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切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理（chebyshev's theorem；切比雪夫不等式），内容为设X是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα（α >0）的数学期望M(Xα)存在，a>0，则不等式成立。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：
任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：
所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了
理论根据．设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果X1，X2，…，Xn是不完全相同的，这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1，X2，…，Xn的试验数值，并且有同一数学期望a。
于是，按大数定理j可知，当n足够大时，下式成立，即切比雪夫定理
设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i=1，2，…)，且D(Xi)<C(i=l，2，…)，则对任意给定的ε>0。
切比雪夫不等式练习题第一章习题一1.4证由切比雪夫不等式及E|?|?0P?1?P?1?nE|?|?1故P?P?limP?1。
n?1n由切比雪夫不等式P?E|?|/n及E|?|??，得P?P与有相同的n阶自协方差矩阵。
故由平稳序列{Xt}的n阶自协方差矩阵退化知，对任给整数k?1，存在非零实向量b?使得 var[Tn?k?1i?k?{|?|?n})?limP?0。
n?1nbi?k?1]?0。
不妨假设bn?0，则有对任给整数k?1，Xn?k可由Xk,Xk?1,?,Xn?k?1线性表出。
对m?n?1，Xn可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，Xn?1可由X2,X2,?,Xn线性表出，故Xn?1可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
假设对所有n?m?n?k，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
则对m?n?k?1，由于Xn?k?1可由Xk?1,Xk?2,?,Xn?k线性表出，由假设，Xn?k?1也可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
根据，，对任何m?n，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，即存在常数a0,a1,?,an?1，使得Xm?a0??aiXn?i,i?1n?1a.s.。
习题四 .3解显然服从二维正态分布，且EXt?EXs?0。
记t?12k?l,s?12m?n,其中0?l?11,0?n?11，则Xt12i?l,Xs12j?n，这里?0?0。
i?0j?0km由于{?t}是正态白噪声WN，故当l?n，即t?s时， ?t,s?cov?0；当l?n?0，即t?s,t?12k 时， ?t,s?cov?min?2?[min2]?； 1212),t?12k时，当l?n?0，即t?s?min?所以2?]?1)?2。
12t,tt,s?~N，其中??T,Σ。
?s,s??t,s??第二章习题二1X2. tt?t?1,Xt??t?a?t?1习题三3. 提示：当{Xt}与{Yt}的特征多项式满足A?B时，是AR序列。
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式的习题…求解答一通讯系统拥有50台相互独立起作用的交换机，在系统运行期间，每台交切比雪夫不等式的习题…求解答一通讯系统拥有50台相互独立起作用的交换机，在系统运行期间，每台交换机能清晰接收信号的概率为0.90，系统工作时，要求能清晰接收信号的交换机至少40台。
估计该通信系统能正常工作的概率。
求用切比雪夫不等式解答…蟹蟹
切比雪夫定理（chebyshev's theorem；切比雪夫不等式），内容为设X 是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设X α（α>0）的数学期望M(Xα)存在，a>0，则不等式成立。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件概率作出估计。
基本定理设随机变量X具有数学期望。
切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理（chebyshev's theorem；切比雪夫不等式），内容为设X 是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设X α（α>0）的数学期望M(Xα)存在，a>0，则不等式成立。
1公式提出编辑19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
2基本内容编辑切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件概率作出估计。
基本定理设随机变量X具有数学期望，方差则对任意正数ε，不等式或成立。
注意：应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。
若对于任意的ε>O，当n很大时，事件“”的概率接近于1，则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a。
正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生。
所以，依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法，记为。
专题06 切比雪夫函数一．考情分析纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。
看似是一道有关二次函数的题目；二次函数的定义域和值域相同。
大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间动轴的问题，然后就进入讨论的误区。
深入讨论，就会发现，计算复杂，讨论纷扰。
最后就是不了了之。
然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。
