【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题19 切比雪夫（以切比雪夫为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos cos ()=n nx P x ，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．如由2cos 22cos 1x x =-，知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式对于cos3x ，通过运算，我们可以得到3cos34cos 3cos x x x =-，从而得到cos3x 的切比雪夫多项式．根据已知结论计算sin18︒的值（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】结合诱导公式得到sin36cos54︒=︒，利用题目中的已知条件得到32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，化简整理得到()22sin1841sin 183︒=-︒-，解方程即可. 【详解】因为()sin36sin 9054cos54︒=︒-︒=︒， 所以32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒， 因为cos180︒≠，所以22sin184cos 183︒=︒-，故()22sin1841sin 183︒=-︒-，因为sin180︒>，解得sin18︒= 故选：B.2．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；①已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =；①定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断①，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断①． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-， ①(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确；①设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，①1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，①错； ①由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，①错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．3．切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差 :E 对任意的[,]x m n ∈，函数()()y f x ax b =-+的最大值为E ，即max ()()mx nE f x ax b ≤≤=-+，把使E 取得最小值时的直线y ax b =+叫切比雪夫直线，已知2(),[1,2]f x x x =∈-，有同学估算出了切比雪夫直线中x 的系数1a =，在这个前提下，b 的值为（ ）A ．14B ．1C ．78D ．118【答案】C 【解析】 【分析】令21124t x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，则1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得21212max max x x E x x b t b -≤≤-≤≤=-=--，而t b -的最大值必然在端点处取得，比较14b --与2b -的大小可得答案.【详解】当1a =时，令[]2211,1,224t x x x x ⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭--，则1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以21212max max x x E x x b t b -≤≤-≤≤=-=--，而t b -的最大值必然在端点处取得， 故1max ,24E b b ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，当124b b --≥-得78b ≥时，E 的最大值为1948b --≥，此时使E 取得最小值时78b =，当124b b --<-得78b <时，E 的最大值为2b -，而2b -98>，综上，78b =. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的性质，解题的关键点是对新概念的理解，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及分类讨论的思想.4．由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式，对于cos3x ，我们有()()23cos3cos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1cos 2sin cos sin 4cos 3cos x x x x x x x x x x x x x x=+=-=--=-，可见cos3x 也可以表示为cos x 的三次多项式.一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫()P.L.Tschebyschelf 多项式.（提示：18390182︒⨯=︒-︒⨯）如图，在等腰ABC 中，已知54BAC ∠=︒，AB AC =，且ABC 的外接圆半径1OC =，结合上述知识，可得BC =（ ）A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】表示2sin54BC OB =︒，根据5490218︒=︒-⨯︒，可以得到cos54sin36︒︒，，然后计算得到sin18︒，最后简单计算可得结果. 【详解】记BC 的中点为D ，()()22sin542sin542sin 902182cos 218BC BD OB ==︒=︒=︒-⨯︒=⨯︒，3cos544cos 183cos18︒=︒-︒，3sin364cos 183cos18︒=︒-︒，32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，所以222sin184cos 1831sin 18︒=︒-=-︒即2sin 182sin1810︒+︒-=，由sin180︒>，①sin18︒=①()2212sin 18212BC ⎛=-︒=-= ⎝⎭故选：A5．由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式.一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得()cos cos n nx P x =这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P .L .Tschebyscheff ）多项式.例如()22cos2cos 2cos 1x P x x ==-，记作()2221Pt t =-.