华东理工大学高等数学习题

第2章 （之1）第2次作业教学内容: §2.1 导数概念**1. 设x x x f 2)(3+=，试用导数定义求)(x f '.解：lim ()()lim()()∆∆∆∆∆∆∆x x f x x f x x x x x x x xx →→+-=+++--003322 =+322x .**2. 试用导数定义计算下列函数的导数：（1）xx f 1)(=， 求)1(f '； （2）()38t t g -=，求()2g '； （3）()t t t -=23ϕ，求()1-'ϕ.解：（1）x f x f f x ∆-∆+='→∆)1()1(lim )1(0=+-→lim ∆∆∆x xx0111=-+=-→lim ∆∆x x 0111.（2） ()()()tt g t t g t g t ∆-∆+='→∆0lim()[][]()()tt t t t t t t tt t t t t t t t t t ∆∆+∆+∆+-=∆∆+-=∆--∆+-=→∆→∆→∆32233033033033lim lim 88lim()22033lim t t t t t ∆-∆--=→∆23t -=，即 ()23t t g -='， ()122-='∴g .（3） ()()()tt t t t t ∆-∆+='→∆ϕϕϕ0lim()()[][]ttt t t t t t ∆--∆+-∆+=→∆22033limttt t t t ∆∆-∆+∆=→∆2036lim()16136lim 0-=-∆+=→∆t t t t ， ()16-='∴t t ϕ， ()71-=-'ϕ.**3. 求曲线22x y = 在点 ()2,1=P 处的切线方程.解：曲线在点P 处切线的斜率为 4122lim 21=--→x x x ，所以切线方程为 ()214+-=x y .**4. 化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。

华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：华东理工大学2013–2014学年第二学期《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师题序 一二三四五六总分得分 阅卷人注 意：试 卷 共 两 页 六 大 题一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）：1、微分方程222'y x e yx y -=的通解为 。

答：C e xe e xx y +-=22412122、微分方程0''9)4(=+y y 的通解为 。

答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++=3、函数 zxy u )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。

答：12)(--=z x xy x yz u 4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u zy+=，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数， 则=∂∂yu。

答：3222211f zy x xz f f xze y u y +++=∂∂ 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(yzxz f z = 所确定，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数，则∂∂zy= 。

