数学建模 电梯调度问题11

写字楼电梯调度优化模型

摘要 合理调度电梯对于缓解上下班高峰期电梯压力，提高上下楼效率，缩短等待时间具有重要意义。本文利用某写字楼工作日里每天早晚高峰时期的电梯调度问题，构建了三个数学非线性规划模型，探讨了该写字楼电梯合理调度问题。

针对问题一：通过对电梯运载人上下楼问题的分析，考虑到等待电梯时间过长，根据所建模型.提出了若干合理的模型提价指标，利用主成分分析法给出了电梯时间间隔、电梯运行周期、一段时间内所有电梯最大载人数等三个评价指标。

针对问题二：在早晚上下班高峰期不考虑地下楼层的情况下,通过分区域服务,电梯的工作效率有可能进一步优化。在合理的假设前提下，以概率论为基础，利用电梯的楼层之间运行时间、平均停留时间得出了电梯的运行周期与服务层数的关系。根据电梯的运行实际情况，本文提出了时间间隔函数来衡量等待时间的长短，并以时间间隔函数为为目标函数建立非线性规划模型。利用计算机搜索法并用excel辅助计算得出以下电梯调度方案：

组 负责层数 各组电梯个数 电梯周期 时间间隔 最大载人数 最大载人总数

1 11 3 256.27128 85.42376 561.9045 1009（取整） 2 10 3 321.68466 107．22822 447.6434

针对问题三：根据实际情况，考虑到地下楼层调度，及电梯运行的实际情况，讨论了该方案的合理性和优劣，并提出了相应的改进方法。

关键词：时间间隔函数、电梯运行周期、非线性规划、计算机搜索法、分区域服务

一、问题重述

某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，6部电梯，每部电梯最大载重是20个正常成人的体重总和。工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加。所以公司强烈要求设计一个合理的电梯调度方案。

问题一：给出若干合理的模型评价指标。

问题二：暂不考虑该写字楼的地下部分，每层楼层的平均办公人数经过调查已知（见表1）。假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层(地上一层)平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。

表1：该写字楼各层办公人数

楼层 人数 楼层 人数 楼层 人数

1 无 9 236 17 200

2 208 10 139 18 200

3 177 11 272 19 200 4 222 12 272 20 200

5 130 13 272 21 207

6 181 14 270 22 207

7 191 15 300

8 236 16 264

请你针对这样的简化情况，建立你的数学模型（列明你的假设），给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。

问题三：将你在第2问中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。

二、模型假设

1、只考虑早上上班时上楼、晚上下班时下楼的情况。

2、假设上下班高峰期各为40分钟。

3、写字楼中的工作人员不存在因故不参与系统者。

4、写字楼中的工作人员均为成人。

5、不考虑从其他楼层上楼，只考虑一楼上电梯情况。

6、每次电梯运行都为满载。

7、不考虑电梯运行过程中的故障问题。

8、办公人员必须以坐电梯的形式上楼，不能用其他形式。

9、每个人在每个电梯所服务的楼层下梯的概率是相等的，且均为所服务楼层数的倒数。 10、处在同一服务区域的电梯是均匀分布的。

11、由于大多数楼层的人数范围都在200左右，故假设每一楼层的人数近似取为总人数的平均值。

三、模型符号说明

ni: 第i个区域电梯所服务的楼层数

Ti: 第i个区域电梯运行周期

E(n): 电梯一周期内停靠次数的期望

y i: 第i个区域的服务电梯数

§： 极小的正数

Zi : 第i组的时间间隔函数

四、模型建立及求解

我们查找资料[1]得知，乘客到达率越高，多分区域进行服务效果越好，即越能减少 乘客侯梯时间，越能尽快把各层楼的人流快速送到。 然后，我们通过对电梯运行周期的各段时间讨论，求得电梯运行周期与

电梯层数之间的函数表达式 。

问题二模型建立及求解：

运行周期求解:

定义运行周期：同一服务区域内所有电梯上下楼一次所用时间。

经分析知运行周期与停靠次数有关，故先确定电梯停靠次数的期望：

所服务层数为 n 层，则每层停靠的概率为 1/n，对于 20个乘客，至少有 一个在第 i 层下的概率为

P =1－(1－1/n)20 于是，20个乘客在 n 层中所下次数的期望 E (n) 为

E (n) = 20[1－(1－1/n)20 ]

1）假设分为两组情况：设服务楼层数分别为n1，n2

运行周期分别为T1，T2

则 T1=6n1+20+10E(n1) T2=146+10E(n2)

