平方可和算子值函数空间的标准正交基

一组标准正交基则阿尔法
标准正交基也叫规范正交基。

实际上，只要这些基向量互相垂直，就叫正交基，而且每个基向量的长度等于单位1的话，则阿尔法就叫做标准正交基。

高等数学的一个概念。

若向量空间的基是正交向量组，则称其为向量空间的正交基，若正交向量组的每个向量都是单位向量，则称其为向量空间的标准正交基。

无论在有限维还是无限维空间中，正交基的概念都是很重要的。

在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。

因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间（而不是整个空间）的集合。

有前面的定义可以知道，在无穷维空间的情况下，正交基不再是一般线性代数的定义下的基。

为了区分，把一般线性代数的定义下的基称为哈默尔基。

在内积空间的实际应用中，标准正交基甚少出现，因此提到“基”的概念时，一般指的是正交基。

运用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法，可以证明每个希尔
伯特空间都有基，并且有正交基。

同一个空间的正交基的基数必然是相同的。

当一个希尔有数间有可数个元素组成的正交基，就说这个空间是可分的。

称基中的元素为基向量。

假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基。

注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。

因此，一个巴拿赫空间有正交基，当且仅当它是一个希尔伯特空间。

正交性定理正交性定理是线性代数中极为重要的一个定理，它在许多领域，特别是在信号处理、图像处理和物理学等方面都有广泛的应用。

在本文中，我将介绍正交性定理的概念、证明过程以及它的几个重要应用。

正交性定理是指两个向量的内积为0时，它们是正交的。

换句话说，如果两个向量的内积等于0，那么它们垂直于彼此。

内积是一种度量两个向量之间相似性的方法，它是两个向量的点积。

对于两个向量u和v，它们的内积可以表示为u·v。

如果u·v=0，则u和v是正交的。

接下来，我们将证明正交性定理。

假设有两个向量u=(u₁,u₂,...,uₙ)和v=(v₁,v₂,...,vₙ)。

它们的内积可以表示为：u·v= u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ我们假设u·v=0，即：u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ = 0我们可以将这个方程写成矩阵形式，即：[u₁ u₂ ... uₙ] · [v₁ v₂ ... vₙ]ᵀ = 0这个矩阵乘法等于0的条件是，矩阵的每一行与每一列的乘积之和等于0。

