人教版八年级下册 第十六章 二次根式知识清单及典型题型练习 讲义(无答案)

二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a 才有意义．【例1】下列各式()511，()52-，()232+-x ，()44，()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()a -16，()1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式112++a 取值最小，并求出这个最小值。

【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12a b ++的值。

变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。

2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求yx 12+的值. 知识点2：2、双重非负性：a a ()≥0是一个非负数．即①0≥a；②0≥a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()a aa 20=≥；（2）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()．公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系：（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=．变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则()2017b a -=。

二次根式·思维导图·知识点梳理1. 二次根式的定义等式子，都叫做二次根式.要点诠释：(1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，必须含有二次根号“”；“”的根指数为2，即2，“2”一般省略不写．(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是a必须大于或等于0.2.二次根式有意义的条件A.二次根式有意义的条件是:被开方数(式)为非负数，反之也成立，即a有意义⇔a≥0.B.二次根式无意义的条件是:被开方数(式)为负数，反之也成立，即a无意义⇔a＜0.要点诠释：1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数(式)都是非负数．2)如果一个式子既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负数，分式的分母不等于0．3)如果一个式子含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0．C.求式子有意义时字母的取值范围的步骤：①明确式子有意义的条件。

②利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组．③求出不等式或不等式组的解集，即为字母的取值范围．3.二次根式的性质)0(2)(1≥=aaa）（；0)a≥⎪⎩⎪⎨⎧-===)0()0(0)0(22＜＞）（a a a a a a a ；要点诠释： 1)()的区别与联系和22a a2)）（0≥a a 的双重非负性：①被开方数非负：a ≥0；②二次根式的值非负：a ≥0.知识拓展：A.具有非负性的式子：①二次根式(偶次方根)②绝对值③平方式(偶次方根)B.几个非负数和为0，则每个式子的值都为04. 二次根式的乘除法(1)乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥≥二次根式的除法 商的算术平方根化简公式：要点诠释：1)当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则，如.2)被开方数a 、b 一定是非负数(在分母上时只能为正数).(2)分母有理化）＞（①0,0b a b ab bb b a b a ≥=⋅⋅= ）＞（②0)(2b b a bb a b ab == b a b a b a b a b a b a --=-+-⋅=+))(()(11③ b a b a b a b a b a b a -+=+-+⋅=-))(()(11④5. 最简二次根式1)被开方数是整数或整式(分母不含有根号)；2) 被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.把二次根式化成最简二次根式时，需要注意① 把根号下的带分数化成假分数；0,0)a b =≥>0,0)a b =≥>=≠② 被开方式是多项式的要进行因式分解；③ 被开方式不含分母；④ 被开方式中能开得尽方的因数或因式，要将它的算术平方根移到根号外；⑤ 化去分母中的根号——分母有理化；⑥ 约分．6.二次根式的加减法(1)同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如=与.(2)二次根式加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=·考点辨析及经典例题考点1.二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x 的取值范围。

