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插值型求积公式及其之间的比较

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摘要 在实际应用中,常常会遇到积分制的计算,插值法是常见的求积分方法.牛顿-柯特斯与高斯型求积公式是两种不同的插值法.前者是等距节点下的求积公式,后者是非等距节点下的积分公式.牛顿-柯特斯求积公式是计算低阶积分的方法,而高斯型求积公式是计算高阶积分的方法. 梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式是最简单的牛顿-柯特斯求积公式.公式的导出及其分类,余项,代数精度,收敛性与稳定性,及其几何意义,这些都是本课题重点介绍的内容.而高斯型求积公式中主要介绍常用的高斯型求积公式,不同的区间,不同的权函数导致高斯点和高斯系数的不同,从而形成不同的公式,其中重点讲解了高斯-勒让德求积公式. 关键词 余项;梯形求积公式;辛普森求积公式;流程图;代数精度

目录 引言 ................................................................... 1 第一章 牛顿-柯特斯公式 ................................................. 2 §1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念 ................................. 2 §1.2 N-C公式 .................................................. 4 §1.2.1 公式的导出 ........................................... 4 §1.2.2 梯形求积公式 ......................................... 5 §1.2.3 辛普森求积公式 ....................................... 5 §1.2.4 柯特斯求积公式 ....................................... 7 第二章 高斯型求积公式 ................................................. 10 §2.1 高斯型求积公式的有关定义 ................................. 10 §2.2 利用正交多项式构造高斯求积公式 ........................... 12 §2.3 高斯-勒让德公式的详细总结 ................................ 13 §2.4 插值型求积公式之间的比较 ................................. 11 参考文献 .............................................................. 16 附录A ................................................................. 17 附录B ................................................................. 18 附录C ................................................................. 19 1

引言 在工程上的实际计算中想利用求原函数的方法来求定积分常会遇到困难.这是因为工程上的被积函数)(xf有时比较复杂,求原函数十分困难或者根本找不到可用初

等函数表示的原函数,有时我们甚至还无法知道被积函数)(xf的解析表达式,而只知道一组对应的离散数据.因此就要利用计算机进行数值计算,以确定定积分的值,这就是数值积分.

数值积分最有效的算法是插值型求积公式. 插值型求积公式分为两类,一类是等距节点下的求积公式;另一类是非等距节点下的求积公式.前者包括梯形求积公式,普森求积公式,柯特斯求积公式;后者包括高斯型求积公式. 插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一.梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成立的;辛普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的;柯特斯求积公式对所有次数不超过5 多项式是准确成立的.此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.由于龙格现象存在,不难得知,牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性.稳定性和收敛性可知,数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式.而高斯型求积公式是最高代数精度的插值型求积公式.使用高斯型求算例中积分,数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化. 本课题最要介绍插值型求积公式的区别,即等距节点下牛顿-柯特斯公式与非等距节点下的高斯型求积公式的比较,包括余项,代数精度的比较,收敛性与稳定性的对比.第一章介绍牛顿-柯特斯的相关知识,而第二章介绍高斯型求积公式的有关知识.第三章详细讲述等距节点下的公式与非等距公式的比较. 2

第一章 牛顿-柯特斯公式 借助插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式.一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式.本章主要介绍等距节点下的插值型求积公式,即低阶NC公式.低阶NC公式是很有代表性的插值型求积公式.公式的导出,余项的计算,代数精度的证明都将是本章要求掌握的知识.

§1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念

定义1.1 依据积分中值定理,()()()bafxdxbaf,就是说,低为ba而高为的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积.

取[,]ab内若干个节点kx处的高度()kfx,通过加权平均的方法射年工程平均高度()f,这类求积公式称机械求积公式

0()()nbkkakfxdxAfx

式中kx称为求积节点,kA称为求积系数. 定义1.2 由插值理论可知,任意函数()fx给定一组节点01naxxxb后,可用一n次多项式()nPx对其插值,即()()()nnfxPxRx,因此 ()()()bbbnnaaafxdxPxdxRxdx.

当()nPx为拉格朗日插值多项式时,即0()()()nnkkkPxlxfx,则 (1)111()()()()()(1)!(())()[]()[]nnbbbkkaaaknbkknaknkknkffxdxlxfxdxxdxnlxdxfxRfAfxRf













 3

其中 011011()()()()()()()()()bbkknkkaakkkkkknxxxxxxxxAlxdxdxxxxxxxxx









(1)()[]()(1)!nbnafRfxdxn

通常称为插值型求积公式. 定义1.3 如果求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立.但对于1m

的多项式不能准确成立,则称该公式具有m次代数精度

说明： )a若机械求积公式的代数精度0,m则有0niiAba.