也就是说，u和v的每一个分量乘积之和等于0。

根据这个条件，我们可以得出结论，如果u·v=0，那么u和v是正交的。

正交性定理在很多应用中都有重要的作用。

首先，它在信号处理中被广泛用于傅里叶变换。

傅里叶变换将一个信号分解成一组正交基函数，每个基函数都代表了不同的频率。

这个定理的应用使得我们可以对信号进行频率分析，从而更好地理解和处理信号。

其次，正交性定理在图像处理中也扮演着重要的角色。

在图像处理中，我们经常会用到卷积操作。

卷积操作可以将一个图像与一个卷积核进行卷积，得到一个新的图像。

正交性定理告诉我们，如果一个卷积核是正交的，那么它可以保持图像的一些特性，比如边缘和纹理。

这个定理的应用使得我们可以通过设计适当的卷积核来改善图像质量。

另外，正交性定理在物理学中也是非常重要的。

在量子力学中，波函数的正交性是量子理论的基础之一。

希尔伯特空间与正交性希尔伯特空间是数学中一种重要的函数空间，它在函数分析、量子力学等领域中具有广泛的应用。

而正交性则是希尔伯特空间中一个关键的概念，它在描述函数之间的关系和性质时起到了重要作用。

一、希尔伯特空间的定义及性质希尔伯特空间是一个完备的内积空间，也就是满足空间中的任意Cauchy序列都有极限元素存在。

它的内积在满足线性性、对称性和正定性的基础上，还满足了帕塞瓦尔不等式和柯西-施瓦茨不等式。

在希尔伯特空间中，我们可以定义向量的长度，也就是向量的范数。

常见的范数有L2范数和L∞范数，它们分别对应了希尔伯特空间中的平方可积性和有界性。

此外，希尔伯特空间中还有一些重要的子空间，如离散和连续空间等。

二、正交性的概念与性质在希尔伯特空间中，正交性是指两个向量之间的相互垂直关系。

具体而言，如果向量u和v在希尔伯特空间中的内积为0，则称它们是正交的。

正交性是希尔伯特空间中一个非常重要的性质，它帮助我们研究函数的性质、展开定理、最优逼近等问题。

正交性的一个重要应用是正交基的构造。

在希尔伯特空间中，如果一组向量v1，v2，...，vn两两正交，并且每个向量的范数为1，则它们构成了一组正交归一基。

正交归一基在求解线性方程组、信号处理、图像压缩等问题中具有重要的应用。

正交投影是希尔伯特空间中另一个重要的概念。

它指的是将一个向量分解到一个子空间上，并使得分解的投影向量与子空间中的向量正交。

正交投影在信号处理、图像重建等领域中有着广泛的应用。

三、希尔伯特空间与正交性的应用希尔伯特空间和正交性在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在数学中，希尔伯特空间是函数分析的重要工具，可以用来研究广义函数空间、调和分析等问题。

