数学二次根式(讲义及答案)含答案
一、选择题
1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数
B ．0≤x≤5
C ．x≥5
D ．x≤5
2．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A B C D 3．下列各式成立的是（ ）
A 3=
B 3=
C ．22(3
=- D ．2-=
4．下列各式计算正确的是（ ）
A =
B =
C ．23=
D 2=-
5．下列各式计算正确的是（ ）
A =
B 6=
C ．3+=
D 2=-
6．下列各式中正确的是（ ）
A 6
B 2=-
C 4
D ．2(＝7
7．若a
，b ＝，则a b 的值为（ ）
A ．
1
2 B ．
14
C ．
3
21
+
D
8．下列各式计算正确的是（ ）
A +=
B ．2
6=（
C 4=
D =
9．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
10．设0a >，0b >=的值是
（ ） A ．2
B ．
14
C ．
12 D ．
3158
11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）
A B C D
12．2
30x -=成立的x 的值为（ ）
A ．-2
B ．3
C ．-2或3
D ．以上都不对
二、填空题
13．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51
-_______12 14．已知实数,x y 满足()(
)
2
22008
20082008x x y y ----=，则
2232332007x y x y -+--的值为______.
15．计算（π-3）02-2
11(223)-4
--22
--（）
的结果为_____． 16．把31
a a
-
根号外的因式移入根号内，得________ 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“
”表示算数平
方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.
18．化简：3222＝_____． 19．函数y ＝
42
x
x --中，自变量x 的取值范围是____________． 20．28n n 为________．
三、解答题
21．计算：
2232234334
1009999100
+
++++【答案】
910
【解析】 【分析】
先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算
【详解】
10099++
=
2100992-++++
=991224-+-++
-
=1100
- =1
110
- =
910
【点睛】
本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易。
22．阅读下面的解答过程，然后作答：
m 和n ，使m 2+n 2=a 且，
则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2
例如：∵=）2+）2=）2
∴
请你仿照上例将下列各式化简
（12
【答案】（1）2-
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】
解：（1）∵22241(1+=+=，
1=
（2）∵2227-=-=，
∴
==
23．小明在解决问题：已知
2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵
=2
∴a﹣2=
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=﹣1
∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1
（2）若
，求4a2﹣8a+1的值．
【答案】（1）9；（2）5．
【解析】
试题分析：
（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得
1
===.
(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2
(1)
a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.
解：（1）原式=1)++
+?
（2）∵1
a===，
解法一：∵22
(1)11)2
a-=-=，
∴2212
a a
-+=，即221
a a
-=
∴原式=2
4(2)14115
a a
-+=?+=
解法二∴原式=2
4(211)1
a a
-+-+
2
4(1)3
a
=--
2
11)3
=--
4235
=?-=
点睛：（1
得22
=-=-
a b，去掉根号，实现分母有理化.
（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙
利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.
24．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
1)1
=，
1
=，
1
=，
1
=??
（1）观察以上规律，请写出第n个等式：(n为正整数）．
（2
（3
【答案】（1）1
=；（2）9；（3
【分析】
(1)根据规律直接写出,
(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.
(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.
【详解】
解：（1）根据题意得：第n个等式为1=；
故答案为1
=；
（2）原式111019
==-=；
（3
-==，
<
∴
>．
【点睛】
本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.
25．
一样的式子，其实我
3
====，
1
===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化
还可以用以下方法化简：
2
2
111
1
===
-
=
（1
2
）化简：
2n
++
+
【答案】（1
-2
.
【解析】
试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
试题解析：（1）
==
===
（2）原式
=
12
2
n
++++
=
1
2
.
考点：分母有理化．
26．已知a
，b
（1）求a2﹣b2的值；
（
2）求
b
a
+
a
b
的值．
【答案】（1）；（2）10
【分析】
(1)先计算出a+b、a-b的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；
(2)先计算ab的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.
【详解】
(1)∵a
b
，
∴a+b
a﹣b
＝，
∴a 2﹣b 2＝(a +b )(a ﹣b )＝
＝
； (2)∵a
b
， ∴ab ＝
)×
)＝3﹣2＝1，
则原式＝
2
2
b a ab +＝
()2
2a b ab ab +-
＝(2
211
-?＝10． 【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.
27．计算
（1
）
)(
1
2112
-?
--??
（2
）已知：
1
1,2
2
x y =
=
，求22x xy y ++的值．
【答案】（1）28-；（2）17． 【分析】
（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先求出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得． 【详解】
（1
）原式(
)(
(
2
2
1312
?
?=?+--????
，
((
)1
475452
=?+---
230=+
28=-；
（2
）
(
1119,
2
2
x y =
=
，
11
2
2
x y ∴
+=+
=，
()111
191122
24
xy =
?
=?-=，
则()2
22x xy y x y xy ++=+-，
2
2=
-，
192=-， 17=． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
28．（1
）计算
)
(2
2
01113-??
--?- ???
（2）已知,,a b c
为实数且
2c =2c ab
-的值
【答案】（1）13；（
2）12-【分析】
（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可； （2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可． 【详解】
（1）
)
(2
2
01113-??