第十六章二次根式知识清单一、二次根式的概念一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式，“____”称为二次根号. 【深度理解】1.________________________________________________________2.________________________________________________________3.________________________________________________________4.________________________________________________________5.________________________________________________________二、二次根式的有意义的条件1.________2....有意义的条件：_________3.有意义的条件：________4.二次根式与分式的和如B CB有意义的条件：_______________三、二次根式的性质性质一：一般地，__________________即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.注意：___________________________________________________________. 性质二：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的_________.四、代数式及其写法思考：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？【归纳】代数式书写格式注意事项：1.________________________________________________________________2.________________________________________________________________3.________________________________________________________________4.________________________________________________________________5.________________________________________________________________六、二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：__________________________即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：____________________________________________________. 2.积的算术平方根的性质：__________________________语言表述：____________________________________________________.七、二次根式的除法1.二次根式的除法法则： ______=ba (a ≥0，b ＞0) 即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：___________________________________________.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得_________(0,0,0).a b n=≥>≠ 2.二次根式的商的算术平方根的性质:_____(0,0).a b =≥> 语言表述：_______________________________________________.八、最简二次根式(1) _________________________；(2) _________________________________________.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做___________________.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为__________，并且______中不含二次根式.九、二次根式的加减1.化成_______________后，被开方数________的几个二次根式，叫做___________________.2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______________，再将被开方数_____的二次根式(________________)进行合并.加减法的运算步骤：(1)______________________________________；(2)______________________________________；(3)______________________________________.简单说成“__________________________”十、二次根式的混合运算二次根式的混合运算的顺序：_____________________________________________________ ___________________________________________________________________.第十六章二次根式知识清单一、二次根式的概念一般地，我们把形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式，“√ ”称为二次根号. 【深度理解】1.表示a的算术平方根；2.a可以是数，也可以是式；3.形式上含有二次根号√ ；4.a≥0，√a≥0 (双重非负性)；5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.二、二次根式的有意义的条件1.单个二次根式如√A有意义的条件：A≥02.多个二次根式相加如√A +√B+...+√N 有意义的条件：00...0A B N ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥；≥；≥；3.二次根式作为分式的分母如√A 或√1A 有意义的条件：A ＞0 4.二次根式与分式的和如√AB 或√A +CB 有意义的条件：A ≥0且B ≠0三、二次根式的性质 性质一：一般地，(√a)2=a (a ≥0)即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a ≥0这一限制条件.这是使二次根式√a 有意义的前提条件. 性质二：一般地，根据算术平方根的意义， √a 2=a (a ≥0)，√a 2=−a (a ＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. √a 2=| a |四、代数式及其写法回顾我们学过的式子，如5，a ，a+b ，-ab ，st ，-x 3，√3，√a (a ≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.代数式书写格式注意事项：1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a ×b 通常写作a ·b 或ab.2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如：a ×2通常写作2a.3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：323×a 通常写作113a.4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: 3y .5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升t ℃后是(2+t)℃.六、二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：√a •√b =√ab (a ≥0，b ≥0)即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.2.积的算术平方根的性质：√ab =√a ⋅√b （a≥0，b ≥0）语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.七、二次根式的除法1.二次根式的除法法则：√a √b =√ab (a ≥0，b ＞0)即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得(0,0,0).a b n=≥>≠2.二次根式的商的算术平方根的性质:(0,0).a b=≥>语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.八、最简二次根式(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.九、二次根式的加减1.同类二次根式:化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.加减法的运算步骤：(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找—找出被开方数相同的二次根式；(3)并—把被开方数相同的二次根式合并.“一化简二判断三合并”十、二次根式的混合运算1.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.2.二次根式与乘法公式的综合运用：二次根式中单乘多、多乘多、多除单与整式乘法非常相似，均可以运用整式乘法法则与整式乘法公式进行计算.运用的乘法公式主要是：平方差公式与完全平方公式.。

第十六章二次根式思维导图【二次根式】(1)二次根式的概念一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号,“a”称为被开方数.(2)二次根式概念的理解①“2”中一般把根指数2省略,写作“”,但不要误认为根指数是1或没有.②二次根式a中的a可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等。

③a≥0是a为二次根式的前提条件,如2，9，a2+b2，x-y (x>y)是二次根式，而-2，-(x+1) (负数没有算术平方根)不是二次根式。

④形如b a (a≥0)的式子都是二次根式，如56是二次根式.【二次根式有意义的条件】(1)对于二次根式a 来说,被开方数a 必须是一个非负数,即a≥0,当a 是一个代数式时，可根据二次根式的概念来确定a 中字母的取值范围，如2-x 是一个二次根式，则2-x≥0，∴x≤2. (2)①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是使各个二次根式中的被开 方数都必须为非负数。