答：21222yf f xy y zf ---6、设1)(-=⋅⨯c b a ρρρ，则=+⨯+⋅)]()[(c b b a b ρρρρϖ 。

答： 17、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(处最大的方向导数等于 。

答：228、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。

答： 21C xC y +-= 9、设平面π过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是 。

华东理工大学2006-2007学年高等数学下(8学分)期末考试试卷A 2007.7一. 填空题(每小题4分, 共36分) 1.微分方程22x x e xy y -=+'满足初始条件0)0(=y 的特解为y =____________. 2.微分方程09)4(=''+y y 的通解为y =________________.3.1||||==b a , a 与b 夹角等于3π, 则|32|b a-=_____________.4.过直线⎩⎨⎧=-=+21:z y y x L 且平行于}4,1,2{--=l 的平面方程是____________5.设),4()(2)4(t e t f t F -+=, 其中1),(C y x f ∈且有a f =-)1,2(及b f =-')1,2(1, c f =-')1,2(2, 则)0(F '=______________6.设函数),(y x z z =由方程xz xy e z y x -=-+32确定, 则)0,0(dz =_____________.7.σd y x y x y x ⎰⎰≤++++12222222)(1)(=______________.8.广义积分dx x x ⎰+∞+1)1(1=_______________. 9.极坐标系下心脏线)cos 1(2ϑρ+=所围成区域D 的面积为A =_______________.二. 选择题(每小题4分, 共32分)1.椭圆122≤+y x 绕x 轴和y 轴旋转所得的体积分别是上x V 和y V , 则 ( ) (A)y x V V 49=; (B)y x V V 32=; (C)y x V V 94=; (D)y x V V 23=.2.函数Cx y =是微分方程032=+'-''y y x y x 的 ( ) (A)通解; (B)特解; (C)是解, 但既不是通解, 也不是特解; (D)以上都不对.3.若a 与b 不平行, 且μλ≠, 则b aλ+与b a μ+ ( ) (A)必不平行; (B)模不相等; (C)必不垂直(正交); (D)不排除有平行的可能性; 4.“函数),(y x f 在),(00y x 点两个一阶偏导数都存在”是“函数),(y x f 在),(00y x 点 可微”的 ( ) (A)充分条件, 但不是必要条件; (B)必要条件, 但不是充分条件;(C)必要条件; (D)既不是充分条件, 也不是必要条件.5.设2C f ∈, ),,2(xz z y y x f u -+=, 则yx u∂∂∂2= ( )(A)131122f z f ''+''; (B)23131122f z f z f ''+''+''; (C)2313121122f z f z f f ''+''+''+''; (D)23131211222f z f z f f ''+''+''+'' 6.C f ∈, 则⎰⎰ϑϑπρρρρϑρϑcos 2sec 40)sin ,cos (d f d = ( )(A)⎰⎰--111102),(y dx y x f dy ; (B)⎰⎰-22121),(x x dy y x f dx ; (C)⎰⎰-2202),(x x dy y x f dx ; (D)⎰⎰-+211110),(y dx y x f dy .7.下列极限中等于0的是 ( ) (A)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (B)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (C)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (D)dx e n nn xn ⎰+∞→1222lim .8.边际成本等于边际收益是利润最大的 ( )(A)充要条件; (B)充分条件, 非必要条件;(C)必要条件, 非充分条件; (D)既不是必要条件, 也不是充分条件.三. (本题8分) 微分方程y y y y ''='+''2)(2满足初始条件2)0(=y , 3)0(='y 的特解.四. (本题8分)求曲线⎩⎨⎧-=++=++30zx yz xy z y x L ：上的点P , 使L 在点P 处的切线平行与平面0=-+z y x .五. (本题8分) 利用夹逼性准则求极限)332211(lim 2222nn nn n n n n n n n ++++++++++++∞→ . 六. (本题8分)求有二阶连续导数的函数)0)((>t t f , 使)(22y x f u +=满足12222=∂∂+∂∂y ux u .华东理工大学2006-2007学年第二学期《高等数学（下）》课程期终考试试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，共36分）1.)1e (e 2--x x 2.x C x C x C C 3sin 3cos 4321+++ 3. 7 4. 123=++z y x5. )8(3c b a -6. y x d 20d 1+7.8. 2ln9. π6二．选择题（每小题4分，共32分）：8.C. 7.C; 6.D; 5.B; B; 4.A; 3.; C 2.; 1.D三．以y p '=为新未知函数，暂以y 为新自变量，原方程可化为 p ypy 2d d )1(=----(2分)解得 21)1(-=y C p ------------------------------------------------（2分）由32==y p可得31=C ---------------------------------------------------------------------------（1分）由2)1(3-='y y 解得x C y 3112-=----------------------------------------------------------（2分） 根据条件2)0(=y 可得12=C ，即x y 3111-=-或x x y 3132--=------------------------（1分）四．因为{}1,1,11=→n ，{}y x x z z y n +++=→,,2，所以切向量为 {}y x x z z y n n t ---=⨯=→→→,,21 --------------------------（ 3分）{}{}y x y x x z z y l t lt =⇒=-⋅---⇒=⋅⇒⊥→→→→1,1,1.,0 ------------(3分)代入原曲线方程（组）得⎩⎨⎧-=+=+32,022zx x z x 解得)2,1,1(1-=P 和)2,1,1(2--=P -------（2分）六．（本题8分）记22y x t +=，则有)(t f u =，所以t x t f x u ⋅'=∂∂)(，tyt f y u ⋅'=∂∂)(-------------------------------（1分） 322222)()(t y t f t x t f x u ⋅'+⋅''=∂∂，322222)()(tx t f t y t f y u ⋅'+⋅''=∂∂---------（2分） 原方程可化为 1)(1)(='+''t f tt f ---------------------------------------------------------（1分） 以)(t f p '=为新的未知函数，仍然以x 为自变量，得到新方程为11=+'p tp ------------------------------------------------（2分）解得tC t p t f 121)(+=='，从而有212ln 21)(C t C t t f ++=--------------------------（2分）。

，其中 L 是从 O(0，0)沿曲线
，到 B (0，2)．
108
x dx 2 xydy ，其中 L 是由 y x 与 y x 2 构成的简单闭曲线． x 1 x 解： dx 2 xydy L x 1 1 0 x x ( 4 x 4 )dx ( x)dx 0 x 1 1 x 1
教学内容： § 14.2 格林公式（续） 1． 选择题
114
**（1） 曲线积分
的值
（
）
(A) 与曲线 L 及起点、终点均有关； (B) 与曲线 L 无关，仅与其起点及终点有关； (C) 与曲线 L 及起点无关，仅与终点无关； (D) 与曲线 L 及起点终点都无关． 答： （B）
**（2） 设 C 是从 A (1，1)到 B (2，3)的直线，则
第 14 章 （之 1） （总第 75 次）
教学内容： § 14.1 第二型曲线积分 **1．设 L :

x cos x , y sin t ,
0t

2
, 则 x 2 ydy y 2 xdx
L
（
）
（A）
cos t
2 0
sin t sin t cos t dt ；



0
t2 t5 dt (1 t 3 ) 3
a2 2


0
t2 a2 1 a2 dt 6 (1 t 3 ) 0 6 (1 t 3 ) 2
4．在下列各题中适当补上一条曲线，使积分路径成闭曲线，再考虑用格林公式： **（1）
xy sin x sin y dx x
w fds
L
L
x y dx 2 dy 2 x y x y2

第2章 （之8）第9次作业教学内容：§2.3.4函数的间断点及其分类 §2.3.5闭区间上连续函数的性质 §2.4.1函数可导与连续的关系 §2.4.2函数的和差积商的求导法则**1．型为（ ），则此函数间断点的类、的间断点为函数2123122=+--=x x x x y是第一类．是第二类，．是第二类；是第一类，．都是第二类；，．都是第一类；，．21212121======x x D x x C x B x AC 答：***2. 设xx x x x f 1sin1)(22--=，则1-=x 是)(x f 的 ___ 间断点； 0=x 是)(x f 的_____ 间断点；1=x 是)(x f 的 ____ 间断点.答案:1、无穷；2、可去；3、跳跃.***3．对怎样的 a 值，点 a x = 是函数()a x x x f --=42 的可去间断点？ 解：函数在可去间断点处a x =极限必存在。