在物理学中，希尔伯特空间被广泛应用于量子力学中的波函数描述、量子力学算符的性质等方面。

正交性在信号处理中也具有重要的应用。

例如，正交频分复用技术能够将多个频率上的信号通过正交的方式叠加在一起，从而提高信号传输的效率和容量。

§5 Laplace 算子的特征值 5.1 概念 定义5.1 22222212nx ux u x u u ∂∂++∂∂+∂∂=∆ ,称∆为Laplace 算子.定义 5.2 如果存在实数λ,和非零函数()()Ω⋂Ω∈12C C u ，使得⎩⎨⎧Ω∂=Ω=∆-上在中在,0,u u u λ ，（5.1） 则称λ为算子∆-（或问题（5.1））的特征值,称u 为对应于特征值λ的特征函数. 例如 ),,0(l =Ω⎩⎨⎧==∈=''-.0)()0(),0(,l y y l x y y λ ，(5.2) xl n x y x y l n n n ππλλsin )()(,2==⎪⎭⎫⎝⎛==就是（5.2）的特征值和对应于特征值nλ的特征函数. 且有<<<<3210λλλ,+∞=∞→n n λlim ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧x l n πsin 在),0(2l L 中正交,任意函数],,0[)(2l L x f ∈)(x f 在],0[2l L 中可用⎭⎬⎫⎩⎨⎧x l n πsin 展开成Fourier 级数.1()~sin k k k f x a x l π∞=∑, （未必相等）⎰=l k x l k x f l a 0sin )(2π,令1()sin nn k k k S x a x l π==∑，则有())(,0212∞→→-=-⎰Ωn dxf S f S n n .系数的记法k k l k l a llk a dx x l k l k a xdx l k x f 2sinsin sin sin )(200===⎰⎰ππππ.定义5.3对实数λ,如果存在函数()0)(,)(1≠Ω∈x u H x u ,使得 (),,10Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩH dx u dx u ϕϕλϕ（5.3）则称为λ为算子∆-的（广义）特征值,称u 为对应于特征值λ的广义特征函数.显然由定义5.2⇒定义5.3,反之,在一定条件下,定义 5.3⇒定义5.2.5.2 特征值的存在性若u ,λ是（5.3）的特征值与特征函数,则有⎰⎰ΩΩ=∇dx u dx u 22λ,2222uu dxu dxu ∇=∇=⎰⎰ΩΩλ,于是我们引入泛函()0)(,)(,)(122≠Ω∈∇=x u H x u uu u J .由Friedrichs 不等式u d u ∇≤2, 2224u d u∇≤,()0,,04110222≠Ω∈∀>≥∇u H u duu . 此式说明泛函)(u J 有正的下界,因此)(u J 有下确界.如果定义()()212211010inf infvuu v H v u H u ∇=∇==Ω∈≠Ω∈λ ,（5.4）则.04121>≥d λ今证明1λ是算子)(∆-的最小特征值. 由下确界()21110i n f uu H u ∇==Ω∈λ的定义,对任意正整数k,存在(),1,10=Ω∈k k u H u 满足,112ku k+≤∇λ（12λ≥∇ku ）于是得{}k u 在()Ω10H 中有界,由索伯列夫嵌入定理,存在{}k u 的子序列{}ik u 和函数()Ω∈10H u ,使得u u i k →（在()Ω2L 中）,u u i k ==1lim ，u u i k ∇→∇在()Ω2L 中弱收敛,22lim ii k k u u∇≤∇∞→再由,112ik k u i+≤∇λ得12λ≤∇u,又12λ≥∇u ,故1,12==∇u uλ,即存在()Ω∈10H u ,1=u ,使得()()2122121010i n f i n f v u u uv H v u H u ∇=∇==∇=Ω∈≠Ω∈λ（条件极值）下面证明u ,1λ就特征值与特征函数.())(inf )(0110v J u J v H v ≠Ω∈==λ,,)(22vv v J ∇=对任意()Ω∈10H v 根据上式得出)(inf )(tv u J u J Rt +=∈即)(tv u J +在0=t 处达到最小值.由此知0)(0=∂+∂=t ttv u J22)()(tvu tv u tv u J ++∇=+,),(2),(2222222vt v u t u v t v u t u ++∇+∇∇+∇=()()()(),)),(2(2),(2),(2),(22),(2)(222222222222v t v u t uv t v u vt v u t uvt v u t u v t v u ttv u J +++∇+∇∇+∇-++∇+∇∇=∂+∂得0),(2),(2422=∇-∇∇uv u u uv u ,0),(),(22=∇-∇∇v u u uv u()Ω∈∀=∇=∇∇1122),,(),(),(H v v u v u uu v u λ, 即()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ11,H v dx uv dx v u λ 因此,1λ是算子∆-的特征值,u 为对应于特征值λ的特征函数.再证1λ是最小的特征值,设λ是∆-的任意特征值,即存在()0,1≠Ω∈w H w , 使得()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx wv dx v w λ在此式中,取w v =, 得出22wdx w λ=∇⎰Ω,()1222210infλλ=∇≥∇=≠Ω∈vv ww v H v .这就证明1λ是∆-的最小特征值.5.3算子∆-的所有特征值 我们可以采用下列方法依次求出算子∆-的所有特征值.