北京理工大附中高三零模考试数学试卷+++2012

北京市海淀区2012高三二模数 学（理科）2012.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 （2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是 （A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠（3）直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π （C ）2π（D ）34π（4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïïï-?ïïï+?íïïïï£ïïî则2x y +的最大值是 （A ）1（B ）5（C ）2 （D ）3（5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +u u u r u u u u r的最小值是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D）（6）为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的周长有最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________． （10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++L . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃?Z L 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 . （11）在ABC ∆中，若120A ??，5c =，ABC ∆的面积为，则a = .（12）如图，O e 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ===，则DCB Ð＝______.（13）某同学为研究函数()1)f x x =＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是 ；函数()4()9g x f x =-的零点的个数是 .俯视图主视图BEFAB C DP（14）曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(,1)B a （a 为常数），那么PB PA +的最小值()d a = . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式. (16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30CBA??，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在»AB 上，且OM ∥AC ． （Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面P AC ；（Ⅱ）求证：平面P AC ^平面PCB ；（Ⅲ）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．(17)（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A ,B 两个项目可供选择： (1)投资A 项目一年后获得的利润X且X 1的数学期望E (X 1)=12；(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示：（Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E (X 1)< E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.(18)（本小题满分13分）ME BOCAP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分14分）已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945≈≈≈）(20)（本小题满分13分）将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++?N L 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p =L ，且p a a a ≤≤≤Λ21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）.（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；（Ⅱ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([21++n f n f 的大小，并给出证明； （Ⅲ）当正整数6≥n 时，求证：134)(-≥n n f ．海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．05一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.最新整理二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）12（10）６（11（12）45°（13）12x=；2（14）(0,±；1.41,4, 1.41,2,1 1.a aa aa aìï??ïïï+-<?íïï--<<ïïïî或注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为0d¹.因为346S a=+，所以11323362da a d创+=++. ①……………………………………3分因为1413,,a a a成等比数列，所以2111(12)(3)a a d a d+=+. ②……………………………………5分由①，②可得：13,2a d==. ……………………………………6分所以21na n=+.……………………………………7分（Ⅱ）由21na n=+可知：2(321)22nn nS n n++?==+.……………………………………9分所以11111()(2)22nS n n n n==-++. ……………………………………11分所以123111111n nS S S S S-+++++L11111111111()2132435112n n n n=-+-+-++-+--++L21111135()212124(1)(2)n nn n n n+=+--=++++.所以数列1{}nS的前n项和为2354(1)(2)n nn n+++.最新整理……………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以 OE ∥PA . ……………………………………1分 因为 PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 OE ∥平面P AC . ……………………………………2分因为 OM ∥AC ， 因为 AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 OM ∥平面P AC . ……………………………………3分因为 OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O =I ，所以 平面MOE ∥平面P AC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90ACB??，即BC AC ⊥.因为 PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ， 所以PA BC ⊥. ……………………………………7分因为 AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A =I ，所以 BC ^平面PAC . 因为 BC Ì平面PBC ，所以 平面P AC ^平面PCB . ……………………………………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 因为 30CBA??，2PA AB ==，所以2cos30CB =?1AC =.延长MO 交CB 于点D . 因为 OM ∥AC ，所以131, 1,2222MD CB MD CD CB ^=+===.最新整理所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，B，3(,,0)22M . 所以 (1,0,2)CP =u u u r，CB =u u u r.设平面PCB 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.CP CBìï?ïíï?ïîu u u r u u u r m m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面PMB 的一个法向量n ()=.……………………………………13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n . 所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分 (17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==. ……………………………………3分 （Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.所以X 2的分布列为:（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()2224.12(1)11.76(1)20.40(1)E Xp p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦211.76p p =-++. ……………………………………11分因为E (X 1)< E (X 2)，所以21211.76p p <-++.最新整理所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.6.……………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a = ……………………………………3分 所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率为0时，(A B .则7,0)(,0)16m m ?=-. 解得 54m =?. ……………………………………6分 当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -.由于557(1,(1,424216+?-?，所以54m ?. 下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.……………………………………8分显然 直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………10分最新整理因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+.综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r恒成立. ……………………………………13分 (19)（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(,)a +∞.2(1)'()1a x a xf x x x a x a-++=-+=--. ……………………………………1分令'()0f x =，0x =或+1x a =.当10a -<<时，+10a >，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +，单调递减区间是(,0)a 和(1,)a ++?.……………………………………3分当1a =-时，2'()01x f x x -=≤+. 所以，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+?. ……………………………………4分 当1a <-时，+10a <，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +，单调递减区间是(,1)a a +和(0,)+?.最新整理……………………………………5分（Ⅱ）证明：当12(ln21)0a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.因为(0)ln()0f a a =->，2211(1)(1)(1)(1)022f a a a a +=-+++=->，且()f x 在(1,)a ++?上是减函数，所以()f x 至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为211(2)ln 2[2(ln 21)]022f a a a a a a +=--=---<， 所以 函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+.……………………………………9分（Ⅲ）解：因为412(ln 21)5-<-<-， 所以 对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知：1[0,1)x a ∈+，20(1,]x a x ∈+，且21x ≥. ……………………………………10分因为 函数()f x 在[0,1)a +上是增函数，在(1,)a ++?上是减函数，所以 1()f x (0)f ≥，2()f x (1)f ≤. ……………………………………11分 所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?.当45a =-时，1(0)(1)ln()12a f f a a -=--=491ln 542->0. 所以 12()()(0)(1)0f x f x f f -?>. ……………………………………13分所以 21()()f x f x -的最小值为491(0)(1)ln 542f f -=-. 所以 使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为491ln 542-.……………………………………14分(20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）结论是)1(+n f )]2()([21++≤n f n f . 证明如下：由结论知，只需证).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f最新整理. 因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，所以)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2n +的表示法中11a ¹的表示法数．同样，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1， 就可得到一个11a ¹的2n +的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应.所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：当正整数6m ³时，()(1)(1)(2)(6)(5)f m f m f m f m f f --?--吵-L . 又,7)5(,11)6(==f f 所以 ()(1)4f m f m --?. *对于*式，分别取m 为n ,,7,6Λ，将所得等式相加得)5(4)5()(-≥-n f n f .即134)(-≥n n f ． ……………………………………13分。

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）2012．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则=UAB （ ）．A ．{}04x x ≤<B ．{}04x x <≤C ．{}10x x -≤≤D ．{}14x x -≤≤2．复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限3．已知双曲线2215x y m -=()0m >的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）． A ．6 B 32C ．32D ． 344．在ABC △中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且ABC △的面积为32，则BAC ∠等于（ ）．A ．60或120B ．120C ．150D ．30或1505．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42)4ρθπ=+，则直线l 和曲线C 的公共点有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个6．下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ=，a ，2(1,)λ=-b ，(11)=-，c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-； :r 若111a dx =x⎰()1a >，则e a =．其中所有的真命题是（ ）．A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r7．直线y x =与函数()22,42,x mf x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．[)1,2-B ．[]1,2-C ．[)2.+∞D ．(]1-∞-，8．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是（ ）．A ．1B ．322C ．2D ．3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 把答案填在答题卡上． 9．二项式521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为5，则实数a =_______．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______．11．若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 ．12．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ．若2CD =， 则AB =_______，EF =_________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为()x x *∈N 件．当20x ≤时，年销售总收入为()233x x -万元；当20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）14．在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==， ()1,1,1,,i j i j i j a a a i j *+++=+∈N ，则此数表中的第5行第3列的数是 ； 记第 3行的数3,5,8,13,22,为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分）已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()m ∈R 的图象过点π,012M ⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若cos cos 2cos c B b C a B +=， 求()f A 的取值范围．一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4,2,1AB AE EF ===．（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面EBC ； （Ⅲ）求二面角A FB D --的余弦值．E CBDMAF已知函数()()22ln 0a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(),0a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()21e 2g a ．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A -，)2,0B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点()10F ，的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．若点P 在y 轴上，且 PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围．已知数列()12:,,,,2n n A a a a n n *∈N *(,2)n n ∈N 满足10n a a ==，且当()2k n k *∈N 时，()211k k a a --=，令()1nn i i S A a ==∑．