利用()3P t 求得sin18︒=（ ）A B 352C D 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的余弦公式及二倍角公式可得3cos34cos 3cos x x x =-，则3cos544cos 183cos18︒=︒-︒，再利用诱导公式及二倍角公式可得()22sin1841sin 183︒=-︒-，再解一元二次方程即可；【详解】解：因为()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()()2232cos 1cos 21cos cos 4cos 3cos x x x x x x =---=-，所以3cos544cos 183cos18︒=︒-︒， 所以3sin36cos544cos 183cos18︒=︒=︒-︒， 所以32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，所以()222sin184cos 18341sin 183︒=︒-=-︒-，所以24sin 182sin1810︒+︒-=，解得sin18︒==sin180︒=<（舍去），所以sin18︒= 故选：A.6．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X 的期望()E X 和方差()D X 存在但其分布末知的情况下，对事件“()X E X ε-”的概率作出上限估计，其中ε为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：()()()(),P X E X f D X εε-，其中()(),f D X ε是关于()D X 和ε的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定()(),f D X ε的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（ ） A ．()2D X ε⋅B ．()21D X ε⋅C ．()2D X ε D ．()2D X ε【答案】D 【解析】 【分析】由题知()()()()22P X E X P X E X εε-=-，计算可得结果.【详解】切比雪夫不等式的形式为：()()()(),P X E X f D X εε-，由题知()()()()()()()22222E X E X D X P X E X P X E X εεεε--=-≤=，则()(),f D X ε的具体形式为()2D X ε.故选：D.7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、 22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ① 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =；① 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>）， 则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】 【详解】设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-,则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，命题①成立；设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q （x ,2x -1），可得(){},max 3,22d P Q x x =--， 由322x x -≥-，解得513x -≤≤，即有(),3d P Q x =-，当53z =时取得最小值43； 由322x x -<-，解得53x >或1x <-，即有(),22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是()443,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无最小值. 综上可得，P ,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43.说法①正确.定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0. (1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c yx c y ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图象可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，命题①正确.综上可得命题①①①均正确，真命题的个数是3. 本题选择D 选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.8．在平面直角坐标系中，定义(){}1212max d A B x x y y =--，，为两点A ()11x y ，、B()22x y ，的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ,称()d P Q ，的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作()d P l ，,给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有()()()d C A d C B d A B +≥，，，； ①已知点P (2,1)和直线:220l x y --=,则()83d P l =，；①定点()()1200F c F c -，、，，动点P ()x y ，满足()()()122220d P F d P F a c a -=，，＞＞，则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点. 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①讨论三点共线和不共线，结合图象与新定义即可判断； ①设点Q 直线:220l x y --=一点，且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论即可得出(),d P l 即可判断；①讨论点P 在坐标轴和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】解：①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y ，如图，结合三角形的相似可得(,)d C A ,(,)d C B ,(,)d A B 分别为AN ,CM ,AK 或CN ,BM ,BK ， 则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +=；若B ,C 或A ,C 对调，可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +>； 若它们不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；则对任意的三点A ，B ，C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； 故①正确；①设点Q 直线:220l x y --=一点，且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由222x x -≤-，解得803x ≤≤，即有(),22x d P Q =-，当83x =时，取得最小值23；由222x x ->-，解得0x <或83x >，即有(),2d P Q x =-， (,)d P Q 的范围是()222,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无最值， 综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23， 故①错误；①定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足()()()122220d P F d P F a c a -=，，＞＞， 可得P 不y 轴上，P 在线段12F F 间成立， 可得()2x c c x a +--=，解得x a =，由对称性可得x a =-也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足()()122d P F d P F a -=，，即为2x c y a +-=，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数）有且仅有2个公共点， 故①正确；∴真命题的个数是2， 故选：C ． 