例如:要使x-1 +3-x 有意义,则x-1≥0且3-x≥0, ∴1≤x≤3②如果所给的式子中含有分母,那么式子有意义的条件是除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不能为零。

典例1 (中考)二次根式x-3中,x 的取值范围为 。

解析: 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.则x-3≥0,解得x≥3 答案: x≥3典例2 (中考)使代数式2x-13-x 有意义的x 的取值范围是 。

解析: 若要使代数式2x-1有意义,则x 需要满足2x-1≥0且3-x≠0,解得x≥12且x≠3 答案: x≥12且x≠3 【二次根式的性质】点拨：(a)2(a≥0)既可正向应用,也可逆向应用,如(5)2=5,反过来5=(5)2.在实数范围内分解因式或有关化简求值中应用此式较多,例如:分解因式a2-5=a2-(5)2=(a+5)(a-5)。

典例(中考)若实数x,y满足|x-4|+y-8=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为。

第16章二次根式整章复习知识点1平方根与算术平方根1．计算：16＝.2.－52的平方根是.3．9的平方根是,9的算术平方根是.．计算：－22－|－1|＝.4知识点2二次根式存心义1．要使二次根式x－2存心义，x一定知足() A．x≤2B．x≥2C．x＞2D．x＜22．以下的式子必定是二次根式的是()A.－x－2B．x2＋2D．x2－2．若代数式x存心义，则实数x的取值范围是3x－1.4．若20n是整数，则正整数n的最小值为.知识点3二次根式的性质1．以下计算正确的选项是()A.12＝23B．3＝322 C.－x3＝x－x D．x2＝x．若x －32＝3－x，则x的取值范围是.23．在数轴上表示实数a的点如图，化简－52＋|a－2|的结果a为.．计算：2－1－22＝.＋4知识点4二次根式的化简与计算．计算：1＋27×3.132．计算：212×3÷52. 43．计算：5 3+27－48.4．计算：(－2)×6＋|3－2|－1－1. 25．计算：222115. 3÷－5×5a2＋2a＋1a6．先化简，再求值：a 2－1－a－1，此中a＝3＋1.知识点5二次根式的应用1．一个正方形的面积与一个长方形的面积相等，长方形的长为502cm，宽为402cm，求正方形的边长．2．一个直角三角形向来角边长为3cm，斜边长30cm，求这个三角形的面积．3．如图，已知矩形ABCD的面积为106，求图中暗影部分的面积．4．如图，在一个边长为( 3＋5)cm的正方形内部挖去一个边长为(5－3)cm的正方形，求节余部分的面积．第十六章二次根式◆知识点1平方根与算术平方根1.42.±√53.±33◆知识点2二次根式存心义◆知识点3二次根式的性质54.2◆知识点4二次根式的化简与计算1.解:原式=√1×√3+√27×√3=1+9=10.3√3√23√22.解:原式=4√3×4÷5√2=3×10=10.3.解:原式=5√3+3√3-4√3=4√3.4.解:原式=-√12+2-√3-2=-2√3-√3=-3√3.5.解:原式=-2√2×√51√15 32×51252=-2×5×√3×2×15=-5×5=-2.6.解:原式=(??+1)2-??=??+1-??=1,(??+1)(??-1)??-1??-1??-1??-1 13当a=√3+1时,原式=√3=√3.◆知识点5二次根式的应用1.解:长方形的面积=50√2×40√2=4000cm2,故正方形的边长=√4000=20√10cm.2.解:设该直角三角形的另一条直角边长为xcm.∵直角三角形向来角边长为√3,斜边长√30,∴由勾股定理得x2=(√30)2-(√3)2=30-3,∴x=3√3,∴这个三角形的面积=12×3√3×√3=4.5(cm2).3.解:BC=10√6÷√6=10,暗影部分的面积=√6×[10-(√6-√2)]+(√6-√2)(√6-√2)=10√6-6+2√3+8-4√3=10√6-2√3+2.4.解:节余部分的面积为(√3+√5)2-(√5-√3)2 =(√3+√5+√5-√3)(√3+√5-√5+√3)=2√5×2√3=4√15(cm2).。