（Ⅰ）写出()5S A 的所有可能的值； （Ⅱ）求()n S A 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得()()23=4n n S A -？若存在，求出数列n A ；若不存在，说明理由．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（理工类）2012．5一、选择题：题号 1 2[ 3 4 5 6 7 8 答案 BBCCBDAD二、填空题：9．1 10．13 11．12 12．323 13． 2**32100,020,,160,20,,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 14．16，121n n a n -=++ 三、解答题：15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由()312(cos21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =． ……5分 （Ⅱ）解：因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =． ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =． ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=． ……10分 所以2π03A <<，ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -1(,1]2∈-．…12分 所以()f A 的取值范围是1(,1]2-． ……13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()C 84P A +==． 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584．…4分 （Ⅱ）解：设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739C C 281()C 843P B ===．答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13． ……8分（Ⅲ）解：X 的取值为23,45，，． 1221222239C C +C C 1(2)C 21P X ===，1221242439C C +C C 4(3)C 21P X ===，1221262639C C +C C 3(4)C 7P X ===，121839C C 1(5)C 3P X ===． ……11分所以X 的分布列为X 23 45P1214213713X 的数学期望143185234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN AB ∥，又14CM AC =，所以14MN AB =． 又EF AB ∥且14EF AB =， 所以EF MN ∥，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM FN ∥．又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以EM ∥平面FBC ． ……4分（Ⅱ）证明：因为EA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由已知可得()()()()000,4,0,0,4,4,0,0,4,0A B C D ，，， ()()002,1,0,2E F ，，．显然()()()102040402AF BC EB ===-，，，，，，，，． 则00AF BC AF EB ⋅=⋅=，， 所以AF BC AF EB ⊥⊥，．即AF BC AF EB ⊥⊥，，故AF ⊥平面EBC ． （Ⅲ）解：因为EF AB ∥，所以EF 与AB 确定平面EABF ，E DCMAFNxzECBDMA Fy由已知得，()()()0403,0,2440BC FB BD ==-=-，，，，，，． ……9分 因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA BC ⊥． 由已知可得AB BC ⊥且EAAB A =，所以BC ⊥平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量． 设平面DFB 的一个法向量是()n x,y,z =． 由0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得440,320,x y x z -+=⎧⎨-=⎩即32y x,z x,=⎧⎪⎨=⎪⎩令2x =，则(2,2,3)n =． 所以217cos <,17BC n BC n BC n⋅>==⋅由题意知二面角A FB D --锐角，故二面角A FB D --217……14分 18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为{|0}x x >． ()()22210a a f x x x x'=-+>．根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=， 解得1a =-或32a =． ……3分 （Ⅱ）解：()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x+--+'=-+==>． （1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<．所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减． （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-．所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增． ……9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=-+-=---． 2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a-'=-+⋅-=---，令()0g a '=，得21e 2a =-． 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：a21(,e )2-∞-21e 2- 21(e ,0)2- ()g a '+-()g a极大值21e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点． 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222g a g =-=--⨯---最大值2222131e ln e e e 222=-+=．所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立． ……14分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y 1222x x =-+-，整理得221(2)2x y x +=≠．所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2)2x y x +=≠±． ………5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0． ………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=． 2880k ∆=+>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+．设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+，所以2222(,)2121k kQ k k -++． ………9分 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++． 令0x =，解得211212P k y k k k==++． ．………10分当0k >时，因为1222k k +≥2022P y <≤= 当0k <时，因为1222k k +≤-2022P y >≥=． ．………12分综上所述，点P 纵坐标的取值范围是22[． ．………13分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有：（1）0,1,2,1,0.此时5()=4S A ；（2）0,1,0,1,0.此时5()=2S A ； （3）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（4）0,1,2,1,0.---此时5()=4S A -； （5）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（6）0,1,0,1,0.--此时5()=2S A -； 所以，5()S A 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分 （Ⅱ）解：由21()1k k a a --=，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（2k n ≤≤，*k ∈N ）， 因为11n n n a a c ---=，所以11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++ 11221n n a c c c c --==+++++．因为10n a a ==，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,,n c c c -是由12n -个1和12n -个1-构成的数列． 所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．则当121,,,n c c c -的前12n -项取1，后12n -项取1-时()n S A 最大， 此时()n S A 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=．证明如下： 假设121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤， 112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t =．所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑． 