--?- ?
??
31=+?
=4+9
=13；
（2）根据二次根式有意义的条件可得：
∵()2303010a a b ?-≥??
-≥??-+≥??
， ∴3a =，1b =-
， ∴2c =
∴(
()2
223112c ab -=-?-=-
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
29．
计算：（1
；
（2
）
)
)
2
13
【答案】（1）
2）1-. 【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案． （2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算．
【详解】
（1）原式=
=
（2）原式=212---
=1-. 【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．
30．先阅读下面的解题过程，然后再解答.
a ，
b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==
0)a b ==±>.
这里7m =，12n =， 由于437+=，4312?=，
所以22+==，
2===.
. 【答案】见解析 【分析】
应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【详解】
根据题意，可知13m =，42n =， 由于7613+=，7642?=，
所以2213+=，=
===
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可．
【详解】
x x
==-=-，
|5|5
∴5-x≥0，
解得：x≤5，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．A
解析：A
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】
A
B|a|，可以化简，故不是最简二次根式；
C=
=，可以化简，故不是最简二次根式；
D
2
故选：A．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．A
解析：A
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：A3
=，故A正确；
B-不能合并，故B错误；
C、22
(
3
=，故C错误；
D、=D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．C
解析：C
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
2
，故选项A错误；
=B错误；
C. 2
3
=，故选项C正确；
2
=，故选项D错误；
故选C.
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据
a
=对D进行判断．
【详解】
解：A不能合并，所以A选项错误；
B6
=，正确，所以B选项正确；
C、3不能合并，所以C选项错误；
D22
=--=
()，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减计算法则．
6．D
解析：D 【分析】
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】
解：A
，故A 错误； B
1
2
=
，故B 错误； C
=C 错误； D
、2(=7，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 将a
可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出
a b 的值． 【详解】 a
=
b 4
4
=．
∴
14a b =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．
8．D
解析：D 【分析】
根据二次根式的运算法则一一判断即可．
【详解】
A
B 、错误，2
12=（；
C==
D==
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则，属于中考常考题型．
9．A
解析：A
【解析】
根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，
即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．
10．C
解析：C
【分析】
=变形后可分解为：
）＝0，从而根据a＞0，b＞0可得出a和b的关系，代入即可得出答案．
【详解】
由题意得：a＝＋15b，
∴＋）＝0，
＝，a＝25b，
1
2
．
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a和b的关系是关键．11．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.
【详解】
A、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；
B、x-3＞0，解得：x＞3，故此选项错误；
C、x+3＞0，解得：x＞-3，故此选项错误；
D、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．
12．B
解析：B 【分析】
根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案. 【详解】
x 30-=，
0=0=， ∴x=-2或x=3，
又∵20
30x x +≥??
-≥?， ∴x=3， 故选B. 【点睛】
本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.
二、填空题
13．【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可． 【详解】 (1) (2) ∵ ∴ ∴
故答案为： ，． 解析：< <
【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可． 【详解】
(1)<
(2)
113
424
-=
∵3=
∴
3
0 4
<
<1 2
故答案为：<，<．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．14．1
【分析】
设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．
【详解】
解：设a=，b=，则x2?a2=y2?b2=2008，
∴(x+a)(x?a)=(y+b)(y?b)=2008……
解析：1
【分析】
设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】
解：设x2?a2=y2?b2=2008，
∴(x+a)(x?a)=(y+b)(y?b)=2008……①
∵(x?a)(y?b)=2008……②
∴由①②得：x+a=y?b，x?a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007
=3×2008?2×2008+3(x?y)?2007
=2008+3×0?2007
=1.
故答案为1.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 15．﹣6
【解析】
根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.
故答案为﹣6．
解析：﹣6 【解析】
根据零指数幂的性质01(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质
1
(0)p
p a a a
-=
≠，可知（π-3）0-2
1-2
（）
=1﹣（3﹣）﹣
4×
2
﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．
16．【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴．
故答案为：． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质
【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】 解：∵31
0a
-
≥， ∴0a <，
∴a
===．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．
17．a+3 【分析】
根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简. 【详解】
解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2所示题目（字母代表正数）翻
【分析】
根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.
【详解】
解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2
∵a＞0+3.
=
a
a+3.
【点睛】
本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.
18．【分析】
直接合并同类二次根式即可．
【详解】
解：．
故答案为
【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
解析：
【分析】
直接合并同类二次根式即可．
【详解】
解：=．
故答案为
【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．19．x≤4且x≠2
【分析】
根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．
【详解】
解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0．
解得x≤4且x≠2．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方
解析：x≤4且x≠2
【分析】
根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．
【详解】
解：由，得4-x≥0且x-2≠0．
解得x≤4且x≠2．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键．
20．7
【分析】
把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】
解:∵28=4×7，4是平方数，
∴若是整数，则n的最小正整数值为7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查了二次根式
解析：7
【分析】
把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】
解:∵28=4×7，4是平方数，
n的最小正整数值为7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．三、解答题
21．无
22．无
23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无