人教版八年级下册数学知识点归纳第十六章 二次根式1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. (3)积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.。

第十六章 二次根式基本知识点1.二次根式的有关概念：（1）形如 的 式子叫做二次根式.（即一个 的算术平方根）二次根式有意义的条件: .（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：① ；② .（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

2.二次根式的性质：（1） 非负性3.二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) 0()a≥0 2(2)(0)a = ≥ =(0,0)a b = ≥ ≥(00)a b = ≥>(0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。

Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根号外的因数合并。

二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律、公式）仍然适用二次根式提高测试题一、选择题1．要使式子x -1有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≤1B.x ≥1C.x ＞0D.x ＞﹣12．下列式子成立的是（ ） A ．331= B ．2332=- C ．332=-）（ D.（3）2=6 3．化简8的结果是（ ）A ．2B ．4C ．22D ．±224．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A.2x B.8 C.2x D.12+x 5．如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和，点A 关于点B 的对称点是点C ，则点C 所表示的数是（ ）A 2 1B ．2．2 2 D ．2 16．化简2723-的结果是（ ） A ．32- B ．32- C ．36- D ．2- 7．若代数式有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x ≥﹣2且x ≠﹣1 B.x ＞﹣2且x ≠﹣1C.x ≤2且x ≠﹣1D.x ＜2且x ≠﹣18．已知是整数，则实数n 的最大值是（ ）．A ．12B ．11C ．8D ．3二、填空题9．（3+7）（3﹣7）= ．10．已知a 、b 为两个连续的整数，且28b <，则a+b=________．11()2310m n -+=，则m ﹣n 的值为 ． 1221x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ．13．已知x=3+1，y=3﹣1，则代数式yx x y +的值是 ． 14．若x ，y 为实数，且0)31(32=-+-y x ，则xy= ． 15. 若246m -234m -m 的值为 . 16. 若0,0a b <>3a b -化简得 .三、计算题17．计算：272833.）1（-+-；22)2664.(）2（÷-；227614.）3（⨯÷；)7581()3125.0.(）4（---．18．计算：10)41(2)31(-+-+-四、解答题19．已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a-15,b 的立方根是-2，求3a+b 的算术平方根.20．先化简，再求值：(1).2222()a b a b a b a b--÷+，其中a =b =(2).()22a 2a 1b ab a a 1+++÷+，其中a 1b 1==，．学习《弟子规》验收试题一、默写（10分）1、亲有过，_____________，____________，____________。

2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a为被开方数，√为根号符号。

2.二次根式的双重非负性：对于任何实数a，有√a≥0，且（√a）²=a。

3.二次根式的有理化：将二次根式的分母中含有根号的有理数化为分母中不含根号的有理数。

4.积的算术平方根的性质：√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）。

5.商的算术平方根的性质：√(a/b)=（√a）/（√b）（b>0）。

6.若a≥0，则√a²=a。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算：1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：（a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算：1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A、3；B、x；C、x²+1；D、x-12.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）√(2x-1)；（2）√(x+4)/(2x+1)；（3）1/(x+1)；（4）√(3-x)+1；（5）3-x+√(1/x)；（6）2x-1.7）若x(x-1)=1，则x的取值范围是（）。

8）若(x+3)/(x-3)=(x+3)/(x+3)，则x的取值范围是。

3.若3m-1有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________。

第十六章 二次根式复习总结（一）知识归纳（1）二次根式定义：形如式子叫做二次根式。

二次根式的形式定义：①从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”。

②被开方数a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但a 必须是非负数,否则a 无意义。

③“”的根指数为2,即“ 2”，一般省略根指数2，写作“”.需要注意的是:(1)建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．(2)提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．(3)形如a b （a ≥o ）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是假分数时不能写成带分数。