所以()n S A 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则 21(1)()2()4tn i i i n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()ti i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2n -是奇数，而12()ti i i n m =-∑是偶数，因此不存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=． ……13分北京市朝阳区高三二模试卷 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B 【解析】解：210x x >⇒>，{}|0A x x ∴=>，()()23404104x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-{}|14U B x x ∴=-≤≤，所以{}|04UA B x x =<≤．故选B ．2．【答案】B【解析】解：由题可知i i 2i 2i 12i 2i 2i 4z +-==⋅=--+， 复数z 在复平面内对应的点为11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，故在第二象限．故选B ．3．【答案】C【解析】解：由题可知抛物线212y x =的焦点为()3,0， 故双曲线中的3c =，所以25954m c =-=-=， 故离心率32c e a m ===． 故选C ．4．【答案】C【解析】解：由题可知0cos 0AB AC AB AC BAC ⋅<⇒⋅⋅∠<，故BAC ∠为钝角，因为313sin 222ABC S AB AC BAC =⇒⋅∠=△， 即13123sin sin 222BAC BAC ⨯⨯⨯∠=⇒∠=， 综上，150BAC ∠=． 故选C ．5．【答案】BBCA【解析】解：可知直线:40l x y -+=，2π222424ρθρρθθ⎫⎛⎫=+⇒=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即曲线()()22:228C x y -+-=， 所以圆心为()2,2，半径22r = 圆心到直线的距离2242211d r -+===+．故选B ．6．【答案】D 【解析】解：()44sin cos f x x x =-()()2222sin cos sin cos x x x x =+⋅-22sin cos cos2x x x =-=-，2ππ2T ∴==，命题p 正确； ()21,1λλ+=-+a b ，()2110λλ∴+⇒=-++=∥a b c ，即0λ=或1λ=-，故(+)//a b c 的是1λ=-的必要不充分条件， 命题q 错误； 111ln ln 1e aa dx x a a x===⇒=⎰，命题r 正确． 故选D ．7．【答案】A【解析】解：由图可知，函数242y x x =++，2y = 分别与函数y x =由两个和一个公共点，直线3与函数23的图象恰有三个公共点，只需m 取值在()1,1B --，()2,2C 两点的横坐标之间， 易验证当1m =-时，满足题意；当2m =时，只有,A B 两个公共点，不满足题意． 故选A ．C (2,2)B (-1,-1)A (-2,-2)yxy=xy=x 2+4x+2y=28．【答案】D【解析】解：因为是按任意方向正投影， 可以让面（设为桌面）定下来，正方体在动； 因此可以想象当正方体体对交线垂直于桌面时， 其在桌面上的投影是个正六边形，此时面积最大； 2233=，223，其面积可以看成623的正三角形的面积和：2326(33= 故选D ．二、 填空题 9．【答案】1【解析】解：由二项式的定理可知 ()5105252155C C kk kkk k k T axxa x ---+==， 当4k =，为展开式的常数项455C 51T a a ==⇒=． 故答案为1．10．【答案】13【解析】解：可列表x1 1 23 5 循环结束y1 23 5 8 z235813故13z =． 故答案为13．11．【答案】12【解析】解：由题可知满足题意得不等式区域y=x+1y为如图所示的阴影区域，设22z x y =+；已知当圆与直线相切与点A 时， z 取得最小值，220011212z AO ⎛-+⎫=== ⎪+⎝⎭．故答案为12．12．【答案】3，233【解析】解：由垂径定理可知2CD BD AD =⋅，即22222339AB AB CD AB =⋅⇒=，所以3AB =； 在直角CDE △中，222213CE CD DE CE =+⇒=+=， 由相交弦定理可知122333CE EF AE EB EF ⨯⋅=⋅⇒==． 故答案为3，233．13．【答案】2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 【解析】解：由题可知当20x ≤时，223310032100y x x x x x =---=-+- 当20x >时，260100160y x x =--=-； 当20x ≤时，函数在32162x =-=，取得max 256y = 当20x >时，函数在21x =，取得max 139y =， 综上当产量为16时，所得年利润最大．故答案为2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16．14．【答案】16，121n n a n -=++【解析】解：对于第一空，依题意：5,34,25,23,14,14,15,1()()3+4+4+5=16a a a a a a a =+=+++=； 对于第二空，依题意：3,2,13,12,1112,1n n n n n n n n n b a a a a b b b a ------==+=+⇒-=，从表格中可以看出：22,11,1121(2)n n n a a n ---=+=+≥，所以112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+230(21)(21)(21)3n n --=+++++++230(222)13n n n --=++++-+121n n -=++．故答案为16，121n n a n -=++．。

111十九、空间几何体（必修二、选修2-1）1.（2012年西城二模理13）一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____． 答案：13，3π2.（2012年丰台二模理2）一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正 四棱锥的正视图的面积为（ A ）A ．2B ．3C ．2D ．43.（2012年昌平二模理5）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（ C ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3 个4.（2012年东城二模理4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为 （ A ）A ．3 B.2C.23D.4俯视图左视图22 俯视图25.（2012年海淀二模理7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ A ） A ．203B.43C.6D.46.（2012年东城二模理6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面， 那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（ B ）A ．⊥αβ，且m ⊂α B.m ∥n ，且n ⊥β C.⊥αβ，且m ∥α D.m ⊥n ，且n ∥β7.（2012年昌平二模理7）如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的 中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四 个值中不为定值的是（ B ）A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥QEF P -的体积D.二面角Q EF P --的大小8.（2012年朝阳二模理8）有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是（ D ）A. 1B. 2C.C 1A1C俯视图主视图EACB 9.（2012年西城二模理16）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（Ⅰ）求证：AB DE ⊥； （Ⅱ）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值； （Ⅲ）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．证明：（Ⅰ）取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． ………………1分 因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥． ……………2分 所以⊥AB 平面EOD ． ………………3分 所以 ED AB ⊥． ………………4分 解：（Ⅱ）因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． …………5分 因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 )1,1,1(-=，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =u u u r． ………………7分设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以 ||3sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33． ………………9分解：（Ⅲ）存在点F ，且13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． ………………10分证明如下：由 )31,0,31(31--==EA EF ，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=FB ． 设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rv v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ． ………………12分 因为 ⋅v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． ………………14分 10.（2012年朝阳二模理17）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；（Ⅱ）求证：⊥AF 平面EBC ；（Ⅲ）求二面角--A FB D 的余弦值.