《步步高学案导学设计》高中数学人教A版选修2-2【配套备课资源】第三章章末检测

章末检测
一、选择题
1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则
( ) A ．i ∈S
B ．i 2∈S
C ．i 3∈S
D.2i ∈S 2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3． i 是虚数单位，复数3＋i 1－i
等于 ( ) A ．1＋2i
B ．2＋4i
C ．－1－2i
D ．2－i
4． 已知a 是实数，a －i 1＋i
是纯虚数，则a 等于 ( ) A ．1
B ．－1 C. 2 D ．－ 2
5． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于
( )
A ．－2＋i
B ．2＋i
C ．1－2i
D ．1＋2i
6． 在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC →对
应的复数为
( ) A ．4＋7i
B ．1＋3i
C ．4－4i
D ．－1＋6i
7． (1＋i)20－(1－i)20的值是
( ) A ．－1 024
B ．1 024
C ．0
D ．1 024i
8． i 是虚数单位，若1＋7i 2－i
＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是 ( ) A ．－15 B ．3 C ．－3 D ．15
9． 若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 10．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是
( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．无数个
二、填空题 11．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围
是________．
12．给出下面四个命题：
①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________．
13．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______．
14．下列说法中正确的序号是________．
①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1＝y 1＝－(3－y )； ②2＋i>1＋i ；
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在；
⑤若z ＝1i
，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 三、解答题
15．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，
(1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？
16．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.
17．计算：(1)(2＋2i )4
(1－3i )5
； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
18．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：
(1)x 轴上方；
(2)直线x ＋y ＋5＝0上．
19．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.
(1)求复数z ；
(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．
20．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1
是实数，且－1≤z 2≤1. (1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；
(2)若ω＝1－z 11＋z 1
，求证：ω为纯虚数．
答案
1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B
11．(3,4)
12．0
13．(1，5)
14．⑤
15．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．
(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3. 即当m ＝3时，z 是纯虚数．
16．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，
所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i.
设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
由z 1·z 2＝1＋i ，
得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，
所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝1b －a ＝1， 解得a ＝0，b ＝1，
所以z 2＝i.
17．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )
＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )
＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4
＝－4
1＋3i ＝－1＋3i.
(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.
18．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，
则m 2－2m －15>0，
解得m <－3或m >5.
(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，
∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，
整理得2m 2＋3m －4＝0，
解得m ＝－3±414
. 19．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解
得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，
所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.
(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，
所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，
所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.
20．(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝(a ＋a a 2＋b
2)＋(b －b a 2＋b 2
)i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .
由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12
]． (2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i
＝1－a2－b2－2b i
(1＋a)2＋b2
＝－b
a＋1
i.
因为a∈[－1
2，1
2]，b≠0，所以ω为纯虚数．。