二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；(1)注意：)0(≥a a 的最小值是0.(2)拓展：具有非负性的式子有：)0(0;0;02≥≥≥≥a a a a 若02=++c b a ，则a=b=c=0)0(≥a a（2）二次根式的性质：1、 是一个非负数；2、3、 (a )2＝ a (a ≥0) ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)，(a ＝0)，(a <0).化简二次根式时注意: ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)a b ＝ab (a ≥0，b >0)2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．总结：求使代数式有意义的字母取值范围的类型：二次根式型：被开方数大于或等于0； 分式型：分母不等于0；复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分。

二次根式复习一、知识归纳（一）二次根式定义11）根指数是2，（2）被开方数是非负数2在实数范围内有意义的条件是 a ≥0 。

（二）二次根式的性质1、二次根式的双重非负性0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，0，2、）2=a (a ≥0)(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜（三）、最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数不含 的因数或因式。

满足：（1）根号内不含有分母，有分母的先通分，再将分母开出来（22，如果根号内含有因式或因数的=|a|，将每个因式或因数的指数都小于根指数2（（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=是最简二次根式.=，且因式2和22()x y +的指数都是1，所以.22a b +无法变成一个数（或因式），简二次根式.（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似.对同类二次根式的理解应注意以下几点：（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关.将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.（3）不是同类二次根式，千万不要合并.（四）二次根式的运算=≥，≥00)a b=≥，＞0a b0)≥，≥00)a b=≥，＞0a b0)二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.4、二次根式加减的步骤：（1）先将二次根式化成。

二次根式重难点详解一、 五大重点一一攻克1． 二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。

例1判断下列式子哪些是二次根式．（1 （2 （3 （4； （5剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根指数是否为2，被开方数整体是否为非负数．解：（1）∵ 被开方数-13（2）∵ 根指数是3 ，（3）∵被开方数9〉0(4) ∵ x 可取正数、负数、0； ∴5x -可取正数、负数、0。

即当50x -≥是二次根式；当50x -<不是二次根式。

（5）∵20x ≥ ， ∴20x -≤，即当0x =0x ≠时，2．二次根式的两个重要性质的理解和运用（1）(a )2=a (a ≥0)；（2a == (0)(0)a a a a ≥-<；例2 化简（1）2（2剖析： (a )2=a (a ≥0)的运用主要看被开方数a 整体是否为非负数。

（1） 中21x +无论x 取何实数恒为正数，故2=21x +；a ==(0)(0);a a a a ≥-<要特别关注a 的正负性。

（2中由340a -≥得0,0a a ≤-≥，所以=42()a -=22a =2-3.最简二次根式的概念的运用例3 在二次根式15453040,,,，223中，最简二次根式有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．例3中满足以上两个特点，故都是最简二次根式；而==中被开方数分别含有能开得尽方的因数9和4，故=3，简二次根式。

故选B 。

4.运用二次根式乘除法法则计算或化简例4 化简276)24÷÷解:原式==242.33==⨯=例5⨯ 解:原式= 53442392a a b a b ab b b b-⨯⨯=-=29a =- 。

点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。

第16章 二次根式知识点复习一、定义：1、二次根式的定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。

当a≥0时，a 表示a 的算术平方根当a 小于0时。

2、最简二次根式的定义：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含分母；⑵被开方数中不含开方开的尽的因数或因式。

注：在二次根式被开方数中，不能含有分数或者小数，幂的指数不能大于或等于2，分母中不含根式。

3、同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。

注：判断是否是同类二次根式，首先要把它们化简为二次根式，然后看被开方数是否相同。

二、二次根式a 的简单性质1、双重非负性：二次根式a ≥0（被开方数a≥0）2、()()02≥=a a a3、三、二次根式的有无意义的条件1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。

四、二次根式的乘法和除法10,0)a b =≥≥20,0)a b =≥五、二次根式的加法和减法1、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