证明：（Ⅰ）过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN //AB ，又14CM AC =，所以14MN AB =. 又EF //AB 且14EF AB =， 所以EF //MN ，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM //FN .又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以//EM 平面FBC . ……4分（Ⅱ）因为⊥EA 平面ABCD ，⊥AB AD ，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz .由已知可得(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D E CB D M A F EDCMAFBN(0,0,2),(1,0,2)E F .显然=(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)u u u r u u u r u u rAF BC EB . 则=0,=0⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u rAF BC AF EB ， 所以,⊥⊥u u u r u u u r u u u r u u r AF BC AF EB .即,⊥⊥AF BC AF EB ，故⊥AF 平面EBC . （Ⅲ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，由已知得，=(0,4,0),=(3,0,-2)u u u r u u r BC FB ，=(4,4,0)-u u u rBD . ……9分因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . 由已知可得⊥AB BC 且=I EA AB A ，所以⊥BC 平面ABF ，故u u u rBC 是平面ABF 的一个法向量. 设平面DFB 的一个法向量是()n =x,y,z .由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪⎨=⎪⎩y x,z x, 令2=x ，则(2,2,3)n =.所以cos <,n n n ⋅>==⋅u u u ru u u r u u u rBC BC BC 由题意知二面角A-FB-D 锐角，故二面角A-FB-D. …14分11.（2012年丰台二模理17）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠B AF=90º，AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点， (ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为PF 的长度．证明：（Ⅰ）(ⅰ)连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，PFEDCA BOB A CDEFP x 所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………4分 (ⅱ)因为∠B AF=90º， 所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，C 所以 1(,0,1)2BE =-u u u r ，1(1,1,)2CP =--u u u r ，所以cos ,||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u u r u u u r即异面直线BE 与CP所成角的余弦值为15． ………9分 解：（Ⅱ）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =u r．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-u u u r ，(1,2,0)AC =u u u r，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=-u u r ，所以121212||cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r ， 解得23t =，或2t =（舍）．此时||3PF =．………14分12.（2012年昌平二模理17）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中, 122AA AB ==,E 为AD 中点, F 为1CC 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥；（Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.证明：（Ⅰ）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中Q 四边形ABCD 是正方形, AD CD ∴⊥1DD ABCD AD ABCD ⊥⊂Q 平面，平面1AD DD ∴⊥ 1DD CD D =Q I 11AD CDD C ∴⊥平面111D F CDD C ⊂Q 平面 1AD D F ∴⊥ ……… 4分（Ⅱ）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF .M ∴为1AD 中点.E Q 为AD 中点，F 为1CC 中点. 111//2ME DD ME DD ∴=且…… 6分 又1121DD CF DD //CF =且Θ ∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ …… 8分CE ⊄Q 平面1AD F ,MF ⊂平面1AD F .//CE ∴平面1AD F . ……9分解： (Ⅲ)以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F …… 10分∴平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =u u u u r…11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n .1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-u u u r u u u u rQ ，分则有10,0.AF AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n 所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩取1z =，得(2,1,1)=n .111cos ,DD DD DD ⋅〈〉==u u u u ru u u u r u u u u r n n n . …13分 Θ平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1AD F 与底面ABCD …… 14分13.（2012年东城二模理17） 如图,矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ,MN MB ⊥，且MC CB ⊥，2BC =，4MB =，3DN =．（Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；（Ⅱ）求二面角D BC N --的余弦值.证明：（Ⅰ）因为MB //NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，所以MB //平面DNC ．…………2分 因为AMND 为矩形，所以MA //DN ．又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC ，所以MA //平面DNC ． …………4分又MA MB M =I ，且MA ，MB ⊂平面AMB ， 所以平面AMB //平面DNC ． ………5分 又AB ⊂平面AMB ，所以//AB 平面DNC ． ……6分解：（Ⅱ）由已知平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND I 平面MBCN MN =，DN MN ⊥，所以DN ⊥平面MBCN ，又MN NC ⊥，故以点N 为坐标原点，建立空间直角坐标系N xyz -. …7分由已知得30MC MCN =∠=o，易得MN =，3NC =．则(0,0,3)D ，(0,3,0)C，4,0)B ．(0,3,3)DC =-u u u r，CB =u u u r． ………8分设平面DBC 的法向量1(,,)x y z =n ，则110,0.DC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即330,0.y z y -=⎧⎪+=令1x =-，则y =z =所以1(1=-n ． …10分 又2n (0,0,1)=是平面NBC 的一个法向量，所以122112cos ,7⋅===n n n n n n ．故所求二面角D BC N --的余弦值为7． ……13分14.（2012年海淀二模理16）如图所示，⊥PA 平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，ο30=∠CBA ，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 弧上，且OM ∥AC ．（Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PCB ； （Ⅲ）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．ME BOCAP证明：（Ⅰ）因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以 OE ∥PA . …………1分 因为 PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 OE ∥平面PAC . …………2分因为 OM ∥AC ， 因为 AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 OM ∥平面PAC . ……………3分因为 OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O =I ，所以 平面MOE ∥平面PAC . …………5分 证明：（Ⅱ）因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90ACB??，即BC AC ⊥.因为 PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ， 所以 PA BC ⊥. ……………7分 因为 AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A =I ，所以 BC ^平面PAC .因为 BC Ì平面PBC ， 所以 平面PAC ^平面PCB . ……………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 因为 30CBA??，2PA AB ==，所以2cos30CB =?1AC =.延长MO 交CB 于点D . 因为 OM ∥AC ，所以131, 1,222MD CB MD CD CB ^=+===. 所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，B，3(,,0)22M . 所以 (1,0,2)CP =u u u r，CB =u u u r.设平面PCB 的法向量(,,)=x y z m.最新整理. 因为 0,0.CP CB ìï?ïíï?ïîu u u ru u u rm m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ………12分 同理可求平面PMB 的一个法向量n ()=.……13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m nm n m n .所以 1cos 5θ=. …………14分。

