a 2
a b a b
x +1 - 2x + 4 x - 3 x 2 - 6x + m x - 3 1. 二次根式具有以下性质：
（1） ( a )
2
= a （ a ≥ 0 ）（2） = a
2. 常用二次根式运算法则：
（1） • = （ a ≥ 0 ， b ≥ 0 ）（2）
= （ a ≥ 0 ， b > 0 ）
类型一 二次根式的“双重非负性”
例 1（1）要使代数式
有意义，
x 的取值范围是（
）．
x
A. x ≠ -1
B. x ≠ 0
C. x > -1 且 x ≠ 0
D. x ≥ -1且 x ≠ 0
- 2
（2）要使代数式
x 2 - 4x + 3
有意义，那么 x 的取值范围是
．
【变式题组】1.二次根式 有意义，则实数 x 的取值范围是（
）．
A. x ≥ -2
B. x > -2
C. x < 2
D. x ≤ 2
2. 若代数式
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（
）．
A. x ≥ -3
B. x > 3
C. x ≥ 3
D. x ≤ 3
3. 函数 y =
中自变量
x 的取值范围是（
）．
x
A. x ≠ 0
B. x ≥ 2
C. x > 2 且 x ≠ 0
D. x ≥ 2 且 x ≠ 0
4. 无论 x 取何实数，代数式
都有意义，则 x 的取值范围为
．
ab a
b x - 2
x - x x 2 - 4 4 - x 2 b - 3 y + 2 x 2 - 9 9 - x 2 a - 2015 45a 30 2 1 2
40b 2 17(a 2 + b 2 )
a 3a 2 a 3
2a 3 6 8x
5. 要使代数式 3 - x -1
有意义，实数 x 的取值范围是
． x -1 - 2
例 2 （1）已知 y = + + 2 ，求 y x 的值．
（2）已知 y = + ，求 x + y 得值．
（3）若 a 2 - 4a + = -4 ，则 a 2 - 2b =
．
【变式题组】6.若 x - y + = 0 ，则 x 、 y 的值分别为
．
7. 已知 x 、 y 为实数，且 y =
- + 4 ，则 x - y =
．
8. 若实数 x 、 y 满足 x - 4 +
= 0 ， 则以 x 、 y 的值为边长的等腰三角形的周长为
．
9.已知实数 a 满足 2014 - a + = a ，那么 a - 20142 =
．
类型二 最简二次根式与同类二次根式
例 3 （1）下列二次根式 ， ， ， ， 54 ， 中，为最简二
次根式的是
．
（2）在下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（
）
A.
2a
B.
C ．
D ．
【变式题组】10.在下列根式4 ， ， ， 中，最简二次根式有（
）
y - 8 a
4
5a
2.5 a 2b ab 2
abc 3
(3 - a )2
(x -1)2
a 2
A ．4 个
B ．3 个
C ．2 个
D ．1 个[来源:学§科§网]
11.下列四组根式中，是同类二次根式的一组是（ ）
A.
和2 B. 3a 和3b
C.
和 D ． 和
类型三 利用二次根式的性质化简
例 4 如果式子 + x - 2 化简的结果为2x - 3 ，则 x 的取值范围是（
）．
A. x ≤ 1
B. x ≥ 2 C ．1 ≤ x ≤ 2
D ． x > 0
【 变 式 题 组 】 12.若 代 数 式
+ 的 值 是 常 数 2， 则
a 的 取 值 范 围
是 ．
13. 若 1- x = 1+ x ，则 =
．
14.若 a = -a ，则 2a - = （
）．
A. a
B. - a
C. 3a
D. - 3a
类型四 简单的二次根式的化简与求值[来源:学科网]
例 5 （1）计算： (- 3)0
-
- 3 + ⎛- ⎝ 1 ⎫-2
⎪ ⎭
0.5 a b
c 3
ab
(x -1)2
(1- a )2
5 5 3 -
1
3 a - b
b - a b - a 0.5 4 1 2 3 1
（2） 计算： ⎛ 12 ⎝ + 3 - ⎫ 48 ⎪
⎭
（3） 把(a - b )
根号外的因式移到根号内结果为（
）．
A ．
B ．
C ． -
D ． -
【变式题组】15.计算：
8 - - + 2 2
16.计算：
- - + (
1-
3)
0 - ⎛ 1 ⎫ ⎪ ⎝ ⎭
2 17.（1）化简： 3
9x + 6 - 2x
，并将自己喜欢的 x 的值代入化简结果进行计算．
（2） 代数式 a
化简为（ ）．
75 1 b - a a - b
50
12
3
x 4 1
x - 1
a
-1