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．9．在平面直角坐标系中，定义{}1212max ,(,)d x x y A y B =--为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，并对于点P 与直线l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给定下列四个命题：1p ：对于任意的三点A ，B ，C ，总有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；2p ：若点()3,1P ，直线:210l x y --=，则()4,3d P l =； 3p ：满足()(),0d O M C C =>的点M 的轨迹为正方形；4p ：若点1(,0)F c -，()2,0F c ，则满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-的点M 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点；则其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ①设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，讨论|3|x -，|22|x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值； ①运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；①讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，如图，结合三角形的相似可得(,)d C A ，(,)d C B ，(,)d A B为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则(d C ，)(A d C +，)(B d A =，)B ； 若B ，C 或A ，C 对调，可得(d C ，)(A d C +，)(B d A >，)B ；若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，(d C ，)(A d C +，)(B d A ≥，)B ；则对任意的三点A ，B ，C ，都有(d C ，)(A d C +，)(B d A ≥，)B ；故①正确； 设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -， 可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，由|3||22|x x --，解得513x -，即有(,)|3|d P Q x =-，当53x =时，取得最小值43；由|3||22|x x -<-，解得53x >或1x <-，即有(,)|22|d P Q x =-，(,)d P Q 的范围是()443,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无最值， 综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故①正确；①由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于C 的点设为(),x y ，则{},max x y C =， 若||||y x ，则||y C =；若||||y x <，则||x C =，故所求轨迹是正方形，则①正确； ①定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足|(d P ，1)(F d P -，2)|2(220)F a c a =>>， 可得P 不y 轴上，P 在线段12F F 间成立， 可得()2x c c x a +--=，解得x a =，由对称性可得x a =-也成立，即有两点P 满足条件； 若P 在第一象限内，满足|(d P ，1)(F d P -，2)|2F a =，即为2x c y a +-=，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数）有且仅有2个公共点． 故①正确；综上可得，真命题的个数为4个， 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于对新定义“切比雪夫距离”的理解，“切比雪夫距离”即是两点横坐标之差绝对值与纵坐标之差绝对值中的最大值；理解新定义的基础上，结合曲线与方程的有关性质，即可求解.10．在平面直角坐标系中,定义(){}1212,max d A B x x y y =--，为两点()()1122,,A x y B x y 、的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ,称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作(),d P l ，给出下列四个命题: ①对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；①已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则()43d P l =，；①到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①【答案】D 【解析】 【分析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ①设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，讨论|3|x -，|22|x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值； ①根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假. 