2024北京理工大附中高三（上）开学考数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{N |5}A x x =∈≤，集合{|(2)0}B x x x =−>，则A B =（ ）A. {}2,3,4B. {3,4,5}C. [)2,5D. (]2,52. 下列函数中，值域为R 且区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A. 3y x =−B. ()2y x x =−C. y =D. lg y x =3. 若a b >，则下列各式一定成立的是（ ） A. 22a b >B. 22ac bc >C. 33a b >D.2211a b< 4. 已知函数()ln 26f x x x =+−，则()f x 的零点所在的区间是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,45. 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x −+<⎧=⎨≥⎩是(,)−∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A. (0,1)B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭6. 已知()14log f x x =，则不等式()()413f x x ≥−−的解集为（ ）A. [)1,1,4∞∞⎛⎤−⋃+ ⎥⎝⎦ B. 11,,42⎛⎤⎡⎫−∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 110,,42∞⎛⎤⎡⎫⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D. [)10,1,4∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦7. 已知0a >，0b >，则“2a b +≤”是“1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数()f x 满足()()22f x f x −−=−+，对任意(]12,,2x x ∈−∞−，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x −>−成立，且()00f =，则()0f x >的解集是（ ）A. ()(),22,∞∞−−⋃+B. ()2,2−C. ()(),40,−∞−+∞D. ()4,0−9. 某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润210031x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ）A. 2千克/小时B. 3千克/小时C. 4千克/小时D. 6千克/小时10. 定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)()f x f x −=−，且在[0,1]上单调递增，2023,(2022)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b c a >>D. c b a >>二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()f x x=+的定义域是_________． 12. 已知关于x 的不等式()()212288a x x x x −−>−+的解集为()(),12,−∞−+∞，则a 的值_________.13. 已知函数()211,,221log ,2x x f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩，则()2f −=__________；()f x 的最小值为__________.14. 已知函数()221f x ax ax =−−，a ∈R .若命题“x ∀∈R ，不等式()0f x <恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围_________.15. 已知函数()3131x x f x −=+，有如下四个结论：①函数()f x 在其定义域内单调递减；②函数()f x 的值域为()0,1；③函数()f x 的图象是中心对称图形；④方程()1f x x =−+有且只有一个实根. 其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，3a ，4a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）求数列{}n a 前10项和10T .17. 已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==． （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[]3,1a a +上不单调，求实数a 的取值范围；（3）在区间[]3,1−−上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 18. 近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 这6个国产新能源品牌或在1B ，2B ，3B ，4B 这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表：（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌1A 被选中的概率；（2）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X 为遥遥每次充电的费用，求X 的分布列和数学期望；（3）求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用.（4）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少. 19. 已知函数()()21e xf x x x =−−.（1）求函数的单调区间； （2）求()f x 的零点个数.（3）()()g x f x m =−在区间11,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求m 的范围?20. 已知函数()()ln f x x x a =−+，其中0a >．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f −−处的切线方程； （2）若函数()f x 的极小值为0，求a 的值；（3）在（2）的条件下，若对任意的[0,)x ∈+∞，()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值21. 对于有限数列{}n a ，n N ≤，3N ≥，*N N ∈，定义：对于任意的k N ≤，*N k ∈，有： （i ）*123()k S k a a a a =++++；（ii ）对于R c ∈，记123()=−+−+−++−k L k a c a c a c a c .对于*N k ∈，若存在非零常数c ，使得*()()L k S k =，则称常数c 为数列{}n a 的k 阶ω系数.（1）设数列{}n a 的通项公式为()2nn a =−，计算*(4)S ，并判断2是否为数列的4阶ω系数；（2）设数列{}n a 的通项公式为339n a n =−，且数列{}n a 的m 阶ω系数为3，求m 的值；（3）设数列{}n a 为等差数列，满足-1，2均为数列{}n a 的m 阶ω系数，且*()507S m =，求m 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】B【分析】解一元二次不等式求集合B ，利用集合交运算求A B ⋂. 【详解】由题设{0,1,2,3,4,5}A =，{|2B x x =>或0}x <， 所以{3,4,5}A B =.故选：B 2. 【答案】D【分析】对于A ，可以说明它在(0,+∞)上不是单调递增，从而即可判断；对于BC ，可以说明它们的值域并不是R ，从而判断；对于D ，由对数函数性质即可判断.【详解】对于A ，若3y x =−，由()0,x ∞∈+，则230y x '=−<，所以3y x =−在(0,+∞)上单调递减，故A 错误；对于B ，二次函数()()2211y x x x =−=−−的最小值为1−，值域并不是R ，故B 错误；对于C ，幂函数y =在(0,+∞)上单调递增，但是它的值域是[)0,∞+，并不是R ，故C 错误，对于D ，当0x >时，lg lg y x x ==，由对数函数性质可知lg y x =在(0,+∞)上单调递增，且值域为R ，故D 正确. 故选：D. 3. 【答案】C【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案. 【详解】AD 选项，1,1a b ==−，则a b >，但222211,a b a b ==，所以AD 选项错误. B 选项，若0c =，则22ac bc =，所以B 选项错误.C 选项，若a b >，由于3y x =在R 上递增，所以33a b >，所以C 选项正确. 故选：C 4. 【答案】C【分析】先判断()f x 在(0,)+∞是连续的增函数，再结合零点存在性定理可求得结果. 