ2＝9(ρcos θ＋ρsin θ )， ∵ρ 2＝x2＋y2，ρ cos θ ＝x，ρ sin θ ＝y， ∴直角坐标方程为 x2＋y2＝9(x＋y)． 答案：(1)x2＋y2＝4ay (2)x2＋y2＝9(x＋y)
4．(1)直角坐标方程x＋y－2＝0化为极坐标方程是________；

2
（3）直线 l 过点 P a, 且与极轴平行，则直线 l 的极坐标方程为 sin 2
a
0
题型一 求简单的极坐标方程
解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ )，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， 解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ)，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， π π |AP|＝5，∠AOP＝ － θ 或 . θ － π π 3 p A － 3 . |AP|＝5，∠AOP＝ －θ 或θ 3 3 π 82＋ρ2－52 82＋ρ2－52 π 由余弦定理，得 cos －θ＝ . 由余弦定理，得 cos － . θ＝ 3 2 × 8 ρ 2×8ρ 3 π π ＋ 39 ＝ 为所求的极坐标方程． ＋ 即 ρ －16ρcosθ 39 ＝ 00为所求的极坐标方程． － － θ 33
2 2 即 ρ －16ρcos
＋ 39 ＝ 0 ＋ 答案：ρ －16ρcosθ－ 39 ＝ 0 3 3
π ，半径为 5 的圆的方程． 例 1 在极坐标平面上，求圆心A8， π 3 ，半径为 例 1 在极坐标平面上，求圆心 A8， 5 的圆的方程． 3
3π sin －θ 4
＝
. 7π sin 12
ρ

(t 为参数)．
极坐标、参数方程的综合应用
利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把 点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决 有关问题．
例3 (2011 年盐城市高三调研)已知直线 l 的参数方 程xy＝＝1t ＋2t (t 为参数)和圆 C 的极坐标方程 ρ＝
2 2sin(θ＋π4)． (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极 坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系．
参数)，
所以曲线 C 的直线坐标方程为 y＝12x2(x∈[－
2,2])，
联立解方程组得xy＝＝00，，
或x＝2 3， y＝6.
根据 x 的范围应舍去x＝2 3， y＝6，
故 P 点的直角坐标为(0,0)．
考点探究·挑战高考
考点突破 极坐极系与直角坐标系的互化
1．极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长 度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一 不可．
y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的
关系：x＝_______，y＝_______.又可得到关
系 ρcosθ
ρsinθ
• 式：ρ2＝_______，tanθ＝ ___y_ (x≠0)．
x2＋y2
x
• 3．常见曲线的极坐标方程
• (1)直线的极坐标方程
• •
过 方 (2)点 程圆M为的(ρ_极ρs_0i_，n坐_(θ_θ标－_0)_方且α__)程倾＝__斜ρ_0_角s_in_为(_θ_α0_－的__α直_)_线_．l的极坐标
第三节 坐标系与参数方程
双基研习·面对高考 第 三 节
坐
标
考点探究·挑战高考
系
与

例 11．（2008 宁夏银川一中）已知椭圆 C 的极坐标方
程为 2
12
3cos2 4 sin 2
，点
F1、F2 为其左，
右焦点，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2 (t 为参
y
2t 2
数，t∈R)． （Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 的普通方程； F1、F2 到直线 l 的距离之和.
（Ⅱ）求点
L
的参数方程为
x＝t＋3 y＝3－t
，（参数
t
R
），
圆
Ｃ
的
参
数
方
程
为
x＝2cos y＝2sin＋2
（
参
数
0，2 ），则圆Ｃ的圆心坐标为
，圆心
到直线 L 的距离为
。
例 9．（2008 江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y) 是 椭 圆 x2 y2 1 上 的 一 个 动 点 ， 求
3. 已 知 椭 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为
2
12
3 cos2 4 sin 2
，点
F1、F2 为其左，右焦
点，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2 (t 为参数，t
y
2t 2
∈R)． （Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 的普通方程； （Ⅱ）求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和.
考点四：能给出简单图形（如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程
2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程: