二次根式经典讲义(可编辑修改word版)

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二次根式复习

【知识回忆】

1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。

2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：

⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。

3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：

〔1〕〔 2 〔 a ≥ 0〕； 〔2〕 a 〕 = a 2

a a 5. 二次根式的运算：

⑴二次根式的加减运算： 先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算：

a 〔 a ＞0〕 0 〔 a =0〕；

a〔 a ＜ 0〕

① ab = a ? b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕； ② a a

b a 0, b 0

b

【例题讲解】

例 1 计算：

〔1〕 ( 3)2 ； 〔2〕 ( 2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2 〔a+b≥ 0〕

3

解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。

例 2 计算：

⑴6·15 ⑵ 1 · 24 ⑶ a 3 · ab 〔 a≥ 0，b≥ 0〕

2

解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计

算结果。

例 3 计算：

〔1〕32+23－22+ 3

〔 2〕 12 + 18 － 8 － 32

〔 3〕 40 － 1 + 10 5

10

【基础训练】 (完满word版)二次根式知识点复习,文档

1．化简：〔 1〕 72 __ __ ； 〔2〕 252 242 ___ __ ； 〔3〕 6 12 18

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2 初中数学复习讲学案

姓名： 班级: 学号：

二次根式同步学习课

第一部分 知识梳理

模块一 二次根式的概念及性质

二次根式的概念:形如a（0a)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

二次根式的基本性质：（1)0a（0a)双重非负性;(2）2()aa（0a）;(3）2 (0) (0)aaaaaa．

一、对二次根式定义的考察

【例1】 判下列式子,哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、4、33、1x、(0)xx、0、42、1xy、xy(x≥0，y󰀀≥0）．

【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）．

A．7 B．38 C．x D．x

【例2】 当x是多少时，31x在实数范围内有意义？

【例3】 当x是多少时，1231xx在实数范围内有意义？

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1 二次根式 一、知识梳理 1、二次根式的概念和性质 二次根式的定义：形如a（0a）的式子叫做二次根式. 注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a（0a）表示非负数a的算术平方根. 二次根式的性质： （1）二次根式的非负性：0a； （2）2()(0)aaa； （3）2(0)(0)(0)aaaaaaaa； （4）当0a时，22()aa. 2、最简二次根式 最简二次根式 最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 最简二次根式的满足条件： （1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含二次根式． 说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 3、二次根式的加减 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 二次根式的加减 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式． 合并同类二次根式：()axbxabx，同类二次根式才可加减合并． 分母有理化 分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．

2 互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有 理化因式． ab与ab互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0． 4、二次根式综合运算 二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要 化为最简二次根式． 注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算． 5、二次根式化简求值 二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单 的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况． 注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论． 6、根式的大小比较 比较大小的方法 1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,abababab 2．作商法：比较a、b的大小，当0,0ab时，可以采用作商法，1,1,1,abaabbab 二次根式比较大小的方法 （1）0abab （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 7、二次根式的乘除 二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：abab（0a，0b）． 二次根式的除法法则：aabb（0a，0b）． 说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于abab，a、b都非负，否则不成立．

二次根式辅导讲义

同步知识梳理

一:二次根式得概念

二次根式得定义

形如得式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当就是一个非负数时,才有意义.

二:二次根式得性质

1、 非负性:aa()0就是一个非负数.

注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.

2、 ()()aaa20.

注意:此性质既可正用,也可反用,反用得意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方得形式:aaa()()20

3、 aaaaaa200||()()

注意:(1)字母不一定就是正数.

(2)能开得尽方得因式移到根号外时,必须用它得算术平方根代替.

(3)可移到根号内得因式,必须就是非负因式,如果因式得值就是负得,应把负号留在根号外.

4、 公式aaaaaa200||()()与()()aaa20得区别与联系

(1)a2表示求一个数得平方得算术根,a得范围就是一切实数.

(2)()a2表示一个数得算术平方根得平方,a得范围就是非负数.

(3)a2与()a2得运算结果都就是非负得.

三:最简二次根式与同类二次根式

1、最简二次根式:

(1)最简二次根式得定义:①被开方数就是整数,因式就是整式;②被开方数中不含能开得尽方得数或因式;(分母中不含根号.

2、同类二次根式(可合并根式):

几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并得两个根式。

四:二次根式计算——分母有理化

1.分母有理化

定义:把分母中得根号化去,叫做分母有理化。

2.有理化因式:

两个含有二次根式得代数式相乘,如果它们得积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:

①单项二次根式:利用aaa来确定,如:aa与,abab与,ba与ba等分别互为有理化因式。