时间间隔函数分别为Z1=T1/y1 Z2=T2/y2

通过以上对电梯运行周期和电梯时间间隔的讨论，我们列出分区域服务时电梯满足以下条件：

(1) 电梯服务层数之和为21层

(2) 服务不同区域的电梯总数之和为6台

(3) 所用电梯的运送时间尽可能相等

(4) 越往高层分区层数越少，分配电梯数目越多。

以所有电梯中最大的时间间隔最短为目标函数，下面给出电梯分区域服务时的调度最简化模型

目标函数 min=max{Z1，Z2}

约束条件 n1+n2=21

y1+y2=6

n1≥n2

(1) y1≤y2

|Z1-Z2|≤§

n1 n2 y1 y2 均为正整数

利用计算机搜索法具体步骤如下： 1. 首先赋予 y1、n1 初值均为 0，判断 y2 = 6- y1 ≥ y1和n2 = 21- n1

≤ n1 是否成立；

2. 若两者有其一不成立则返回 y1 =y1 +1;n1 =n1 + 1 ， 直到 y1、y2 满足上面 1 中两式成立；

3. 固定 y1、y2 的值，对满足 1 式的 n1、n2 值带入（1）式验证，若符合条件输出目标函数最优值， 并记下此种情况的 n1、n2 ； 若不符合 （1） 式则执行 n1 = n1 + 1 ， 继续返回验证（1）式，如此每递增一层进行搜索直到找到 y1、y2 值一定情况下的目标函数的最优值，并输出对应的 n1、n2 ；

4. n1 遍历一遍后，即跳出 3 中循环，执行 y1 = y1 + 1 ，得到对应的 y2 ，返回执行步骤 3.如此，每递增一台电梯数，返回 3 进行搜索，最后输出目标函数最优解最小的一组对应的 y1、y2 和 n1、n2 即可。 根据上面的步骤，利用 EXCEL对分两组的情况搜索（见附录1）

方案一：得到在分两组情况下的调运方案如下：

组 负责层数 各组电梯个数 电梯周期 时间间隔 最大载人数 最大载人总数

1 11 3 256.27128 85.42376 561.9045 1009（取整） 2 10 3 321.68466 107．22822 447.6434

方案二：接着对分三组进行的调运优化方案简化模型为：

T1=6n1+20+10E(n1) T2=6n1+6n2+20+10E(n2) T3=146+10E(n3)

时间间隔函数分别为Z1=T1/y1 Z2=T2/y2 Z3=T3/y3

目标函数 min=max{Z1，Z2，Z3}

约束条件 n1+n2+n3=21

y1+y2+y3=6

n1≥n2≥n3

y1≤y2≤y3

|Z1-Z2|≤§

|Z1-Z3|≤§

|Z3-Z2|≤§

n1 n2 y1 y2 n3 y3均为正整数

得到如下调度方案（附录2）：

组 负责层数 各组电梯个数 电梯周期 时间间隔 最大载人数 最大载人总数

1 7 1 252.8358 252.8358 189.8465 942(取整)

2 7 2 294.8358 147.4179 325.6049

3 7 3 336.8358 112.2786 427.5080

方案三：继续对6个电梯进行分组，下面是分四组情况得最优化方案结果如下表：

组 负责层数 各组电梯个数 电梯周期 时间间隔 最大载人数 最大载人总数

1 6 1 250.7832 250.7832 191.4003 945（取整） 2 5 1 283.6942 283.6942 169.1962

3 5 2 313.6942 156.8471 306.0305

4 5 2 343.6942 171.8471

279.3180

由以上结果分析比较，无需对分五六组的情况进行讨论。

不难得出采用方案一最大载人数最多且等待时间最少为最优调度方案即

分两组，每组电梯数均为三台，服务楼层分别为11层和10层。

问题三：优化情况一：在电梯运行过程中，存在电梯加减速及匀速的情况，，可对电梯的运行周期进行优化。设 电梯的运行速度为V，运行时间为t，楼层高度为h，电梯运行的最大速度为Vmax。一个周期内的时间关系图如下:

一个周期内速度与时间关系05101357911tV系列2

电梯匀速运行时间：t1i=【2ni-E（ni）-1】*h/Vmax

电梯加减速运行时间为：t2i=[E（ni）+1]*2h/Vmax 电梯运行周期为:Ti=t1i+t2i+20+10E(ni)

优化情况二：考虑地下停车场部分的电梯调度：

设 该写字楼地下一层有车位a个，二层有车位b个，并假设没有空余车位，且每个车位均有一个人。并假设每个人都从自己车位所在楼层上电梯。且每次电梯运行时都为满载。

现在考虑地下两层的人上楼情况，为了方便专门抽出一部电梯服务地下两层的上下班人员且服务楼层数为23，其余五部电梯按问题二构建优化模型进行电梯调度，以得到最优的调度方案。此种考虑是为了更符合实际情况，使模型能更好的服务于实际。

通过以上两种优化情况，使问题(2)中构建的模型更符合实际情况。

五、模型评价与改进

模型的优点：（1）该模型很巧妙的采用了分区服务方式来设计电梯的调度方案，为模型建立指引了方向。（2） 计算过程中采用excel表格辅助计算，这样减少数据的导入导出，使计算方便。（3）由于评价调度方案的指标很多，因此选用主成分分析法选出三个。（4）在求解运行周期的过程中，将停留次数看做数学期望，使运行周期更接近实际情况。

模型的缺点：（1） 由于电梯的运量有限，此模型未能消除电梯拥挤的现状。（2）未考虑电梯在运行过程中加速减速的问题，与实际情况有一些偏差。（3）由于各层办公人数个别数据与200相差较大，在模型建立过程中取平均值与实际有偏差。