2018年空间向量与立体几何汇编
- 格式：doc
- 大小：525.85 KB
- 文档页数：9
第 1 页 共 9 页
BST金牌数学高二（选修2—1）专题系列之
空间向量与立体几何（五）
——2018年真题汇编
一、空间向量
1.空间向量基本定理：如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，
使pxaybzc。
若三向量,,abc不共面，我们把{,,}abc叫做空间的一个基底，,,abc叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都
可以构成空间的一个基底。
2.空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使zkyixiOA，有序实
数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖
坐标。
注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么
坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示。空间中任一
向量kzjyixa=（x,y,z）
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，
112233
(,,)abababab
，123(,,)()aaaaR， 112233abababab，
112233
//,,()ababababR
， 1122330abababab。
②若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
推导：当P为AB中点时，)2,2,2(212121zzyyxxP
第 2 页 共 9 页
③),,(),,,(,,,333222111zyxCzyxB）zy，A（xABC中，
三角形重心P坐标为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxP
④ΔABC的五心：
内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。)(ACACABABAP（单位向量）
外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PCPBPA
垂心P：高的交点：PCPBPCPAPBPA（移项，内积为0，则垂直）
重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31ACABAP
中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，
则222123||aaaaaa，222123||bbbbbb
（5）夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb。
ΔABC中①0ACAB<=>A为锐角②0ACAB<=>A为钝角，钝角Δ
（6）两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，
则2222212121||()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()ABdxxyyzz
3. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,ab，在空间任取一点O，作,OAaOBb，则AOB叫
做向量a与b的夹角，记作,ab；且规定0,ab，显然有,,abba；若,2ab，
则称a与b互相垂直，记作：ab。
（2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a。
（3）向量的数量积：已知向量,ab，则||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即
ab
||||cos,abab
。
（4）空间向量数量积的性质：
第 3 页 共 9 页
P
A
O
C
B
M
①||cos,aeaae。②0abab。③2||aaa。
（5）空间向量数量积运算律：
①()()()ababab。 ②abba（交换律）。
③()abcabac（分配律）。 ④不满足乘法结合率：)()(cbacba
二、立体几何
线线夹角（共面与异面）]90,0[OO两线的方向向量2,1nn的夹角或夹角的补角，n21,coscosn
3-1线面夹角]90,0[OO：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，
若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.nAP,cossin
3-2面面夹角（二面角）]180,0[OO：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1nn的夹角；法向
量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 21,coscosnn
例.【2018全国II·理】（本小题12分）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，
O为AC
的中点．
（1）证明：PO平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
第 4 页 共 9 页
拓展练习
【2018全国I·理】（本小题12分）如图，四边形ABCD为正方形，,EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕
把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且
PFBF
.
（1）证明：平面PEF平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值
.
第 5 页 共 9 页
1.【2018北京·理】（本小题14分）如图，在三棱柱ABC−111ABC中，1CC平面ABC，D，E，F，G分别为1AA，
AC，11AC，1BB的中点，AB=BC=5，AC=1AA=2．
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；
（3）证明：直线FG与平面BCD相交．
2.【2018全国III·理】（本小题12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，
M
是CD上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
第 6 页 共 9 页
（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
3.【2018江苏】（本小题14分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
第 7 页 共 9 页
4.【2018浙江】（本小题15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，
A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
5.【2018天津·理】(本小题满分14分)如图，ADBC∥且AD=2BC，ADCD,EGAD∥且EG=AD
，CDFG∥且
CD=2FG，DGABCD平面，DA=DC=DG=2.
（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MNCDE∥平面；
（2）求二面角EBCF的正弦值；
（3）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长
.
第 8 页 共 9 页
6.【2018上海】(本小题满分14分)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的
角的大小．
第 9 页 共 9 页
课前回顾
【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.
