第二章 群的表示与特征标系

“鞋子”也可以。（×） 19、同别的符号相比，语言符号具有灵活运转的特点。（√） 20、动物的语言可以分析出大小不同的结构单位。（×） 四、问答题 1、举例说明什么是符号，由哪些因素构成。 所谓符号，就是指代某种事物的标记，记号，它是由一个社会的 全体成员共同约定用来表示某种意义的标记和记号。这种记号代 表什么意义是社会全体成员都知道的，都认可的。 现实生活中，用一个事物做另一个事物意义的标记的情况比比皆 是。比如街上的汽车，开着突然停了，因为遇见了红灯，因为红 灯是社会成员约定表示停止意义的记号；一会儿绿灯亮了，汽车 又继续往前开，因为绿灯是大家共同约定表示可以通行中一意义 的标记。古代人打仗，击鼓表示前进进攻，鸣金（敲锣）表示退 却收兵；敌人来了，在烽火台上放火发出信号。现代军营还用号 声表示起床、休息等意义。交通警察用手势还可以表示各种意义。 任何符号都包括形式和意义中两个方面的要素，二者互相依存， 各以对方为存在条件，缺一不可。 2、为什么说语言是一种符号系统？ 语言是一种符号： 语言中的音是符号的能指，是符号的形式；义是符号的所指，是 符号的内容。词是语言中最重要的一种符号。语言具有符号的特 征，是一种比较复杂的符号系统。语素是语言中最小的符号，词
第二章语言是符号系统参考答案
一、名词解释 1、符号： 符号是一个社会全体成员共同约定用来表示某种意义的记号、标 志。其包括形式 和意义两个方面的要素，是一定的形式和一定的内容的统一体， 二者缺一不可。 2、符号的任意性： 语言符号的音义联系并非是本质的，必然的，而是由社会成员共 同约定 的，一种意义为什么要用这个声音形式，而不用那种声音形式， 这中间没有什么道理可言，完全是偶然的、任意的。语言符号和 客观事物之间也没有必然联系。 3、二层性： 语言可以分为不同的层级单位，语言系统就是由音位、语素、词、 词组、句子等结构单位组成的一种层级体系。语言的底层是音位。 音位是语言符号中最小的辨义单位，位于语言符号结构的最底 层。上层是音义结合的符号与符号的序列。上层又分为三级，第 一级是语素，第二级是词，第三级是是句子。语言结构就是由音 位层和音义结合的符号序列层构成的装置，我们称之为语言结构 的二层性。 4、组合关系：

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习题: 试分别利用(和不利用)约化系数公式 (7) 对 D2d 群的六维表 示 D6 进行约化, 已知该六维表示 D6 的特征标和群 D2d 不可约 表示的特征标表如下:
D2d E C2 2C2 ’ 2d 2iC4
D1
11 1
1
1
D2 1 1 -1 -1
1
D3 1 1 1 -1 -1
D4 1 1 -1
其中 i (Cm) 和 i (Cn)为不可约表示特征标表中第 i 个不可约 表示 Cm 和 Cn 类的特征标 ( 证明从略 ) 二, 关系式含义的说明 (8)式给出的是不可约表示特征标表中列与列之间的关系
三, 特征标矢量空间 [ i = C C ( hC / h )1/2 i ( C ) ----- (5) ] 由(5)式和(4)’式可知, 类空间中r 个特征标矢量 i 彼此正交. 且已归一化, 以此为基矢, 构成特征标矢量空间 ( r 维 ).
D1 1 1
1
C2 E C2 D1 1 1
D2 1 1
-1
D2 1 -1
D3 2 a
b
(1) C2 群的不可约表示特征标表极易确定 （提问：如何确定? )
(2) 由C2 群不可约表示D1 和 D2 的特征标可得D3 群不可约表示
D1 和 D2 的特征标 ( 注意两群间群元的对应关系 )
(3) D3 群不可约表示特征标表中的 a 和 b 可由完全性定理求得
从而可确定不可约表示特征标表的行数( r ) 和列数( C ).
(2) 由 (不可约表示）维度定理 ( i ni2 = h ) 和不可约表示数定
理 ( r = C ) 可求得所有不可约表示的维度 { ni },
(3) 如此, 可确定不可约表示特征标表的第一行 ( 都是“ 1 ” )

