华理高数全部复习资料之 重积分

第12章 重积分 内容提要 （一）二重积分概念和性质 1．二重积分定义：设二元函数),(yxfz定义在有界闭区域D上。将D任意划分成除公共边界外没有其它公共部分的n个子区域i（ni,,2,1），在每个i中任取一点

),(ii

（ni,,2,1），作和式niiiif1),(。令表示各子区域直径的最大值，若

极限niiiif10),(lim存在，且极限值和区域D的分割方式以及各子区域中点),(ii的取法无关，则称函数),(yxfz在区域D上可积，并称此极限为),(yxfz在区域D上的

二重积分，记作Dyxfd),(，即

niiiiDfdefyxf10),(limd),( 其中，),(yxf称为被积函数，d),(yxf为被积表达式，d为面积元素，x、y是积分变

量，D是积分区域，并称niiiif1),(为积分和式。 2．二重积分的几何意义：设),(yxfz在区域D上连续，当0),(yxf时，二重积分Dyxfd),(

表示以曲面),(yxfz为顶，底面区域是D的曲顶柱体的体积。

3．性质 （1）线性性质 若),(yxf，),(yxg在D上可积，1k和2k为任意常数，则),(),(21yxgkyxfk在D上可积，且

DDDyxgkyxfkyxgkyxfkd),(d),(d)],(),([

2121。

（2）积分区域可加性质 若21DDD，且1D和2D除边界外没有公共部分，则),(yxf在D上可积的充要条件是),(yxf在1D和2D上都可积，且

21d),(d),(d),(DDDyxfyxfyxf

。

（3）不等式性质 设),(yxf，),(yxg在D上可积，则 （i）若Dyx),(，),(),(yxgyxf，则 DDyxgyxfd),(d),(

，

特别有 DDyxfyxfd),(d),(。 （ii）若Myxfm),(，是D的面积，则有 MyxfmDd),(

。

（4）积分中值定理 设),(yxf为有界闭区域D上的连续函数，则存在D),(，使得 ),(d),(fyxfD



，

其中是D的面积。 （5）对称区域上奇偶函数的积分性质 设),(yxf在有界闭区域D上可积， （i）若D关于x轴对称，则







),(),(,0),(),(,dd),(2dd),(*yxfyxfyxfyxfyxyxfyxyxfDD当当

， 其中}0,),(|),({*yDyxyxD。 （ii）若D关于y轴对称，则







),(),(,0),(),(,dd),(2dd),(*yxfyxfyxfyxfyxyxfyxyxfDD当当

， 其中}0,),(|),({*xDyxyxD。 （二）二重积分的计算 1．利用直角坐标系计算二重积分 设),(yxf在平面有界闭区域D上连续： （i）若)}()(,|),({21xyxbxayxD，其中)(1x、)(2x在],[ba上连续。区域D的特点是：穿过D内与y轴平行的直线与D的边界相交不多于两点，称为X型区域。则

yyxfxyxyxfxxbaDd),(ddd),()()(21。

（ii）若)}()(,|),({21yxyyyxD，其中)(1y、)(2y在],[上连续。区域D的特点是：穿过D内与x轴平行的直线与D的边界相交不多于两点，称为Y型区域。则

xyxfyyxyxfyyDd),(ddd),()()(21。

如果区域D不满足以上条件，可以将区域D分成若干个部分区域，使每个部分区域满足以上条件，再利用积分关于区域的可加性来计算。

2．利用极坐标系计算二重积分

极坐标与直角坐标的关系为sincosryrx，极坐标系中的面积元素为dddrr。在极坐标系下，二重积分可变为

DDrrrrfyxfdd)sin,cos(d),(

（i）极点在区域D外。区域D在极坐标下可表示为 

，)()(21r

其中函数)(1、)(2在区间],[上连续，则 )()(21d)sin,cos(dd),(rrrrfyxf

D

（ii）极点在区域D边界上。区域D在极坐标下可表示为

，)(0r

其中函数)(在区间],[上连续，则 )(0d)sin,cos(dd),(rrrrfyxf

D

（iii）极点在区域D内。区域D在极坐标下可表示为

20

，)(0r

其中)(在区间]2,0[上连续，从而有 )(020d)sin,cos(dd),(rrrrfyxf

D

（三）二重积分的应用

1．曲面面积：设曲面S是由方程),(yxfz给出，S在xoy平面上的投影区域为xyD，且函数),(yxf在xyD上有连续的偏导数。则曲面S的面积为

yxzzAxyDyxdd122

2．物理应用：设平面薄片在xoy平面上所占的区域为D，其面密度为),(yx。 （1） 薄片质量：DyxyxMdd),(。 （2） 一阶矩：薄片关于x、y轴的一阶矩xM、yM分别为 yxyxyMDxdd),(，yxyxxMDydd),( （3） 薄片质心),(yx：yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(，yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(。 （4） 薄片关于x、y轴和原点的转动惯量分别为： yxyxyIDxdd),(2，yxyxxIDydd),(2

yxyxyxIDdd),()(220 （四）三重积分的定义 设),,(zyxf为空间闭区域上的有界函数，将任意分成n个子域),2,1(niVi，以iv表示第i个子域的体积。在每一个子域iV上任取一点),2,1(),,(niNiiii，

作和式iniiiivf1),,(，如果当所有子域直径中的最大值趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数),,(zyxf在区域上的三重积分，记作dvzyxf),,(，即 

niiiiivfimldvzyxf10),,(),,(



(五) 三重积分的性质 （1）线性性质 gdvkfdvkdvgkfk2121)(

，其中gf,在上可积，21,kk为常数。

（2）分域性质 12fdvfdvfdv

，

其中f在上可积21，且21,无公共内点。

（3）若f在上可积且0f，则有0fdv （4）估值公式 设),,(zyxf在有界闭区域上的连续函数，其最大值为M，最小值m，则 Mfdvm

上式中表示闭区域的体积。 （5）中值定理 设),,(zyxf在有界连通闭区域上的连续函数，则,,，使 Vffdv),,(

（六）三重积分的计算 （1）在直角坐标系中的计算方法 （a）先单后重法

若先对z积分，则将积分区域向xoy平面投影，记投影区域为xyD，可表示为

xyDyxyxzzyxzzyx),(),,(),(|),,(21，则

),(2),(1),,(),,(yxzyxzDdzzyxfdxdydxdydzzyxf

xy 类似可以先对y积分或先对x积分。

（b）先重后单法 将积分区域向子轴投影得bza，再用垂直于z轴的平面去截积分区域，得zD，则有

baDz

dxdyzyxfdzdxdydzzyxf),,(),,(

（2）在柱面坐标系中的算法

设20,0sincoszzyx 若0),()(),,(),(|,,2121zzzz，则