【详解】① 对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，如图，结合三角形的相似可得(,)d C A ，(,)d C B ，(,)d A B 为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +；若B ，C 或A ，C 对调，可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +； 若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，(,)(,)(,)d C A d C B d A B +；则对任意的三点A ，B ，C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +，故①正确； ①设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -， 可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，由|3||22|x x --，解得513x -，即有(,)|3|d P Q x =-，当53x =时，取得最小值43；由|3||22|x x -<-，解得53x >或1x <-，即有(,)|22|d P Q x =-，(,)d P Q 的范围是4(,)3+∞，无最值；综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43；故①正确；①由题，到原点O 的“切比雪夫距离”的距离为1的点(),P x y 满足(){},max ,1d O P x y ==，即,1,x y x ⎧≥⎪⎨=⎪⎩或,1,x y y ⎧<⎪⎨=⎪⎩，显然点P 的轨迹为正方形，故①正确； 故选：D 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．11．在平面直线坐标系中,定义(){}1212max d A B x x y y =--，，为两点()()1122A x y B x y ，、，的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q,称()a P Q ，的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作()d P l ，，给出下列四个命题:（ ） ①对任意三点A 、B 、C ，都有()()()d C A d C B d A B +≥，，，； ①已知点P (3,1)和直线:210l x y --=，则()43d P l =，；①到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；①定点()()1200F c F c -，、，，动点()P x y ，满足()()()122220d P F d P F a c a -=，，＞＞，则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ①设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，讨论|3|x -，|22|x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值； ①运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；①讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】解：①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，如右图，结合三角形的相似可得(,)d C A ，(,)d C B ，(,)d A B为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则(d C ，)(A d C +，)(B d A =，)B ； 若B ，C 或A ，C 对调，可得(d C ，)(A d C +，)(B d A >，)B ；若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，(d C ，)(A d C +，)(B d A ，)B ；则对任意的三点A ，B ，C ，都有(d C ，)(A d C +，)(B d A ，)B ；故①正确； 设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -， 可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，由|3||22|x x --，解得513x -，即有(,)|3|d P Q x =-，当53x =时，取得最小值43；由|3||22|x x -<-，解得53x >或1x <-，即有(,)|22|d P Q x =-，(,)d P Q 的范围是(3，4)(3+∞⋃，4)(3+∞=，)+∞．无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故①正确；①由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于1的点设为(),x y ，则{},1=max x y ， 若||||y x ，则||1y =；若||||y x <，则||1x =，故所求轨迹是正方形，则①正确； ①定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足|(d P ，1)(F d P -，2)|2(220)F a c a =>>， 可得P 不y 轴上，P 在线段12F F 间成立， 可得()2x c c x a +--=，解得x a =，由对称性可得x a =-也成立，即有两点P 满足条件； 若P 在第一象限内，满足|(d P ，1)(F d P -，2)|2F a =，即为2x c y a +-=，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数）有且仅有2个公共点． 故①正确；综上可得，真命题的个数为4个， 故选:A .【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．12．在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y ，()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥； ①已知点()3,1P 和直线l ：210x y --=，则()4,3d P l =； ①到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.其中正确的命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C 【解析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ①设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，讨论|3|x -，|22|x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值； ①设定点(0,0)M ，且相等距离为1，从而可判断出命题的真假. 