由极限基本定理，设A a x x a x =--→4lim 2，则必有()()()a x x a x A x -+-=-α42，其中()x α是a x →时的无穷小。

而()44lim 22-=-→a x a x ，另一方面，()()()[]0lim =-+-→a x x a x A ax α。

所以由042=-a 得2±=a 。

经验证，当 2±=a 时，a x x a x --→4lim 2存在，故 2±=a 为所求.**4.指出的间断点，并判定其类型．f x x xx x()sin =--21解： ,,210πππn x x x ±±±===，，，，，都是的间断点f x ()， ∞==∈≠=→)(lim 0sin ,)0(x f n z n n n x n x πππ，处，　在，的第二类间断点是，，，故)(32x f x πππ±±±=；，无意义处在1sin 1)1(lim)(lim ,)0(,00-=--==→→xx x x x f f x x x∴=x f x 0是的可去间断点()；,1sin 1)01(1sin 1)01(1=+-=-=f f x ，处在)01()01(+≠-f f 的跳跃间断点是　)(1x f x =∴.***5 、指出下面函数的无穷间断点：x x xx f sin cos 1)(-=.解：依题意，0=x 及),2,1( ±±==k k x π是)(x f 的间断点. 而x x x x x x x f x x x ⋅=-=→→→2lim sin cos 1lim )(lim 200021=. 故0=x 不是无穷间断点.又)0(0)2()2(lim )2sin()2cos(1lim sin cos 1lim 221222≠=---=----=-→→→k x k x x k x k x x k x x x k x k x k x πππππππ，而)2,1,0(sin cos 1lim2 ±±=∞=-+→k x x xk x ππ，∴ 函数)(x f 的无穷间断点为 ,5,3,πππ±±±=x .**6．设()x f y =在[]1,0上连续，且()10≤≤x f 。

华东理工高等数学作业本第1次作业答案第3章（之3）第15次作业教学内容: §3.3.1 00型3.3.2 ∞∞型1. 填空题*（1）若0≠p ，则px px xx x cos sin 1cos sin 1lim0-+-+→________=.解：p 1.**（2）_______)e1ln()e 1ln(lim11=+--+-∞→x x x .解：2e -。

2. 选择题。

**（1）若)()(limx g x f x x →是00待定型，则“Ax g x f x x =''→)()(lim 0”是“Ax g x f x x =→)()(lim 0”的（ B ）（A ）充要条件； (B)充分条件，非必要条件；（C ）必要条件，非充分条件； (D) 既非充分条件，也非必要条件.**（2）若)()(limx g x f x x →是∞∞的未定型，且Ax g x f x x =''→)()(lim 0，则=→)(ln )(ln lim 0x g x f x x（ B ）（A ）A ln ；（B ）1； (C)2A ； (D)21A.***3 求极限 xx x xxx arctan 3 3e2elim220---+-→.解：原式= =+----→2201116e2e2limxxxxx 2203e elim2xxx xx ---→xxxx 23e e2lim220-+=-→31ee4lim20=-=--→xxx .4 求下列极限:**（1）+→0lim x )0()sin ln()sin ln(>>a b bx ax ； **（2）∞→x lim)43ln()35ln(236+-++x x x x .解：（1）原式bxa x cos cot lim+→=ax b bxa x tan tan lim+→=1=.（2）)431ln(ln )751ln(ln lim 22636x x x x x x x +-++++=∞→原式=++++-+→∞limln()ln ln()ln x x xxx x x 3157113436222=3.****5. xex x x -+→1)1(lim.解： ])1[(lim )00()1(lim 10'+=-+→→xx x x x x e x 210)1()1)](1ln()1([lim x x x x x x x x ++++-=→2]21)1ln(1lim[])1ln()1(lim[02e xx e xx x x e x x -=-+-=++-=→→.***6. 若已知()x f '在0=x 连续，且有()00=f ，2)0(='f ，求极限()()[]2limxx f f x f x ?→.解：xx f f xx f xx f f xx f xx f f x f x x x x )]([lim)(lim)]([)(lim)]([)(lim2→→→→?=?=?82)]0('[)]0('[)0(')('1)](['lim1)('lim3320===?=??=→→f f f x f x f f x f x x .***7. 设()x f 具有2阶连续导数，且()00=f ，试证()x g 有1阶连续导数，其中()()()??=≠=.0,0,0,'x f x xx f x g证明：依题意，当0≠x 时，2)()(')('xx f x x f x g -?=均连续.故只需证明 )0(')('lim 0g x g x =→ 即可.由导数定义，有)0("212)0(')('lim)0(')(lim)0(')(lim0)0()(lim)0('02f xf x f xxf x f xf xx f x g x g g x x x x = -=-=-=--=→→→→又)0(')0(''212)(')(')(''lim)()('lim)('lim 020g f xx f x f x x f xx f x x f x g x x x == -+=-=→→→.故命题得证.。

***16.求

arctan(tan 2 x) sin 2 x cos 4 x sin 4 x dx
dx .
解:

arctan(tan 2 x) sin 2 x cos 4 x sin 4 x

arctan(tan 2 x)2 tan x sec 2 x dx 1 (tan 2 x) 2
***3.

x a x3
2
dx .
解:

2 dx 3 a 2 x3
x

d (x 2 ) a 2 (x 2 )2
3
3
2 x2 arcsin C． 3 a
3
**4.


