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立体几何与空间向量
求角:
(1)异面直线所成的角:
可平移至同一平面;也可利用空间向量:cos |cos ,|a b θ=<>r r
=||
||||
a b a b ?=
?r r r r (其中θ(090θ<≤o
o
)为异面直线a b ,所成角,,a b r r
分别表示异面直线a b ,的方向向量)。 (2)直线与平面所成的角:
在斜线上找到任意一点,过该点向平面作垂线,找到斜线在该平面上的射影,则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角;也可利用空间向量,直线AB 与平面所成角
sin ||||
AB m AB m β?=
(m
为平面α的法向量).
(3)二面角:
方法一:常见的方法有三垂线定理法和垂面法; 方法二:向量法:夹角公式
设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b ,则
cos 〈a ,b 〉
.
推论 2222222
112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++,此即三维柯西不等式. (m ,n
为平面α,β 的法向量).
求空间距离:
(1)点与点的距离、点到直线的距离,一般用三垂线定理“定性”;
(2)两条异面直线的距离:||||
AB n d n ?= (n
同时垂直于两直线,A 、B 分别在两直线上); (3)求点面距: ||||AB n d n ?= (n
为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈); (3)线面距、面面距都转化为点面距。
△空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x.y,使 MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量} 或对空间任一定点O ,有OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB 表示向量}
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
高中数学公式大全(必备版) 高中数学公式大全(必备版) 篇一 篇二 篇三 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意:在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变),然后在前面加上把α看成锐
高中数学《立体几何》重要公式、定理 1.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 2.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 3.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 4.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 6.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a +b=b +a . (2)加法结合律:(a +b)+c=a +(b +c). (3)数乘分配律:λ(a +b)=λa +λb . 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 ),a ∥b ?存在实数λ使a=λb . P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+. 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+, 或对空间任一定点O ,有序实数对,x y ,使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,满足OP xOA yOB zOC =++(x y z k ++=),则当1k =时,对于空间任一点O ,总有P 、A 、B 、C 四点共面;当1 k ≠
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示: 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。方法二:用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。方法二:用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三.垂直关系: l
1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′,c,斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a)
tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa
高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相 邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫 做棱柱。 相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ?L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 侧棱垂直于底面底面为矩形 侧棱与底面边长相等 棱柱的性质:
①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 平方和;【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所 成 的 角 分 别 是 αβγ ,,,那么 222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=; ③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=,2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 面积、体积公式: 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底,V (其中c 为底面周长,h 为棱 柱的高) 2.圆柱 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式: 侧面 母线
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点。 求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多,同学们复习的时候不方便查阅,下面是我给大家带来的高考必背数学公式,希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积
1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为: an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为: Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为: an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
A P B C F E D 立体几何专题训练 1.在四棱锥P -ABCD 中,PA =PB .底面ABCD 是菱形, 且∠ ABC =60°.E 在棱PD 上,满足DE =2PE ,M 是AB 的中点. (1)求证:平面PAB ⊥平面PMC ; (2)求证:直线PB ∥平面EMC . 2.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等, D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点,点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点,求证:BB 1∥平面EFM ; (2)求证:EF ⊥BC 。 3.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,,E P 分别是 11,BC A D 的中点,M 、N 分别是1,AE CD 的中点,1,2AD AA a AB a === (1)求证://MN 面11ADD A (2)求三棱锥P DEN -的体积 4如图1,等腰梯形ABCD 中,AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a (1)求证:平面PCF ⊥平面PDE ; (2)求四面体PCEF 的体积. 6如图,等腰梯形ABEF 中,//AB EF ,AB =2, 1AD AF ==,AF BF ⊥,O 为AB 的中点,矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面CBF ; (Ⅱ)设FC 的中点为M ,求证://OM 平面DAF ; (Ⅲ)求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中,,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. (Ⅰ)求证:直线EF ∥平面ABD ;(Ⅱ)求证:平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2,G 为 AF 的中点。 (1)求证:1F G ∥平面11BB E E ; (2)求证:平面1F AE ⊥平面11DEE D ; D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1