【详解】① 对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，如图，结合三角形的相似可得(,)d C A ，(,)d C B ，(,)d A B 为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +；若B ，C 或A ，C 对调，可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +； 若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK 或矩形BMNK ， (,)(,)(,)d C A d C B d A B +；则对任意的三点A ，B ，C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +，故①正确； ①设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -， 可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，由|3||22|x x --，解得513x -，即有(,)|3|d P Q x =-，当53x =时，取得最小值43；由|3||22|x x -<-，解得53x >或1x <-，即有(,)|22|d P Q x =-，(,)d P Q 的范围是4(3,)(,)3+∞+∞⋃，无最值；综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43；故①正确；①假设定点(0,0)M ，到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等且距离为1的点为(,)Q x y ，则到定点(0,0)M 的距离为1的点Q 的轨迹为单位圆；到M 的“切比雪夫距离”的距离为1的点Q ，所以(){},max ,1d M Q x y ==，即,1,x y x ⎧≥⎪⎨=⎪⎩或,1,x y y ⎧≤⎪⎨=⎪⎩显然点Q 的轨迹为正方形，所以只有四个点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--符合要求，故①错误；故选：C 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 二、多选题13．由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个*()n n ∈N 次多项式2012012,),((),,=+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅∈nn n n P t a a t a t a t a a a a R ，使得cos cos ()=n nx P x ，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff ）多项式．则（ ）A ．3343()=-P t t tB ．当3n ≥时，00a =C ．1222+++⋅⋅⋅+≤n a a a aD ．sin18︒=【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目定义以及二倍角公式即可判断A 正确，令2x π=，可得0cos2n a π=，可判断出B 错误，令0x =可得011++⋅⋅⋅+=n a a a ，结合00,1=±a 可判断出C 正确，根据二倍角公式可知sin18︒=D 正确． 【详解】因为32cos3cos2cos sin 2sin 2cos cos 2sin cos =-=--x x x x x x x x x ，所以()323cos32cos cos 21cos cos 4cos 3cos =---=-x x x x x x x ，即3343()=-P t t t ，故选项A 正确；令2x π=，则cos02==t π，则0cos2n a π=，则00,1=±a ，即选项B 错误；令0x =，则cos 1t x ==，可得011++⋅⋅⋅+=n a a a ，所以10,1,2+⋅⋅⋅+=n a a ，则选项C 正确；设sin18︒=x ，则()222cos722cos 3612121=︒=︒-=--x x ，将x =入，方程成立，即选项D 正确． 故选：ACD ．14．由倍角公式cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ①N *)多项式使得Pn (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋antn (a 0，a 1，a 2，…，an ①R )，使得cos nx (cos )=n P x ，这些多项式Pn (t )称为切比雪夫(P ．L ．Tschebyscheff )多项式．则（ ） A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，00a =C ．12341a a a a +++=D ．sin18?=【答案】AD 【解析】 【分析】根据题目定义以及二倍角公式即可判断A 正确，令2x π=，可得0cos2n a π=，可判断出B 错误，令0x =可得011++⋅⋅⋅+=n a a a ，结合00,1=±a 可判断出C 错误，根据二倍角公式可知sin18︒=D 正确． 【详解】因为32cos3cos2cos sin 2sin 2cos cos 2sin cos =-=--x x x x x x x x x ，所以()323cos32cos cos 21cos cos 4cos 3cos =---=-x x x x x x x ，即3343()=-P t t t ，故选项A 正确； 令2x π=，则cos02==t π，则0cos2n a π=，则00,1=±a ，即选项B 错误； 令0x =，则cos 1t x ==，可得011++⋅⋅⋅+=n a a a ，由B 知00,1=±a ，所以选项C 错误；因为cos54sin36︒=︒，所以()cos 3182sin18cos18⨯︒=︒︒， 由A 可得34cos 183cos182sin18cos18︒-︒=︒︒，而cos180︒>，故24cos 1832sin18︒-=︒即24sin 182sin1810︒+︒-=，所以sin18︒=D 正确． 故选：AD ．15．由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒=【答案】BC 【解析】 【分析】通过求cos3,cos 4,cos5x x x ，来判断出正确选项. 【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-，所以()3343P t t t =-，A 错误.()()222222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+-- 428cos 8cos 1x x =-+，所以()424881P t t t =-+，B 正确.()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=-()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos 2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+-- ()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.所以()53cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=，由于cos180︒≠，所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=，由于cos18cos30︒>︒，所以223cos 18cos 304︒>︒=，所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=所以sin18︒，C正确. 2=≠⎝⎭，所以D 错误. 故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简. 三、填空题16．切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差E ：对任意的[],x m n ∈，函数()()y f x ax b =-+的最大值为E ，即()()max E f x ax b =-+.把使E 取得最小值时的直线y ax b =+叫切比雪夫直线，已知()2f x x =，[]1,2x ∈-，有同学估算处了切比雪夫直线中x 的系数1a =，在这个前提下，b 的值为___________. 【答案】78【解析】 【分析】根据新定义，结合绝对值的三角不等式，即可求解. 