1 x dx . 1 x 1 x 1 x dx dx 1 x 1 x2
解:

dx 1 x2
***11.

dx 1 ex
x
.
解: 设 1 e t . 则e t 1 e dx 2tdt
x
2xBiblioteka 原式 ln2t dt t 1 dt 2 2 ln C t (t 1) t 1 t 1
2
t 2 1 c x 2 ln 1 1 e x C . (t 1) 2
ln sin x d x .
cot x

d(ln sin x) cot x dx ln ln sin x C . ln sin x ln sin x
**13. 求
( x ln x)
3 2
1 ln x
3 2
dx. d( x ln x) ( x ln x)
3 2
解:

11
1 1 1 1 0, 0 1 1 1 0 1 0, 0 0
A21 1, A22 1, A23 0, A24 0, A31 0, A32 1, A33 1, A34 0, A41 0, A42 0, A43 1, A44 1.
.
x
解：原式
r21 ( 1)
1 1 x 1 0 1
r43 ( 1)
1 1 y
1 1 y
1
= xy
1 1 x 0 0 0
1 1 y
2.4 行列式的计算 1. 计算下列 n 阶行列式 1 3 3 3
1 1
1 n n 1
.
3 2 3 （1） 3 3 3 3 3 3
3 1 1 3 ； （2） Dn n 1 n n 1
1 x 1 1 x 1 1 0 y 0 1 0 0 1 xy 1 1 1 1 1 1 x 1 1 y x2 y2 . 0 1 y xy 1 1 1 y 1 1 0 1 1 1 1 1y 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 x 1
8. 计算行列式
1 1 1 x 0 1 1 0 0
a b
c c
d a a c
3. 设 4 阶行列式 D4
c d
b d b
，则 A13 A23 A33 A43 ____.
a b d
解：0 4. 设 A 1,2 , 1 , B 1,2 , 2 均 为 3 阶 矩 阵 ， 若 已 知
| A | 2, | B | 3 ，求 2 A 5B 的值.
和. 解：解法一：直接计算各代数余子式
1 1 1 0 1 2 A11 (1) 0 1 1 1, A12 (1) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 3 1 4 A13 (1) 0 0 1 0, A14 (1) 0 0 0 1 0

2(k 1) k
（1）
2k 2 , (k 1)
2(k 1) 2 ， k
从而对（1）式用夹逼定理知 lim

n 0
sin x dx n
n

2

.
**7．若 lim a n a ，试证明 lim | an || a |
n
n
(a 0) ，反之如何？若 a=0 又如何？

证明： lim a n a ，则 0， N N ，当 n N ，有： a n a ，
n
而 | an | | a | | an a | ， 若 a 0 ，不能由
n
lim a n a 。
n
n
lim a n a lim an a ，
证明：显见 xn 0 ，且 x n ( xn1
xn xn 1
1 xn 1 0， 2 xn 1
2
{xn } 单调下降，且有下界，
对 xn 所以
lim xn 存在。设此极限为 A，
n
1 1 1 1 ( xn1 ) 两边取极限得： A ( A ) ， 解得 A 1 （舍负根）. 2 A 2 xn1
则当 n=k+1 时，
xk 1 2 xk 2 2 2 ，
x n 2 , （n =1，2，„）
x n 1 x n 2 x n x n
2 2 xn xn
2 xn xn

( x n 2)( x n 1) 2 xn xn为 ，且
k


0
sin x dx 2 .
n

x2

2
1
dy
0

1
0
dy
x
2 y y
f ( x, y ) dx ；

1
0
dy 2 f x, y dx ．
1 1 x 2
2 x
答： (C )
2 2 **（5）设函数 f x, y 在 x y 1 上连续，使 f x, y dxdy 4 dx 0 0
2
又 ∵ 当 r 0 时， , 0,0 ，且 f x, y 在 0,0 连续． ∴ lim
1 r 0 r 2
x 2 y 2 r 2
f x, y d f 0,0 ．
第 12 章 （之 2） （总第 68 次）
教学内容 : § 12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题： ** （1） 设 f ( x , y ) 是连续函数， 则
3
2
2
2

D
a 2 x 2 y 2 dxdy ．
3
（A） 1； 答： （B） ．
(B)
3 ； 2
3
(C)
3 ； 4
(D)
1 ． 2
73
**2．解下列问题： (1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小： 中，D 为任一有界闭区间． 解：令 u x 2 y 2 ，且 f u e 1 u ，则有 f ' u e u 1 ．