)b若机械求积公式的代数精度为m,即当()1,,,mfxxx时有

0()()nbiiaifxdxAfx

则对任意次数不超过m的k次多项式(),kPxkm有

0()()nbkikiaiPxdxAPx

)c代数精度的高低,从一侧面反应求积公式的精度高低.

定义1.4 在求积公式0()()nbkkakfxdxAfx中,若00lim()()nbkkankhAfxfxdx其中

11max()iiinhxx

,则称求积公式是收敛的.

定义1.5对任给0,若0,只要|()|(0,1,,),kkfxfkn就有

00|()|nnkkkkkkAfxAf

则称求积公式是稳定的. 4

注：由于计算()kfx可能有误差,实际得到kf,即.()kkkfxf §1.2 N-C公式 §1.2.1 公式的导出 设区间[,]abn等分,步长bahn,取等分点kx够造出的插值型求积公式（其中,0,1,,kxakhkn）

()0()()nnnkkkIbaCfx



称作n阶牛顿-柯特斯公式. 其中()nkC为柯特斯系数

()00(1)()*!()!iknknnnkiCtidtnknk





()011011000()()()()()()()()()()((1))((1))()((1))((1))()()(1)()*!()!ikbnkka

bkknakkkkkknxathnnknnibaClxdxxxxxxxxxdxxxxxxxxxttktktnbadtkkkkkknnbatidtnknk



















表1-1 柯特斯公式的系数 n ()nkC

1 12 12 2 16 23 16 3 18 38 38 18

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高斯求积公式

高斯求积公式


定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析：“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明：取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x)，
q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0，
k 0
由于左端等于0，即( n1 ( x)，q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式，
则 x（k k 0，1， ，n）是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx
由
b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))
不同插值方法的数值比较

不同插值方法的数值比较

double Q = 1.03, FNiuDun = 0, FAmiTe = 0, Real;
for (int i = 0; i < 2; i++)
{
Y[i] = 3 * X[i] * Math.Exp(X[i]) - Math.Exp(2);
M[i] = 3 * Math.Exp(X[i]) + 3 * X[i] * Math.Exp(X[i]);
}
}
}
}
四、算例、应用实例
牛顿插值法适用于多个节点，而三次埃尔米特插值只适用于两个节点，但是精度比较高，一般用于求解不容易求到的函数值，如以下这一例题：
设 ，利用三次埃尔米特插值多项式和牛顿插值多项式计算f(0.33)并和真值比较。
使用mathematica，我们得到
，下面我们分别使用牛顿插值和三次埃尔米特插值来求f(0.33)
}
AFa[0] = (1 + 2 * (Q - X[0]) / (X[1] - X[0])) * Math.Pow((Q - X[1]) / (X[0] - X[1]), 2);
AFa[1] = (1 + 2 * (Q - X[1]) / (X[0] - X[1])) * Math.Pow((Q - X[0]) / (X[1] - X[0]), 2);
{
case "a": jisuan.ChaZhi();
break;
}
}
}
public class ChaZhiJiSuan
{
public void ChaZhi()
{
double[] X = { 1, 1.05 }, Y = { 0, 0 }, M = { 0, 0 }, AFa = { 0, 0 }, BeiTa = { 0, 0 };
高斯求积公式

高斯求积公式


总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
n
证明： 时代入公式， 证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得 ，
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式， 个待定系数 变元),要想如上方程组有唯一解 个待定系数(变元 要想如上方程组有唯一解， 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 程组中方程的个数等于变元的个数 即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是 数精度至少是 下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定 ，b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为 个未知 如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知 中求积节点 如下 ≤ 上式成为 元线性方程组， 时方程组有唯一解 有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要 元线性方程组 此时要r=n 时方程组有唯一解 、 x1 A1 + x2 A2+ ……
【免费下载】几种插值法的应用和比较

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l
k i0,i
j
x xi x j xi
(x x0 ) (x x j1 ) (x x j1 ) (x xk ) ， (x j x0 ) (x j x j1 ) (x j x j1 ) (x j xk )
拉格朗日基本多项式 li x的特点是在 x j 上取值为 1，在其它的点 xi ， i j 上取值为 0.
这就是拉格朗日基本多项式.
唯一性
次数不超过 k 的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过 k 的拉格朗日多 项式： p1 和 p2 ，它们的差 p1 p2 在所有 k 1个点上取值都是 0 ,因此必然是多项式
(x x0 )(x x1 )(x xk ) 的倍数.因此，如果这个差 p1 p2 不等于 0 ，次数就一定不小于
k 1.但是 p1 p2 是两个次数不超过 k 的多项式之差，它的次数也不超过 k ，所以
p1 p2 0 也就是说 p1 p2 .这样就证明了唯一性.
1.3 性质
第 3 页 共 11 页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。