【详解】当1a =时，令221124t x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[]1,2x ∈-，可得1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故2max max E x x b t b =--=-，而t b -的最大值必然在端点处取到，故1max 4E b =--，1111922224248b b b b b ⎛⎫⎛⎫-≥--+-≥---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当124b b --=-，且14b --与2b -异号，即78b =时取等号.故答案为：7817．以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff ，1821-1894）的名字命名的第一类切比雪夫多项式()n T x 和第二类切比雪夫多项式()n U x ，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的特殊函数．()n T x 有许多良好的结论，例如：①()1T x x =，()2221T x x =-，对于正整数3n ≥时，有()()()122n n n T x x T x T x --=⋅-成立，①R θ∀∈，()cos cos n T n θθ=成立．由上述结论可得()4cos18T ︒的数值为______．【解析】 【分析】根据已知条件和余弦的三倍角公和二倍角公式，再利用两角互余及诱导公式， 再结合同角三角函数的平方关系及一元二次方程的解法即可求解. 【详解】由题意()4cos18cos72sin18T ︒==︒︒，()33cos18cos544cos 183cos18T =-︒=︒︒︒，又cos54sin362sin18cos18==︒︒︒︒， 故32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，因为cos180︒≠，所以222sin184cos 18314sin 18︒︒=-=-︒， 即24sin 182sin1810︒+︒-=，解得sin18︒=sin18︒=sin180,sin18︒>∴︒=，所以()4cos18cos 72sin18T ︒︒=︒==18．在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出四个命题，正确的是________. ①对任意三点A 、B 、C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥； ① 到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形； ① 已知点()3,1P 和直线:210l x y --=，则()4,3d P l =； ① 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a -=>>，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点. 【答案】①①①① 【解析】 【分析】①讨论A 、B 、C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ①运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；①设点Q 是直线21y x =-上一点，且点(),21Q x x -，可得(){},max 3,22d P Q x x =--，讨论3x -和22x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值； ①讨论点P 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断. 【详解】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ， 如下图，结合三角形相似可得(),d C A AN =或CN ，(),d C B CM =或BM ，(),d A B AK =或BK ，则()()(),,,d C A d C B d A B +=；若B 、C 或A 、C 对调，可得()()(),,,d C A d C B d A B +>；若A 、B 、C 不共线，且ABC ∆中C 为锐角或钝角，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，()()(),,,d C A d C B d A B +≥；则对任意的三点A 、B 、C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥，命题①正确；①到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为{}max ,1x y =，若y x ≥，则1y =； 若y x <，则1x =，故所求轨迹是正方形，命题①正确；①设点Q 是直线21y x =-上一点，且(),21Q x x -，可得(){},max 3,22d P Q x x =--， 由322x x -≥-，解得513x -≤≤，即有(),3d P Q x =-. 当53x =时，(),d P Q 取得最小值43；由322x x -<-，解得1x <-或53x >，即有(),22d P Q x =-，(),d P Q 的取值范围是()443,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无最值， 所以，P 、Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43，命题①正确；①定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y ，满足()()()12,,2220d P F d P F a c a -=>>， 可得P 不在y 上，P 在线段12F F 间成立，可得()2x c c x a +--=，解得x a =. 由对称性可得x a =-也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足()()12,,2d P F d P F a -=，即为2x y c a -+=，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，命题①正确. 故答案为：①①①①. 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算求解能力和推理能力，属于难题. 四、双空题19．任何一个复数i z a b =+（i 为虚数单位，,R a b ∈）都可以表示为(cos si )i n z r θθ=+(0,R)θ≥∈r 的形式，通常称之为复数z 的三角形式.瑞士著名数学家欧拉首先发现i cos isin e θθθ+=（e 为自然对数的底数），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.因此可得i (cos isin )e cos θθθ+==n n isin θθ+n n .由复数相等可知对:N *∀∈n ，存在一个关于t 的n 次多项式()111001(),,,R --=++⋯++⋯∈n n n n n n P t a t a ta t a a a a 使得cos cos ()=n nx P x ，这样的多项式被称为“切比雪夫多项式”，由2cos 22cos 1x x =-知22()21=-P t t ，则3()=P t ___________；运用探求切比雪夫多项式的方法可得cos36︒=___________.【答案】 3343()=-P t t t 1cos364+= 【解析】 【分析】根据3cos34cos 3cos t t t =-以及“切比雪夫多项式”即可求解出3()P t ；利用33(cos )cos34cos 3cos P t t t t ==-，代入cos36t =即可求解.