【详解】因为ln y x =和26y x =−在(0,)+∞上都是连续的增函数， 所以()ln 26f x x x =+−在(0,)+∞上是连续的增函数， 所以()f x 在(0,)+∞上至多有一个零点，因为()2ln2226ln 220f =+⨯−=−<，()3ln3236ln 30f =+⨯−=>，所以(2)(3)0<f f ，所以()f x 唯一的零点所在的区间为()2,3， 故选：C 5. 【答案】C【分析】由()f x 在(,)−∞+∞上单调递减，确定a ，以及31a −的范围，再根据单调递减确定在分段点1x =处两个值的大小，从而解决问题.【详解】解：由题意得：(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x −+<⎧=⎨≥⎩是(,)−∞+∞上的减函数(31)14lg 13101a a a a a −⨯+≥⎧⎪∴−<⎨⎪<⎩解得：1173a ≤≤故 a 的取值范围是11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：C 6. 【答案】D【分析】化简不等式()()413f x x ≥−−，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案. 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，AB 选项错误.()()()144444log log 1,log 133f x x x x x x ==−≥−−≤−①， 由()4log 413y xy x =⎧⎪⎨=−⎪⎩解得11141x y ⎧=⎪⎨⎪=−⎩或2210x y =⎧⎨=⎩， 画出()44log ,13y x y x ==−的图象如下图所示， 由图可知，不等式①的解集为[)10,1,4∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦.故选：D7. 【答案】A 【分析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当0a >，0b >时，a b +≥，则当2a b +≤时，有2a b ≤+≤，解得1ab ≤，充分性成立； 当2a =，12b =时，满足1ab ≤，但此时522a b +=>，必要性不成立，综上所述，“2a b +≤”是“1ab ≤”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 【答案】D【分析】由已知条件得到()f x 的图象关于2x =−对称，从而可知()f x 在(],2−∞−上为增函数，在()2,∞−+上为减函数，且()40f −=，再画出折线图表示出函数()f x 的单调性，即可得到答案.【详解】因为数()f x 满足()()22f x f x −−=−+. 所以()f x 的图象关于2x =−对称.因为函数()f x 对任意(]12,,2x x ∞∈−−，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x −>−成立，所以()f x 在(],2−∞−上为增函数.又因为()f x 的图象关于2x =−对称，()00f =， 所以()f x 在()2,∞−+为减函数，且()40f −=. 用折线图表示函数()f x 的单调性，如图所示：由图知：f (x )>0⇒−4<x <0. 故选：D. 9. 【答案】C【分析】生产100千克该产品获得的利润为()100210031f x x x x ⎛⎫=⋅+− ⎪⎝⎭，令1t x =，由换元法求二次函数最大值即可.【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为()2210021211100311000031000023f x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+−=+−=−++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，110x ≤≤，令1t x =，1110t ≤≤，则()()22251000023200010641f t t t t ⎡⎤⎛⎫=−++=−−⎢⎥ ⎪⎝⎢⎣−⎭⎥⎦，故当14t =时，()f t 最大，此时4x =. 故选：C 10. 【答案】A【分析】由(1)()f x f x −=−得(2)()f x f x −=，则()f x 的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a ，b ，c ，最后根据单调性比较大小.【详解】由(1)()f x f x −=−得(2)(1)()f x f x f x −=−−=，∴()f x 的周期为2， 又()f x 为偶函数，则202311110122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(2022)(0)c f f ==， ∵1ln 2ln e2，()f x 在[0,1]上单调递增，∴c b a <<. 故选：A二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】()(],00,1−∞⋃【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =+100x x −≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1−∞⋃； 故答案为：()(],00,1−∞⋃ 12. 【答案】3【分析】对原不等式等价变形，分a 是否等于2进行讨论，根据一元二次不等式、方程之间的关系即可求解.【详解】()()()()()()2122882222240a x x x x x ax a x x a x a −−>−+⇔−−−−=−−+−>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当2a =时，原不等式等价于()2202x x −>⇔>，故2a =不符合题意， 当2a ≠时，根据一元二次不等式解集可得412a a −=−−，解得3a =， 而当3a =时，原不等式等价于()()2101x x x −+>⇔<−或2x >，故3a =符合题意； 综上所述，a 的值为3. 故答案为：3.13. 【答案】 ①. 4 ②. -1【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断.【详解】()21242f −⎛⎫−== ⎪⎝⎭，()11,22xx f x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭在区间内单调递减，故()f x 在12x <上无最小值，且12122⎛⎫ ⎪⎝⎭=()21,log 2x f x x ≥=在区间内单调递增，故()2min 11log 1222f x f ⎛⎫===−< ⎪⎝⎭，故答案为：-1 14. 【答案】(](),80,−∞−+∞【分析】结合开口方向以及判别式求得a 的取值范围. 【详解】当()2210f x ax ax =−−<恒成立， 当0a ≠时，0a <且280a a ∆=+<， 解得：80a −<<，当0a =时,()10f x =−<成立， 所以80a −<≤，命题“R x ∀∈，不等式()0f x <恒成立”是假命题 所以a 的取值范围为：8a ≤−或0a >． 故答案为：(](),80,∞∞−−⋃+ 15. 【答案】③④【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.【详解】31()31x x f x −=+的定义域为R ，3122()13131x x xf x +−==−++， 因为31xy =+在R 上单调递增，且0y >恒成立，所以()f x 在R 上递增，①错误.由于1311,0131xx +><<+， 22202,20,111313131x x x<<−<−<−<−<+++， 所以()f x 的值域为(−1,1)，故②错误；由于()()31133113x xx xf x f x −−−−−===−++， 所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，③正确. 由()1f x x =−+得2211,03131x xx x −=−+−=++构造函数()231xg x x =−+，()g x 在R 上单调递增， g (0)=0−21+1=−1<0,g (1)=1−24=12>0，所以()g x 在()0,1上存在唯一零点，也即方程()1f x x =−+有且只有一个实根，④正确. 所以正确结论的序号是③④. 故答案为：③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）210n a n =−，29n S n n =−；（2）50【分析】（1）利用等比中项求出1a ，再利用等差数列的通项公式以及前n 和公式即可求解. （2）讨论n 值，判断出数列从第几项开始为正，再利用等差数列的前n 和公式即可求解. 【小问1详解】等差数列{}n a 的公差为2=d ，314a a ∴=+，416a a =+，1a ，3a ，4a 成等比数列，则()()211146a a a +=+，解得18a =−，故等差数列{}n a 的首项为18a =−，公差为2=d . 所以()11822210n a a n d n n =+−=−+−=−，()2211892n n n dS na n n n n n −=+=−+−=−. 综上所述，210n a n =−，29n S n n =−；【小问2详解】由（1）可得当5n ≤时，0n a ≤，当6n ≥时，0n a >.()()1012101256710T a a a a a a a a a =++=−++++++()()580210586420105022⨯++⨯=++++++=+=. 17. 【答案】（1）()2243f x x x =−+ （2）1(0,)3（3）(),5−∞【分析】（1）根据题意，设()2(1)1f x a x =−+，结合()03f =，求得2a =，即可求解；（2）根据二次函数的性质，结合题意，得到不等式311a a <<+，即可求解；（3）根据题意，转化为231m x x <−+在区间[]3,1−−上恒成立，设()231g x x x =−+，结合二次函数的性质，求得()g x 的最小值为()15g −=，即可求解. 【小问1详解】解：根据题意，二次函数()f x 满足()()023f f ==，可得函数()f x 的对称轴为1x =， 因为函数()f x 的最小值为1，可设()2(1)1f x a x =−+，又因为()03f =，可得()13f x a =+=，解得2a =，所以函数()f x 的解析式为()222(1)1243f x x x x =−+=−+. 【小问2详解】解：由函数()22(1)1f x x =−+，其对称轴为1x =，要使得函数()f x 在区间[]3,1a a +上不单调，则满足311a a <<+， 解得103a <<，即实数a 的取值范围为1(0,)3.