1

x
ex
2
2 x
d x 2 2x e x


2
2 x 2 1
**(2)
1
2 2 dx x 1 x y dy ． 1

（3） C D 0, A2 B2 0, (A B 0) 过 z 轴的平面．
（4） B 0, A C 0 平面垂直于 y 轴．
3．在下列各题中，求出满足给定条件的平面方程：
**（1）过点
P
1,3,2
及
Q
0,2,1
且平行于向量
l
2,1,1；
解：所求平面的法向量
n
垂直于向量
l
2,1,1与由点
bi2 aibi ．
i 1
i 1
i 1
第 10 章（之 3）（总第 55 次）
教学内容：§10.3 平面与直线[10.3.1]
**1.解下列各题
(1) 平行于 x 轴，且过点 P (3,1,2) 及 Q (0,1,0) 的平面方程是______ ． 答： y z 1
(2) 与 xOy 坐标平面垂直的平面的一般方程为______ ．
a
b
2
a
b
a
b
∴
a
b
a
2
b2
2ab
42
52
2 4 5cos
21，
3
21 ，
a
b
a
b
a
b a
a b
b
a
2
b
2
21
42 52 21
3 21 ． 7
（2）
5a
2b
a
b
5a
2
2b
2
3ab
5 42 2 52 3 4 5cos 0 ，
** 8.设 a {0,1,1} ， b { 2,1,1}，求：
（1） (a)b , (b)a ；
（2） a 与 b 的夹角．

( A) f ( x) g ( x) 0 ( B) f ( x) g ( x) 0 (C ) f ( x) g ( x) f (b) g (b) ( D) f ( x) g ( x) f (a) g(a)
答： ( D) ***（2）已知 f ( x) x ax bx 在 x 1 处有极值 2 , 则常数 a, b 之值为 （ ）
解： 函数在( ,0) 及(0,) 内连续 ，
y
2( x 3 3) ， x2
( (3 3,) ) + ↑
解得驻点 x 3 3 ， (,0) (0, 3 3 ) x － － y' y ↓ ↓
3
3
0
49
函数的单调增区间为(3 3,)，单调减区间为(,0), (0, 3 3) .
b ln a a ln b 0 ，
**（3）当 0 x
a e ln a 1，
ab ba .
时， tan x sin x 2 x . 2 解：设 f x tan x sin x 2 x ， f x sec 2 x cos x 2
当 x 在该邻域内时总有有 f 有f
n n
n f n1 x0 x x0 n1 f x x0 n f x f x0 f x0 x x0 (n 1)! n!
0 .
x 0 .
5．求下列函数的极值 **（1） f x x 1
2 x 3 （注：本题说明讨论极值时不可忽略导数不存在的点。）
5 2 x 2 1 5 3 2 3 3 3， 解： f x x x 1 3 3 x3 2 令 f x 0 ，得驻点 x 。 及不可导点为 x 0 。 5 2 当 x 0 时， f 0 ， 当 0 x 时， f 0 ， 5 2 当 x 时， f 0 。 5 x 0 时， f x 取极大值 0 ，