2、合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

注：在二次根式加减运算时，根号外的系数因式须保留假分数形式，如六、二次根式的混合运算1、确定运算顺序2、灵活运用运算定律3、正确使用乘法公式4、大多数分母有理化要及时5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。

七、分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:当0,0a b≥==== II.分母是多项式如：当0,0,a b a b ≥≥≠==。

二次根式的观点与性质阅读与思虑式子 a (a0) 叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：1． a 0 ．说了然 a 与a、 a 2同样都是非负数．2 a 2 0）．解二次根式问题的基本门路——经过平方，去掉根号有理化．．＝ a （ a ≥3．a2a a 0a揭露了与绝对值的内在一致性．a a4 ab a g b（0 b 0）．． a ≥，≥5 ． aa（ a ≥，b＞）．给出了二次根式乘除法运算的法例．b b0 06 b 0 a＞b 0．若 a ＞＞，则＞，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既可以从等式的左侧变形到等式的右侧，也可以从等式的右侧变形到等式的左侧．例题与求解【例 1】设x，y都是有理数，且知足方程1 1y 4 0，那么 x y 的值是2 3x3 2____________ ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤x≤2，经化简，x 2 x 1 x 2 x 1 ＝___________．解题思路：从化简被开方数下手，注意 a 中 a ≥0的隐含限制．【例 3】若 a ＞ 0， b ＞ 0，且a ab 3 b a 5b ，求 2a 3b ab 的值．a bab（天津市比赛试题）解题思路： 对已知条件变形，求a ，b 的值或探究 a ， b 的关系．【例 4】若实数 x ， y ， m 知足关系式：3x 5y 2 m 2x 3 y m x 199 y g 199 x y ，试确立 m 的值．解题思路： 察看发现（ x － ＋）与（ － x － （北京市比赛试题 ） 199 y y ）互为相反数，由二次根式的定义、性质探 199索解题的打破口．【例 5】已知 a b 2 a 1 4 b 23 c 31c 5 ，求 a ＋ b ＋ c 的值．2（山东省比赛试题 ）解题思路： 题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确立未知量的值呢 ? 考虑从配方的角度试一试 .【例 6】在△ ABC 中， AB ， BC ，AC 三边的长分别为5 ， 10 ， 13 ，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先成立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ ABC 三个极点都在小正方形的极点处） ，如图 1 所示．这样不需求△ ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ ABC 的面积直接填写在横线上：_________．（2）我们把上述求△ ABC 面积的方法叫作构图法．若△ ABC（ a ＞ 0），请利用图 2 中的正方形网格（每个小正方形的边长为积．三边的长分别为a ）画出相应的△5a ，2 2a ， 17aABC ，并求出它的面（3）若△ ABC三边的长分别为m 216n 2，9m 24n 2，2m 2n 2（ m ＞ 0，n ＞ 0，且 m ≠n ）试运用构图法求出这个三角形的面积．（咸宁市中考试题 ）解题思路： 此题主要考察三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可经过结构直角三角形、正方形等特别图形求得．ABC图1图2能力训练A 级x3 21．要使代数式4x存心义．则 x 的取值范围是 _____________ ．x 2 3（ “希望杯”邀请赛试题 ）2．阅读下边一题的解答过程，请判断能否正确?