【小问3详解】解：由函数()2243f x x x =−+，若在区间[]3,1−−上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方， 则由2243221x x x m −+>++在区间[]3,1−−上恒成立， 即231m x x <−+在区间[]3,1−−上恒成立， 设()231g x x x =−+，其对称轴为32=，则()g x 在[]3,1x ∈−−上单调递减， 所以函数()g x 的最小值为()15g −=，则有5m <， 所以实数m 的取值范围为(),5−∞． 18. 【答案】（1）13（2）分布列见解析，数学期望为48元. （3）1.5元 （4）新能源汽车花费更少. 【分析】（1）利用超几何分布概率计算；（2）根据题意求概率，列分布列，再计算数学期望； （3）分别确定各种可能的费用以及概率即可求解； （4）计算两种汽车的花费，比较大小即可求解. 【小问1详解】记事件:A 品牌1A 被选中，则()111526C C 1C 3P A ==.【小问2详解】由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时， 在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时， 在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时，X 可能的取值有54,45,36，则()()()11154,45,36,236P X P X P X ====== 分布列如下：所以()54453648236E X =⨯+⨯+⨯=元. 【小问3详解】充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为81243=， 充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为81243=， 充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为81243=， 所以充电1千瓦时的平均费用为1111.8 1.5 1.2 1.5333⨯+⨯+⨯=元. 【小问4详解】若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为3000081.5720005⨯⨯=元， 若选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为30000831440005⨯⨯=元， 结合购车成本有1440007200040000>+，所以新能源汽车花费更少.19. 【答案】（1）()f x 的单调减区间为：(0,ln 2)；单调增区间为：(,0)−∞，(ln 2,)+∞（2）1个 （3）1,124⎡⎫−−−⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；（2）结合(1)问的单调性，求出函数()f x 的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出()f x 在区间11,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域即可求解.【小问1详解】由题可得：()=e 2(e 2)xxf x x x x =−'−，令()0f x '=，解得：0x =或ln 2x =， 令f ′(x )<0，解得：0ln 2x <<； 令()0f x '>，解得：0x <或ln 2x >；所以()f x 的单调减区间为：(0,ln 2)；单调增区间为：(,0)−∞，(ln 2,)+∞ 【小问2详解】因为()f x 的单调减区间为：(0,ln 2)；单调增区间为：(,0)−∞，(ln 2,)+∞， 由于(0)10f =−<，则()f x 在(,0)−∞上无零点；由于()2(ln 2)2(ln 21)ln 20f =−−<，则()f x 在(0,ln 2)上无零点； 由于2(2)e 40f =−>，则()f x 在()ln 2,2上存在唯一零点；综上，函数()f x 在R 上存在唯一零点. 【小问3详解】若()()g x f x m =−在区间11,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则函数()y f x =与y m =在区间11,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有两个交点；由(1)知，()f x 在()1,0−上单调递增，1(0,)2上单调递减；2(1)1e f −=−−，(0)10f =−<，11()(1)224f f =−−>−，所以函数()y f x =与y m =在区间11,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则114m −≤<−，即()()g x f x m =−在区间11,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的范围为1,124⎡⎫−−−⎪⎢⎪⎣⎭20. 【答案】（1）1y =− （2）1a = （3）12【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，（2）求导，根据导函数的正负确定原函数单调性，即可由极值求解，（3）将问题转化为对任意的[0,)x ∈+∞，2ln(1)0kx x x ++−≥，构造函数()2ln(1)g x kx x x =++−，即可结合分类讨论求解函数的单调性求解. 【小问1详解】当2a =时，()()ln 2f x x x =−+，则()112f x x =−+'， 故()111012f '−=−=−+，又()11f −=−，故y =f (x )在点()()1,1f −−处的切线方程为1y =− 【小问2详解】()111x a f x x a x a+−−'==++，()a >− 故当1x a >−时，()()0,f x f x '>单调递增，当1a x a −<<−时，()()0,f x f x '<单调递减，故当1x a =−时，()f x 取极小值，故()11ln10f a a −=−−=，故1a =【小问3详解】由（2）知1a =，故()()ln 1f x x x =−+，故对任意的[0,)x ∈+∞，()2f x kx ≤成立，只需要对任意的[0,)x ∈+∞，2ln(1)0kx x x ++−≥，记()2ln(1)g x kx x x =++−，则()()22112111x kx k g x kx x x +−=='+−++， ①102k <<时，此时1102k−>， 故当1012x k<<−时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当112x k>−时，()0g x '>，()g x 单调递增，故当112x k=−时，()g x 取极小值也是最小值， 故()()min 11002g x g g k ⎛⎫=−<= ⎪⎝⎭，不符合题意， ②当12k ≥时，此时1102k−<， 故当0x >时， ()0g x '>，()g x 单调递增， 故()()00g x g >=，符合题意， ③当0k <时，此时1102k−<， 故当0x >时， ()0g x '<，()g x 单调递减， 故()()00g x g <=，不符合题意，④当0k =时，故当0x >时， ()0g x '<，()g x 单调递减， 故()()00g x g <=，不符合题意， 综上可得12k ≥， 所以实数k 的最小值为12.21. 【答案】（1）30；2是数列{}n a 的4阶ω系数． （2）26 （3）26【分析】（1）根据k 阶ω系数的定义进行判断；（2）根据4阶ω系数的定义列出相应的等量关系，进行求解；（3）根据m 阶ω系数的定义建立方程，构造函数，根据函数性质得到不等式组，进行求解． 【小问1详解】因数列{}n a 通项公式为(2)n n a =−，所以数列{||}n a 为等比数列，且||2n n a =，得12344||||||||30a a a a *=+++=S（）． 数列{}n a 通项公式为(2)n n a =−，所以当2c =时，12344|2||2||2||2|L a a a a =−+−+−+−（）1234(2)(2)(2)(2)a a a a =−−+−−−+−*12341234||2||2||2||2||||||||(4)a a a a a a a a S =++−+++−=+++=, 所以2是数列{}n a 的4阶ω系数． 【小问2详解】因为数列{}n a 的m 阶ω系数为3，所以当3c =时，存在m ，使*()()L m S m =成立．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则3(1)392n n n S n +=−+,令0n a ，则13n ,所以，*3(1)39,132()3(1)39468,142n n n n S n n n n n +⎧−⎪⎪=⎨+⎪−++⎪⎩,设等差数列{3}n a −的前n 项和为n T ，3342n a n −=−， 则3(1)422n n n T n +=−+,令30n a −，则14n ,所以，3(1)42,13,2()3(1)42546,14.2n n n n L n n n n n +⎧−⎪⎪=⎨+⎪−++⎪⎩当13m 时，*()()L m S m ≠， 当14m 时，*()()L m S m =， 则3(1)3(1)394684254622m m m m m m ++−++=−++，解得26m =．【小问3详解】设数列{}n a 为等差数列，满足1−，均为数列{}n a 的m 阶ω系数，*()507S m =， 则存在*N k ∈，使123123|||||||||1||1||1||1|m m a a a a a a a a ++++=++++++++123|2||2||2||2|507m a a a a =−+−+−++−=成立．设数列{}n a 的公差为d ，构造函数()|||2||3|||507f x x d x d x d x md =−+−+−++−−．由已知得()|||||2||(1)|507m m m m m f a d a a d a d a m d +=+−+−++−−−121||||||||5070m m m a a a a −−=++++−=，所以，函数()f x 至少有三个零点m a d +，1m a d ++，2m a d +−，由函数()f x 可知m 为偶数，且满足21(1)22(1)()02m m m mm d a d a d a d d m d f ⎧+−<+<+++⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得235074d m d ⎧⎪⎨=⎪⎩，所以234507m ⨯，解得26m ，构造等差数列{}n a 为：37−，34−，33−，⋯，38， 可知当26m =时命题成立，即m 的最大值为26．【点睛】本题主要考查数列的综合运用，根据k 阶ω系数的定义建立方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．。