华东理工大学2005–2006学年第一学期《 高等数学(上)11学分》课程期末考试试卷 2005.12 A开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟考生姓名： 学号： 任课老师 ： 班级： 题序 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 评卷人注意：试卷共3大张，10大题一．填空题.(每小题4分，共28分)1．极限0lim_______________.sin()4x x x e e x x π−→−=+2．设()f x 与()x ϕ都是可导函数,且[][](2)(3),(0)0,(0)0y f x f x f ϕϕϕ=+==则'(0)______________.y =3．已知()f x 的一个原函数是sin ln ,x x ⋅则1'()_____________.xf x dx π=∫4．极限121lim _____________.1n n x x x x x nx −→++++−=−"5．1min(_________________.2x e dx +∞−=∫，6．设1()(0),xy x x x =>，则2____________.x dy dx ==7. 幂级数2342342222222510171n n x x x x x n +++++++""的收敛域是___________.二．单选题.(每小题4分，共16分)1. 下列级数中，条件收敛的是：( )A.112(1)()3n n n −∞=−∑ B. 11(1)n n −∞=−∑C.1211(1)n n n−∞=−∑ D. 111(1)2n n n n −∞=−∑2. 曲线2ln(1)y x =−上满足102x ≤≤的一段弧的弧长s =( ) A.122211x dx x +−∫ B.∫C.∫ D.∫3. 心形线4(1cos )ρθ=+与射线0,2πθθ==围成的平面图形绕极轴旋转所得的旋转体的体积V ( ) =A. 2216(1cos )d ππθθ+∫B. 22216(1cos )sin d ππθθ+∫　θC. []022216(1cos )sin4(1cos )cos d ππθθθ++∫　θD. []22216(1cos )sin 4(1cos )cos d ππθθθ++∫　θ4. 质线位于区间[],a b 上,在[],a b 上任一点x 处其密度函数为2,x u e −=则该线段的质量为M =( ) A. B. 2()b a x ae −+∫dx x x 2()b x a ae d −−∫C.D.2b a x edx −−∫2()0b a a x e d −−+∫三．（本题6分）求数列的极限1lim(arctan4n n n π→∞+−如图，2x y a =是区间[]0,2上的抛物线，直线y a =(04)a <<与曲线2x y a=相交，问为何值时，能使图中的阴影部分面积相等？a五．（本题6分）设211()cos ,()1,2244f x x P x x ==−+x 求能使极限式0()()lim 0n x f x p x x →−=成立的正整数的最大值.n设1ln ,e n n I xdx n =∫为正整数，试导出n I 与1n I −之间的关系式(递推公式).七．(本题8分)求.设()f x 在[],a b 上有阶导数且n (1)()()'()()0,n f b f a f a f a −==="=试证明：至 少有一点[],a b ξ∈，使()()0n f ξ=.九．(本题8分)试将函数展开为麦克劳林级数. ln() (0,0)y a bx a b =+>>设221(),t x f t e−=∫dx 计算1().I tf t dt =∫华东理工大学2006–2007学年第_一_学期《高等数学（上）11学分》课程期末考试试卷 A 2007.1开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师题序 一二三四五六七总分 得分 阅卷注 意：试 卷 共 三 页 七 大 题一．填空题（每小题4分，共32分）：1．若存在，，)(x f ′′2)1(−=f 10)1(=′f ，2)1(=′′f ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x f x g 21e)(，则=′′)2(g __________．2．若记曲线 与 轴交点为2sin 22323=−+y x y x y P ，则曲线在P 点处的法线方程为______________________．3．=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+∞→xx x x x 122lim 22__________． 4．函数在区间xx x f −−=e )1()(),0[+∞上的最大值为 ．5．设∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=xu u t tx f 023d 1d )(则=′′)2(f _________． 6．若函数在区间上连续，且)(x f ′′]1,0[1)0(+=πf ，1)1(−=πf ，，，则___________．0)0(=′f 2007)1(=′f =′′−∫1d )()1(x x f x 7．无界区域⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤≥=340,0),(2x x y x y x D 绕x 轴旋转一周所形成的无界旋转体的广义体积为=V ______________．8．设∑∞=+−+−=0123)3(!)1()(n n n x nn x f ，则_________． =)3()5(f二．选择题（每小题4分，共32分）：1．若2111)(xx x f −+=间断点的个数为，可去间断点的个数为，则 （ ） n k （A ）； （B ）1,2==k n 2,2==k n ； （C ）； （D ）1,3==k n 2,3==k n ．2．若，则 （ ） 0)(=′a f （A ）)()()(a x o a f x f −=−； （B ）a x a f x f −−~)()(； （C ）； （D ）以上都不对．)]()([a f x f o a x −=−3．设x x f πsin )(=，则 （ ） （A ）ππ−=′=′+−)1(,)1(f f ； （B ）ππ=′−=′+−)1(,)1(f f ； （C ）π=′=′+−)1()1(f f ； （D ）π−=′=′+−)1()1(f f ． 4．若，则C x x x f +=∫)cos(d )(2=′)(πf （ ）（A ）； （B ）； （C ）1−0π2−； （D ）π4．5．在换元t x cos =下定积分∫−−012d )1(x x f 可化为 （ ）（A ）∫−ππ2d sin )sin (t t t f ； （B ）∫ππ2d sin )(sin t t t f ；（C ）∫−ππ2d sin )(sin t t t f ； （D ）∫−−ππ2d sin )sin (t t t f ．6．心形线)cos 1(θρ+=a )0(>a 所围成区域在第一象限内的部分绕x 轴旋转生成立体的体积为 （ ）（A ）∫′++202d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([2πθθθθθπa a ；（B ）∫′++22d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([πθθθθθπa a ；（C ）∫′++022d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([2πθθθθθπa a ；（D ）∫′++022d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([πθθθθθπa a ．7．“” 是“L n f n =+∞→)(lim L n f n =+∞→)2(lim ”的 （ ）（A ）充分条件，非必要条件； （B ）必要条件，非充分条件； （C ）充要条件； （D ）既不是必要条件，也不是充分条件．8．级数∑∞=+−11)1(n n n n α条件收敛的充要条件是 （ ） （A ）10≤<α； （B ）21<≤α； （C ）2321≤<α； （D ）223<<α． 三．（本题8分）求曲线上拐点处的法线方程．∫−++=1)1(d e 312xt t x y四．（本题6分）已知∫=13d )sin()(xt t x f π，求．∫1d )(x x f五．（本题8分）半径为1（m ）深为2（m ）的圆锥形水池，其中盛满了水，现在要将其中的水从上口全部抽尽，问需作功多少（KJ ）？（取14.3≈π，，水的密度为）2m/s 81.9=g 3g/m 1000k =ρ六．（本题8分）求幂级数∑∞=−+−0)1(!)12()1(n n n x n n 的收敛域与和函数．七．（本题6分）设函数在闭区间上连续，在开区间内有二阶导数，且函数在闭区间上的最大值点和最小值点都在开区间内．试证明：存在)(x f ],[b a ),(b a )(x f ],[b a ),(b a ),(b a ∈ξ，使)()(ξξf f ′=′′．华东理工大学2007-2008学年第一学期《高等数学（上）11学分》课程期终考试试卷（A ）2008.1开课学院：理学院 考试方式：闭卷 所需时间：120分钟考生姓名____________学号_______________班级_________任课老师____________题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 阅 卷注 意：试 卷 共 三 页 八 大 题一.填空题(每小题4分,共32分):1. 数列极限nn n n )11(lim 2++∞→=____________.2. 设x b x a x x f 2sin 2sin )(−−=满足,0)(lim 50≠=→A x x f x 则.______=−b a3. 积分∫−πθθ202cos 1d =___________.4. 积分=−+∫21212211arcsin －dx xx x =___________.5. 设是可导函数, )(u f 21)2(',1)2(==f f , 又设,则___________.])2([)(2x x f f x F +==)1('F 6. 设有连续的导数，且当时，与是同阶无穷小，则＝________.)(x f ∫−=≠′=x dt t f t x x F f f 022)()()(0)0(0)0(，，，0→x )(x F ′kx k 7. 幂级数∑∞=+−⋅01!)(32n n n n x 的和函数是___________.8. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=−=2233t y tx t 相应于30≤≤t 的弧长为____________.二.选择题(每小题4分,共24分):1. 设在区间[]上b a ，0)(0)(0)(>′′<′>x f x f x f ，，，，∫=b ax x f S d )(1[]，，)()()(21))((32a b a f b f S a b b f S −+=−=则有 ( ). (A) 321S S S <<; (B) 312S S S <<;(C) ; (D) 213S S S <<132S S S <<.2. 设x x x f sin )2()(+=则在)(x f 0=x 处 ( ).(A) ; (B) 2)0(=′f 0)0(=′f ; (C) 1)0(=′f ; (D) 不可导.3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤−+−=02sin 0244)(2x xx x xx x x f ，当，当,则关于的连续性的正确结论是 ( ).)(x f (A) 仅有一个间断点; (B) 仅有一个间断点0=x 2=x ;(C) 有二个间断点及; (D) 处处连续.0=x 2=x 4. 设有级数∑∞=12)1(23cos n nn n π 和级数)2()(ln 1ln ∑∞=n nnn n , 其敛散性的判定结果是( ).（A）（1）（2）都发散; （B）（1）（2）都收敛; （C）（1）发散,（2）收敛; （D）（1）收敛,（2）发散.5. 的阶泰勒展开式的拉格朗日余项为)(x f n =)(x R n ( ). (式中10<<λ)(A) 10)1()()!1()(++−+n n x x n x fλ ; (B)n n x x n x f )(!)(0)(−λ ; (C)100)1()()!1(])1([++−+−+n n x x n x x fλλ; (D)n n x x n x x f )(!])1([00)(−−+λλ.6. 设在)(x f 0x 如果阶导数的某邻域内有连续的三,0)()(00=′′=′x f x f ,, 则 ( ).0)(0>′′′x f (A) 是; (B) 是的极小值点; 0x )(x f 的极大值点0x )(x f (C) 不是的极值点; (D) 不能断定是否为极值点.0x )(x f 0x三.(8分)求)286(lim 22x x x x x x ++++−∞→.四.(8分) 求微分方程yy x y 2sin cos 1+=′的通解.五. (8分) .12cos 22确定的平面图形的面积和求由不等式≥≤ρθρ六.（8分）;)1.(02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=−==y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x七.(6分) 试将函数展开为2arctan x y =x 的幂级数.八. (6分) 设在[上可微, 且满足)(x f ]10，0)(2)1(21=−∫dx x xf f , 试证明在内存在点)10(，ξ, 使得:ξξξ)()(f f −=′ .。