若不正确，请写出正确的解答．已知 a 为实数，化简a 3 a 1 ．a解：原式＝ a aag1aa 1a ．a3．已知正数 a ， b ，有以下命题：（ 1）若 a ＝ 1， b ＝1，则 ab1；（ 2）若 a ＝ 1 ， b ＝ 5，则 ab3 ； 222（ 3）若 a ＝ 2， b ＝3，则 ab5 ；2（ 4）若 a ＝ 1， b ＝5，则 ab 3．依据以上命题所供给的信息，请猜想：若a ＝ ，b ＝ ，则 ab ________ ．6 7（黄冈市比赛试题 ）4．已知实数 a ， b ， c 知足 1 a b2bc c 2 c1 0 ，则 a g （ b ＋ c ）的值为 _______．245．代数式x x 1 x 2 的最小值是（）．A ． 0B ．1＋ 26．化简 9x26x 13x 5C ． 1D ．不存在2的结果是（ ） ．A ． 6 x － 6B ．－ 6 x ＋ 6C ．－ 4D ．4（江苏省比赛试题 ） 7．设 a 是一个无理数，且 a ， b 知足 a b － a － b ＋ l ＝ 0，则 b 是一个（）．A ．小于 0 的有理数B ．大于 0 的有理数C ．小于 0 的无理数D ．大于 0 的无理数（武汉市比赛试题 ）8．已知 a ab3 b2a4 b ，此中 ab ≠0，求a5bab的值．3a b ab（山东省中考试颗）9．已知 611 与 6 11 的小数部分分别是 a ， b ，求 ab 的值．（浙江省比赛试题）10．设 a ， b ， c 为两两不等的有理数．求证：1 1 1 2b c2a bc a2 为有理数． （北京市比赛试题）11．设 x ， y 都是正整数，且使 x 116 x 100 y ，求 y 的最大值．（上海市比赛试题）B 级1．已知 x ， y 为实数， y ＝ x 29 x 9 x 2 1，则 5 x ＋ 6 y ＝ _________．32．已知实数 a 知足 1999 aa 2000 a ，则 a － 19992＝ ___________．3．正数 m ， n 知足 m ＋ 4mn － 2 m － 4 n ＋4 n ＝ 3，那么m 2 n8的值为 _______ ． m 2 n 2002（北京市比赛试题 ）4 ．若 a ， b 知足3 a 5 b ＝ ，则 s= 2 a3 b 的取值范围是________ ．7（全国初中数学联赛试题 ）5．已知整数 x ， y 知足x ＋ 2 y ＝ 50，那么整数对（ x ， y ）的个数是（）A ． 0B ． 1C ．2D ．3（江苏省比赛试题 ）1a ＝ 1，那么代数式1 a 的值为（）6．已知aa5B ．－5C ．－5D ．5A ．22（重庆市中考试题 ）7．设等式a x a a y ax aa y 在实数范围内成立，此中 x ， y ， a 是两两不一样的实数．则代数式3x 2 xy y 2的值为（） ．x 2 xy y 2A ． 3B ．1C ． 2D ．5338．已知25 x 215 x 2 2 ，则 25 x 215 x 2 的值为（） ．A ． 3B ． 4C ．5D ． 69．设 a ， b ， c 是实数，若 a ＋ b ＋ c ＝ 2 a 1 ＋ 4 b 1 ＋ 6 c 2 14－ ，求a b c b c a c a b的值．（北京市比赛试题 ）10．已知ax3＝by3＝ cz3，1＋1＋1＝ 1，求证：3ax2 by 2 cz2 3 a ＋3 b ＋3 c ．x y zax b11．已知在等式s中， a ， b ， c ， d 都是有理数，cx d（ 1）当a，b，c，d知足什么条件时，s是有理数，（ 2）当a，b，c，d知足什么条件时，s是无理数．x是无理数．求：（“希望杯”邀请赛试题）12．设s＝1 1 111 111 1s 的最大整数[s]．2 222 2 2 2 ，求不超出1 2 3 1999 200013．如图， C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，D 作 AB⊥ BD，ED ⊥BD ，连接 AC ，EC，已知 AB＝ 5， DE ＝ 1， BD＝8，设 CD＝x．（1）用含x的代数式表示 AC＋CE 的长；（2）请问点 C 知足什么条件是 AC ＋CE 的值最小？（ 3）依据（ 2）中的规律和结论，请构图求出代数式x22412 x9 的最小值．ADB CE（恩施自治州中考试题）。