浅析切比雪夫不等式及其在大数定律中的应用

i
如果X P E( X ), 则称{Xn }服从大数定律.
说明：
(1)X P E( X ), 即对 0, lim P{ X E( X ) } 1. n
或表为: 对 0,
lim P{
n
1 n
n i 1
Xi

1 n
n i 1
E(Xi )
}
P( X E( X ) 2) P( X 7 2) 2
( X可取1, 6)
P( X 1) P( X 6) 2 1 63
1时,
D( X ) 35 2
2
P( X E( X ) 1) 12 3
2时,
D( X ) 1 35 35 1
(1)
另一种形式
lim P{
n
Xn
a
}
0
(2) 对N ,n N时,
落在邻域U
(a
,

)外的X
个数有限,测度为0.
n
(3) 设X n P a, Yn P b, 则X n Yn P a b. X n .Yn P a.b, X n / Yn P a / b(b 0)
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400间的概率不小于8/9 .
二、依概率收敛简介
1、数列极限的定义
lim
n
X
n

a

对

0,
N ,
n
N时,
Xn a
n N时, P{ Xn a } 1, 必然事件.
p( A)
核心: X1, X2 , ..., Xn满足什么条件时,

切比雪夫不等式的推广与应用切比雪夫不等式是概率论中一条重要的不等式，它描述了随机变量与其均值之间的关系。

然而，除了在概率论中的应用外，切比雪夫不等式还可以推广到其他领域，并且在实际问题中有着广泛的应用。

本文将围绕切比雪夫不等式的推广和应用展开讨论。

首先，我们来回顾一下切比雪夫不等式的表述。

对于一个随机变量X，其均值为μ，方差为σ^2，那么对于任意一个正数ε，有：P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2/ε^2这个不等式告诉我们，随机变量X偏离其均值的程度与其方差有关，方差越大，偏离的可能性就越大。

但是，这个不等式的应用范围并不仅限于概率论。

在数学分析中，切比雪夫不等式可以推广到一般的测度空间。

对于一个测度空间Ω，其中包含了一个测度μ，以及一个可测函数f:Ω→R，那么对于任意一个正数ε，有：μ({ω∈Ω:|f(ω)-μ(f)| ≥ ε}) ≤ Var(f)/ε^2这个推广的切比雪夫不等式告诉我们，对于一个测度空间中的函数f，其偏离其均值的程度与其方差有关。

这个推广在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在信号处理中，我们经常需要估计一个信号的均值。

由于噪声的存在，我们无法直接得到准确的均值。

这时，我们可以利用切比雪夫不等式来估计均值的范围。

假设我们有一个信号X，其均值为μ，方差为σ^2。

我们对信号进行了N次观测，得到了样本均值X_bar。

根据切比雪夫不等式，我们可以得到以下结论：P(|X_bar-μ| ≥ ε) ≤ σ^2/(Nε^2)这个不等式告诉我们，样本均值与真实均值之间的偏离程度与样本数量N有关。

当我们增加样本数量时，偏离的可能性减小。

这对于信号处理中的估计问题非常有用。

除了在信号处理中的应用外，切比雪夫不等式还可以在数据分析中发挥重要作用。

在数据分析中，我们经常需要对数据进行统计推断。

通过切比雪夫不等式，我们可以估计总体均值的范围。

假设我们有一个总体X，其均值为μ，方差为σ^2。

我们从总体中随机抽取了N个样本，得到了样本均值X_bar。

由切比雪夫大数定律
12
∑ 1
n
n i =1
Xi
P
→
p
即
nA
P
→
p
n
伯努利大数定律表明，当试验次数n充分 大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率 p有较大偏差的概率很小.
伯努利大数定律提供了通过试验来近似 事件概率的方法.
13
定理三 (辛钦大数定律)
设{Xn}为独立同分布r.v. 序列, E(Xn)=µ
(n=1,2,...), 则
∑ X
=
1 n
n i =1
Xi
P→ µ
辛钦
即对任意 ε>0, 有 lim P{| X − µ |< ε } = 1 n→∞
——平均值具有稳定性
推论: 设{Xn}为独立同分布r.v. 序列, E(Xnk)=μk, 则
∑ 1
n
n i =1
X
k i
P→ µ
k
辛钦大数定律为寻找r.v. 的期望值提供了一条实际
n i=1
E ( X i ) |< ε } = 1 ——平均值具有稳定性
9
∑ 证明 记
X
=
1n n i=1 Xi
,则有
( ) ∑ E X
=
1 n
n i =1
E(Xi
)
∑ D( X )
=
1 n2
n i =1
D( X i )
≤
1 n2
⋅
nC
=
C n
利用切比雪夫不等式得
∑ 0
≤
P

X
−
1 n
i
n =1
查表得Φ(1.28) = 0.90. 故 N 应满足条件 N - 10 ≥ 1.28, 3.08

第11讲 切比雪夫不等式与大数定律教学目的：1.使学生理解切比雪夫不等式与大数定律的内涵。

2.使学生会用切比雪夫不等式及大数定律解决实际问题。

教学重点：使学生理解切比雪夫不等式与大数定律的内涵。

教学难点：使学生理解切比雪夫不等式与大数定律的统计意义。

教学学时：2学时 教学过程：第三章 随机变量的数字特征§3.5 切比雪夫不等式与大数定律1.切比雪夫（Chebyshev ）不等式我们知道方差)(X D 是用来描述随机变量X 的取值在其数学期望)(X E 附近的离散程度的，因此，对任意的正数ε，事件ε≥-)(X E X 发生的概率应该与)(X D 有关，而这种关系用数学形式表示出来，就是下面我们要学习的切比雪夫不等式。

定理1 设随机变量X 的数学期望)(X E 与方差)(X D 存在 ，则对于任意正数ε，不等式2)(])([ εεX D X E X P ≤≥- （1）或2)(1])([ εεX D X E X P -≥<- （2）都成立。

不等式（1）和（2）称为切比雪夫不等式。

下面只对连续随机变量情形证明不等式（1）和（2）。

证 设随机变量X 的密度函数为)(x f ，则有⎰≥-=≥-εε)()(])([ X E x dx x f X E X P ≤⎰≥--εε)(22)()]([X E x dxx f X E x222)()()]([1εεX D dx x f X E x =-≤⎰+∞∞-由于ε≥-)(X E X 与ε<-)(X E X 是对立事件，故有2)(1])([1])([ εεεX D X E X P X E X P -≥≥--=<-切比雪夫不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下，只利用X 的数学期望和方差即可对X 的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在9400~5200之间的概率。