L 4
a2 d cos 2
1 1 1 a4 4 a 4 cos 2 sin 2 d 2a 4 4 ( cos 2 cos 4 )d (4 ) 。 0 2 4 4 8 4


***5． 已知摆线 x a(t sin t ), y a(1 cos t )(0 t 2 ) 上任一点 ( x, y ) 处密度等于该 点的纵坐标，试求： （1）该摆线弧的质量； （2）该摆线弧的质心坐标； （3）该摆线弧关于 x 轴的转动惯量．
(B)
61 4 dx 3 0
2
2
x 3(1 ) 2
dy
0
(C) 答：(B)．
61 4 3
y 2 ( 1) 3

0
dx dy
0
3
(D)
61 4 dx dy 3 0 0
3
**(2) 设∑为球面 x 2+y 2+z2=a2 在 z≥h 部分， 0<h<a，则
2 a h
2 2
zdS
2
dS

1 2 1 2 2 x y z 1 4 9
(9 x

2
4 y 2 36 z 2 1 24 yz 36 zx 12 xy 6 x 4 y 12 z )dS
1 1 ( x 2 y 2 z 2 )dS 4 9 1
36
1 2 1 2 2 x y z 1 4 9
第 13 章 （之 1） （总第 73 次）
教学内容： § 13.1 第一型曲线积分
**1. 解下列各题： （1）设 L 为 y x 2 上从点 O (0,0) 到 A (1,1) 的一段弧．则 I （ A）