())(inf 0),(02110v J u v v H v =≠Ω∈=λ,显然210λλ≤<,可以证明,存在()1,2102=Ω∈u H u ,0),(12=u u , 使得())(inf )(0),(022110v J u J u v v H v =≠Ω∈==λ,同上面可证,22,u λ满足()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1222,H v dx v u dx v u λ 即2λ是特征值,2u 为对应于特征值2λ的特征函数.假设我们已经得出算子∆-的1-m 个特征值,121,,,-m λλλ (1≥m ), 且121-≤≤≤m λλλ , （5.5） 对应于121,,,-m λλλ 的特征函数为121,,,-m u u u , （5.6）且()1,,2,1,1-==m k u k .函数组（5.6）的所有线性组合成为()Ω2L 的一个线性子空间,叫做组（5.6）在()Ω2L 中生成的子空间,记为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∈==∑-=--1112111,,2,1,|,,,m i i i i m m m i R c u c u u u span V以⊥-1m V表示1-m V 在()Ω2L 中的正交补空间,即(){}121,0),(|-⊥-∈∀=Ω∈=m m V v L v V ϕϕ. 根据泛函241)(d u J ≥有下界性,我们将证明())(inf 0110v J v V H v m m ≠⋂Ω∈⊥-=λ ,（5.7）就是算子∆-的第m 个特征值. 重复上面的讨论变分问题（5.4）的步骤可以证明,存在函数⊥-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂Ω∈110m m V H u ,使得,1=m u ())(inf )(0110v J u J v V H v m m m ≠⋂Ω∈⊥-=λ ,（5.8）()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u m m m λ ,（5.9）m λ是算子∆-的第m 个特征值,m u 为对应于特征值m λ的特征函数.由（5.7）易知1-≥m m λλ.由于()Ω10H 是无限维空间,按（5.7）得出算子∆-的特征值的无限序列 ≤≤≤≤≤-m m λλλλ121 ,（5.10） 相应的的特征函数序列为,,,,,121m m u u u u - ,（5.11）5.3特征值序列{}m λ及对应的特征函数系{}m u 的性质性质1 最小特征值1λ对应的特征函数)(x u 可以取来满足21,1,,0)(u u x x u ∇==Ω∈∀>λ .性质2 对应于不同特征值的特征函数在()Ω2L 中是正交的.证明 设特征值k m λλ,对应的特征函数分别为k m u u ,,且k m λλ≠()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u m m m λ ()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u k k k λ ,dx u u dx uu m k k mk⎰⎰ΩΩ=∇∇λ,dx u u dx u um k m k m⎰⎰ΩΩ=∇∇λ(),0=-⎰Ωdx u u m k m k λλ 由此知道,当k m λλ≠时,(),0,==⎰Ωdx u u u u m k m k性质3 对应于同一特征值只有有限个线性无关的特征函数,或者说,对应于每一个特征值的特征函数空间是有限维的.性质4 特征值序列（5.10）满足lim n n λ→∞=+∞ .性质5 特征函数序列（5.11）是空间()Ω10H 的基底,即 （1） 对任意()Ω∈1H v ,∑∞==1),(k kk u u v v 在()Ω10H 中.（2） 若()Ω∈1H v ,,,2,1,0),( ==k u v k则0=v .众所周知,存在特征值序列{}j λ和相应的特征函数系{}j ϕ，满足,|0.j j j j ϕλϕϕ∂Ω-∆=⎧⎪⎨=⎪⎩ 这里210()()j H H ϕ∈ΩΩ ，||||1,1,2,j j ϕ== , 120λλ<≤≤,,j λ≤≤ 且lim j j λ→+∞=+∞．可以证明(,)0,i j i j ϕϕ=≠．即{}j ϕ在2()L Ω中是标准正交系.其中||||⋅表示2()L Ω上的范数，(,)⋅⋅表示2()L Ω上的内积.引理3.1.4 (特征函数的性质)特征值问题,|0.ϕλϕϕ∂Ω-∆=⎧⎨=⎩ 有如下结论：1){}j ϕ是10()H Ω中的一组正交完备基，对10()u H ∀∈Ω，(,)j j a u ϕ=，10()1lim ||||0Nj j H N j a u ϕΩ→+∞=-=∑．2){}j ϕ是2()L Ω中的一组标准正交基．对2(),(,)j j u L a u ϕ∀∈Ω=，1j j j a u ϕ∞==∑在2()L Ω成立．3){}j ϕ是210()()H H ΩΩ 中的一组正交基．对u ∀∈210()()H H ΩΩ ，成立21lim ||||0Nj j H N j a u ϕ→+∞=-=∑．证明 对2(),(,)j j u L a u ϕ∈Ω=，记1nn j j j S a ϕ==∑，显然n u S -与n S 在2()L Ω中正交，()n n u u S S =-+， 于是222||||||||||||n n u u S S =-+，由此2222||||||||,||||||||n n S u u S u ≤-≤，而221||||||nn j j S a==∑，所以221||||||j j a u ∞=≤∑ 。