12阶群的特征标表李德乐【摘要】通过群的同构分类的观点,分析了12阶群的生成关系,再利用特征标的基本性质一一构造每个群的特征标表.【期刊名称】《四川职业技术学院学报》【年(卷),期】2011(021)001【总页数】3页(P90-91,113)【关键词】12阶群;生成关系;特征标【作者】李德乐【作者单位】福建水利电力职业技术学院,福建,永安,366000【正文语种】中文【中图分类】G712群表示论是代数学的一个重要分支,它除用于研究群的结构以外,在众多的数学分支和其他自然科学领域中也有着重要的应用。

对于12阶群的生成关系和特征标表零散分布在各类文献中，本文通过12阶群的生成关系来构造其特征标表。

1.1 定义定义1[1]置换群：Cn=<a│an=1>。

定义2[1]狄利克雷群（二面体群）：D2n=<a,b│an=b2=1, b-1ab=a-1>。

定义3[1]n次交代群：置换群Sn中全体偶置换作成一个阶的群。

定义4[1]双循环群（四元数群）：Q2n=<a,b│a2n=1,an=b2, b-1ab=a-1>。

定义5[1]（共轭（元素、子群）类）若我们称元素x与y共轭。

若，我们称子群H与K共轭。

由此可知群G之一切子群能分类，使属于同类中的子群互为共轭，属于异类中的子群互不共轭，这样的每个类叫共轭子群类（简称共轭类）。

定义6[2]（群的子集的正规化子与中心化子）：设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足H=g-1Hg，则g称正规化H，而称G中所有正规化H的元的集合为H在G中的正规化子。

设G是群，H是G的一个子集，若g∈G,满足h=g-1hg对一切h∈H，则称g中心化H，而称G中所有中心化H的元的集合为H在G中的中心化子。

定义7[3]（特征标）设(ρ,V)∈RF（G）+，在G上定义F值函数：这里trρ(g)是V上线性变换ρ(g)的迹。

称为G上的表示ρ的特征标。

如则称为不可约特征标，如F=C，则称复特征标。

hi ( χi / χE ) ------------------------ (7) ---------------------- (1) --------------------- (8) --------------------- (4) [ 提问: I I = ? ] [ 提问: I I = I ] *
(5) 以 D3 群为例, 利用类和定理求不可约表示特征标 13 1, 求一维不可约表示特征标 χE = χ1 = 1 取 i = j = 3 ( 可取不同的 i, j 值 ) 因为 C3 C3 = 2 C1 + C3 ( 可利用群表验证 ) 所以 C331 = 2, C332 = 0, C333 = 1 由(2)式 hi ( χi / χE ) hj ( χj / χE ) = ∑k Cijk hk ( χk / χE ) ---- (2) 得 2 • χ3 • 2 • χ3 = 2 • 1 • χ1 + 0 • 3 • χ2 + 1 • 2 • χ3 ( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, χE = χ1 = 1 ) 4 χ3 2 = 2 + 2 χ3 2 χ3 2 - χ3 - 1 = 0 χ3 = - 1/2 或 + 1 [ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ] [ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ] *
(3) 类和定理的证明 1, 证明(1)式 第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 习题: 证明 Ci X = X Ci, 即
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R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
X 为群元空间中一切矢量
[ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ] 第二步: 证明, 若群元空间中矢量 A 和一切群元矢量 R 对易 R-1 A R = A R为任一群元, 若(4)式左边A中含有某类的任一元 则(4)式右边A中必含有该类所有的元 又∵ ∴ (4)式左右两边A相同 A含完正的类 * ------------------------ (4) 则A 必由若干类和矢量 ( 完整的类 ) 构成 证: ∵ ∴