2
所以除点 ( m, n) （其中 m, n Z ）以外处处连续．
第 11 章（之 2） （总第 60 次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]
Provided by 理学院学代会学习部
**1.解下列各题： （1）函数 f ( x, y )
x 2 y 在 (0,0) 点处
3ห้องสมุดไป่ตู้
即
s x y 解：令 ， y t x
∴ f s , t
s 2 s 2t 2 s 2 1 t ， 1 t 1 t 2
lim 1 xy 1 x2 y2
xy
．
f x, y
x 2 1 y ． 1 y
***4. 求极限：
zy
1,1
x 2 y 1,1 1 ，

4
．[也可求出切向量为 0,1,1]
0,1,10,1,0 arccos
12 12 12
2 ． 2 4
***6. 设函数 ( x , y ) 在点 (0,0) 连续，已知函数 f ( x , y ) x y ( x , y ) 在点 (0,0) 偏导数
x , y 0, 0
解： 0
1 xy 1 x2 y 2

1 xy 1
x2 y2

1 2 x y2 2 1 xy 1 x 2 y 2




x2 y2 0 2 1 xy 1


（ x, y 0,0 ）
y 0
y (0, y ) f (0, y ) f (0,0) 0 ，即 f y (0,0) 0 ． lim x 0 y y

第7章 （之1） 第31次作业教学内容: §7.1定积分的微元法 7.2.1平面图形的面积1．选择题:* (1) ⎰=b adx x f s s )(21则表示的面积（如图），和 （ ）21122121)()()()(s s D s s C s s B s s A ---+ 答( C )* (2) 面积轴所围成的平面图形的及曲线y b a b y a y x y )0(ln ,ln ,ln <<====A 为 （ ）⎰⎰⎰⎰ab ba e ee exbaybaxdx D dx e C dy e B xdx A ln )()()(ln )(ln ln ln ln 答( B )*** (3) 面积轴所围成的平面图形的及过原点的该曲线的切线曲线y e y x,= 为=A （ ）⎰⎰⎰⎰----11011)()()ln (ln )()()()ln (ln )(dxex e D dy y y y C dx xe e B dy y y y A xex x e答( D )*** (4) )()0(cos =>=A a a 积所围成的平面图形的面曲线θρ⎰⎰⎰⎰-20222022222022cos 212)(cos 21)(cos 21)(cos 21)(πππππθθθθθθθθd a D d a C d a B d a A 答( D )*2.在下面图中用阴影标出一块与所示定积分之值相等的面积。

⎰--+1122]2[dy y y2x** 3. .4,)(2积所围成的平面图形的面和求曲线方法积分和对对用两种==y x y y x⎰-=202)4(2:dx x s 解=-2413302()x x =-⋅=28138323(). dy y s ⎰=402=433204y =⋅=438323.** 4. 所围及求曲线方法积分和对对用两种31,0,1,)(2====x x y xy y x 成的平面图.形的面积解交点:(,),(,),11319⎰=3121dx x s =-=-=11132313x⎰⋅+-=191912)11(dy ys929132(192)2(191+--=+-=y y =23**** 5. 求极坐标中区域()(){}θρθρθρsin 2,cos 12,≤+≤=D 的面积。

第5章 （之1） 第24次作业教学内容：§5.1定积分概念 5.2定积分的性质1．选择题*（1）定积分所表示的和式极限是 （ ）[]{}[])21max ()(lim )()()(lim )()(1lim )()(lim )(111111i i i i ni i i i i i ni i i n n i n ni n x x n i x x f D x x x f C a b n i f n a b B a b n i f n a b A ，，，，　．，　．． ．-=→-=∞→=∞→=∞→∈=∆=∆∈∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑∑∑ξλξξξλ答:D*（2） 可知，据定积分的几何意义设：⎰=b ax x f Id )( （ ）轴所围图形的面积。

与，及直线是曲线．　数和．轴之间各部分面积的代与，及直线是曲线．　．，从而图形的＂高＂，则上述图形面积为零．若　．以轴所围图形的面积，所与，及直线是由曲线．　x b x a x x f y I D x b x a x x f y I C x f I B I x b x a x x f y I A ========>===)()()()(0)(0)(0)()( 答:C*（3） [][]上可积的，在上连续是，在闭区间函数b a x f b a x f )()( （ ）件．．既非充分也非必要条．充分必要条件　．充分条件．必要条件 )( )()( )(D C B A答: B*（4） []轴围成图形和，，直线上连续曲线，由x b a b x a x x f y b a )()(<====S 的面积 （ ）[]　． ．　． ．　2)()()()(d )()(d )()(d )()(a b a f b f D x x f C x x f B x x f A b ab a b a -+⎰⎰⎰. 答: C**（5） []，，令，，上，设在区间⎰=>''<'>ba x x f S x f x f x f ba d )(0)(0)(0)(1 []，则有，)()()(21))((32a b a f b f S a b b f S -+=-= （ ）132213312321)()()()(S S S D S S S C S S S B S S S A <<<<<<<<； ； ； . 答: B*2. 试证不等式：2d 2420sin πππ≤≤⎰-x x .证明：1sin 0≤≤x ， ]2,0[π∈x ， 1221sin ≤≤∴-x ， ⎰⎰⎰=≤≤=∴-2020sin 202d 1d 2d 214πππππx x x x.**3. 试估计下列积分值：⎰-+1021xx dx 。