【详解】()()22cos3cos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1cos 2sin cos t t t t t t t t t t t =+=⋅-⋅=-⋅-⋅ ()()2232cos 1cos 21cos cos 4cos 3cos t t t t t t =-⋅--⋅=-，所以3343()=-P t t t ，取cos36t =，则()()()33(cos36)4cos363cos36cos 336cos72P =-=⨯=-︒， 所以()()()324cos363cos362cos361-+-=()()324cos364cos362cos36cos3610-++-=，所以()()2cos3614cos 362cos3610+--=，则24cos 362cos3610--=且cos360>，解得：1cos364+=. 故答案为：3343()=-P t t t ，1cos364+= 五、解答题20．由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()()22cos 1cos 2sin cos sin x x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x =-．可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()4P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff ）多项式．请尝试求出()n P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ．利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．（提示：31890218⨯=︒-⨯︒︒）【答案】42cos 48cos 8cos 1x x x =-+，sin18︒=【解析】 【分析】两次使用二倍角公式，即可得到cos4x ．利用sin36cos54︒=︒，可得32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，解方程求出sin18︒的值．【详解】解：22242cos4cos(22)2cos 212(2cos 1)12(4cos 4cos 1)1x x x x x x =⋅=-=--=-+- 428cos 8cos 1x x =-+．即42cos 48cos 8cos 1x x x =-+sin36cos54︒=︒，32sin18cos184cos 183cos18∴︒︒=︒-︒，22sin184cos 183∴︒=︒-24sin 182sin1810∴︒+︒-=，∴sin18︒=sin18︒．21．在平面直角坐标系中，设点()111,P x y ，()222,P x y ，(){}121212,max ,d P P x x y y =--（其中max{,}a b 表示a 、b 中的较大数）为1P 、2P 两点的“切比雪夫距离”.（1）若()3,1P ，Q 为直线21y x =-上动点，求P 、Q 两点“切比雪夫距离”的最小值； （2）定点()00,C x y ，动点(),P x y 满足(,)d C P r =(0)r >，请求出P 点所在的曲线所围成图形的面积.【答案】（1）43；（2）24r【解析】 【分析】（1）设(),21Q x x -，可得(){},max 3,22d P Q x x =--，讨论3,22x x --的大小，可得距离d ，再结合函数的性质求最小值即可；（2）运用分段函数的形式求得(),d C P ，分析各段与不等式表示的平面区域的图形，即可求得面积. 【详解】解：（1）设(),21Q x x -，可得(){},max 3,22d P Q x x =--， 由322x x -≥-，解得513x -≤≤，即有(),3d P Q x =-，则当53x =时，(),d P Q 取最小值43； 由322x x -<-，解得1x <-或53x >，即有(),22d P Q x =-，即()54,2233d P Q >-⨯=， 综上可得：P 、Q 两点“切比雪夫距离”的最小值为43；（2）由题意可得()000000,,,x x x x y y d C P r y y x x y y ⎧--≥-⎪==⎨--<-⎪⎩ ， 当000,x x y y x x r -≥--=，即有0x x r =±， 则围成的图形为关于点00(,)x y 对称的三角形区域， 当000,x x y y y y r -<--=，即有0y y r =±， 则围成的图形为关于点00(,)x y 对称的三角形区域，综上可得，P 点所在的曲线所围成图形为边长为2r 的正方形区域，则该区域面积为22(2)4r r =，故P 点所在的曲线所围成图形的面积为24r .【点睛】本题考查了对新定义的理解，重点考查了分段函数的最值的求法，属中档题. 22．在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥； （2）已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，求(,)d P l ；（3）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =（0r >），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）4(,)3d P l =；（3）24S r =.【解析】（1）利用新定义，证明A 、B 、C 三点间的“切比雪夫距离”，满足的不等式即可； （2）设点Q 是直线:210l x y --=上一点，且(,21)Q x x -，可得{}(,)max 3,22d P Q x x =--，讨论3,22x x --的大小，可得距离d ，再由函数的性质，求得最小值；（3）运用新定义，求得点的轨迹图形，计算图形的图积即可 【详解】（1）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则{}{}13133232133212(,)(,)max ,max ,d A C d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-，同理可得12(,)(,)d A C d C B y y +≥-，所以{}1212(,)(,)max ,(,)d A C d C B x x y y d A B +≥--=， （2）解：设(,21)Q x x -为直线:210l x y --=上一点，则{}(,)max 3,22d P Q x x =--，由322x x -≥-，解得513x -≤≤，即有(,)3d P Q x =-，当53x =时，取得最小值43； 由322x x -<-，解得53x >或1x <-，即有(,)22d P Q x =-，(,)d P Q 的范围是44(3,)(,)(,)33+∞+∞=+∞，无最大值， 综上可得，,P Q 两点的最小值为43， 所以4(,)3d P l =；（3）解：设轨迹上动点为(,)P x y ，则{}00(,)max ,d C P x x y y r =--=， 等价于000x x r y y x x ⎧-=⎪⎨-≤-⎪⎩或000x x y y y y r ⎧-≤-⎪⎨-=⎪⎩，所以点(,)P x y 的轨迹是以00(,)C x y 为中心，边长为2r 的正方形， 所以点P 所在的曲线所围成图形的面积为24r 【点睛】关键点点睛：此题考查新定义的理解和运用，解题的关键是正确理解新定义，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，注意两种距离区别与联系，考查运算能力和推理能力，属于难题。