切比雪夫函数或切比雪夫不等式，在此时的应用，就可以让我们秒解这类题目。
数学的学习，就是要学习数学，领悟数学，秒杀数学。
二．经验分享1.切比雪夫不等式①马尔科夫不等式：()(),(X 0)E X P X αα≥≤≥；②切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况：()21|X |k P k μσ-≥≤()0,k μσ>其中是期望，是标准差. 2. 切比雪夫函数与切比雪夫不等式的意义马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等数学中学习的内容，是概率与统计学中的一个定理。
主要意思：事情的大多会集中在平均值附近或者事情的发生大多在平均值上的概率最大。
也就说，马尔科夫不等式或者切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，既然是估计，就有可能正确，也有可能不正确。
但是按照这两个不等式来看，在概率学的角度上。
发生的概率是最大。
但在高中数学学习初等函数，用这个两个不等式解题，就会有出奇制胜，秒杀的快感。
三、题型分析（一）切比雪夫函数的巧解 例 1.已知函数()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是 ． 【传统解法】【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤ 对称轴为压轴，所以[]1,1a x =∈-，()()R b a b x x f ∈,2+=， 当1x =±，|(1)|=|1+b|1f ±≤,故此次1,b =-12a b +的最大值()111+122⨯-=- 【变式训练】已知函数)0()-2()(2>++=m n x m mx x f ，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则)32(f =【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，也就是对称轴应该是0x =；2=02mx m-=-，解之得：m 2=，2(x)2x f n =+,故此|(1)||2n |1f =+≤恒成立； 故此1n =-,所以2(x)2x 1f =-.91-)32(=∴f .（二）其他类型函数的例2．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.【变式训练1】 【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)数学】已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， ()22g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，则b 的取值范围为A ．[]1,2-B ．37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,42⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， 所以当0x ≥时，()12x f x +=单调递增，故()122x f x +=≥；当0x <时，()()21112x f x x x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，取等号，【变式训2】【高2017级资阳市高三第二次诊断性考试理科数学，12题】已知直线2y x =与曲线(x)ln(ax b)f =+相切，则ab 的最大值为（ ）A.4e B.2eC.eD.2e【答案】C【解析】由题意得：设切点为00(x ,y )A ，因为切点既在直线2y x =上，也在曲线(x)ln(ax b)f =+上，所以得到：002x ln(ax b)=+①；同时求导：'2y =和'ay ax b=+，切点在00(x ,y )A ，故此02a ax b =+②；联立①②得：01ln 22a x ⎛⎫=⎪⎝⎭再带入②整理得：1ln 222a aa b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简：22ln ln 222222a a a a a a b ab ⎛⎫⎛⎫=-⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0a >； 构造函数22(x)ln(),(x 0)222x x x H =->，'1(x)ln ,(x 0)22x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ 故当(0,2x e ∈，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递增； 当()2,x e ∈+∞，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递减。
切比雪夫定理（切比雪夫理论；切比雪夫不等式）的内容是，令x为随机变量，取区间（0，∞）中的值，而F（x）是其分布函数。
如果存在Xα（α> 0）的数学期望M（Xα）并且a> 0，则不等式成立。
在19世纪，俄罗斯数学家切比雪夫（Chebyshev）研究统计定律时，他证明并表达了具有标准偏差的不等式。
这个不等式具有普遍意义，被称为切比雪夫定理。
它的一般含义是：在任何数据集中，其平均值的m个标准偏差内的比例（或部分）始终至少为1-1 / m2，其中m为大于1的任何正数。
对于m = 2，m = 3和m = 5 ，可获得以下结果：●所有数据中至少有3/4（或75％）在平均值的2个标准差之内。
●在所有数据中，至少有8/9（或88.9％）在平均值的3个标准差之内。
●在所有数据中，至少24/25（或96％）在平均值的5个标准差之内。
“概率接近1，则随机变量序列{Xn}在a中被称为概率收敛。
因为它是概率，所以不排除发生小概率事件”。
因此，概率收敛表示关于不确定现象的收敛，写为。
切比雪夫定理令X1，X2，...，Xn，...是独立的随机变量序列，并且数学期望E（Xi）和方差D（Xi）都存在（i = 1，2，…），并且D（Xi）<C（i = l，2，…），那么对于任何给定的ε> 0，有特别是：X1，X2，...，Xn，...是相互独立的随机变量序列，其数学期望为E（Xi）=μ，方差D（Xi）=σ2（i = 1，2，…），则对于任何给定ε> 0，有切比雪夫定理的推论为算术平均值定律提供了理论基础。
假设在恒定条件下重复测量了n次特定的物理量A，则结果X1，X2， (X)并不完全相同。
这些测量结果可以视为n个独立随机变量X1，X2，…，Xn的实验值，并且具有相同的数学期望a。
因此，根据大数定理j，当n足够大时，以下公式成立。
