Newton-cotes

7.1 牛顿-科特斯求积公式

x0
x1
C0(1)
1 1 0!1!
1
(t 1)dt
0
1 2
故求积系数A0, A1为
C1(1)
1 tdt 1
0
2
A0
A1
b
2
a
求积公式为
计算方法
b a
f ( x)dx
(b a) ( 2
f (a)
f (b))
R1[
f]
记
T b a [ f (a) f (b)] 2
-----梯形求积公式
1 sin x dx 1 0 ( f (0) 4 f (0.5) f (1)) 0.946146
0x
6
利用柯特斯公式得：
1 sin x dx
0x
1 0 (7 f (0) 32 f (0.25) 12 f (0.5) 32 f (0.75) 7 f (1)) 90
注：不难验证，若求积公式对1，x, x2, xn均准确成立，则其对任意次数 n的多项式准确成立。
例1 考察求积公式
计算方法
1
1
f (x)dx
1f
2
(1)
2
f
(0)
f
(1)
的代数精度。
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等,
再将f(x)=x2代入公式
( 1)( nk ) k!(n k)!
nn
(t i)dt
0 i0
Cotes系数
C
( k
n
)
ik
k 0,n
则有：
计算方法
Ak
b a
lk
(

newton-cotes公式

newton-cotes公式
Newton-Cotes 公式是一种数值积分方法，用于近似计算函数的
定积分。

在这个公式中，我们将定积分的区间划分成若干小区间，然
后在每个小区间上使用一个插值多项式来代替原函数。

这样，我们可
以通过求解这些插值多项式的定积分来近似计算原函数的定积分。

Newton-Cotes 公式可以用来计算不同阶数的插值多项式的定积分。

其中最简单的形式是梯形法则，通过将定积分区间划分成两个小
区间，然后在每个小区间上使用线性插值来计算定积分。

更高阶的 Newton-Cotes 公式包括 Simpson 法则和龙贝格-柯朗
尼法则。

这些公式使用更高次的插值多项式来近似计算定积分，从而
提高精度。

然而，Newton-Cotes 公式也有其限制。

随着小区间数量的增加，插值多项式的阶数也会增加，从而使得计算定积分所需的计算量增加。

此外，当函数在某些小区间上变化较大时，使用插值多项式可能会导
致较大的误差。

总之，Newton-Cotes 公式是一种常用的数值积分方法，适用于
近似计算函数的定积分。

通过选择合适的插值多项式阶数和定积分区
间划分方式，我们可以根据需要在精度和计算效率之间进行权衡。

newton-cotes 公式

newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。

不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷：求积方法的缺陷求积方法的缺陷：从余项公式可以看出，从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精增加节点个数必须增加节点个数，而节点个数的增加，度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致现象；（1）插值多项式出现）插值多项式出现Runge现象；现象数值稳定性不能保证。（（2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（）数值稳定性不能保证。（n>7））
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )

计算方法牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式

k 0 (n) k
n
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
k 0
C
n
k
1
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a）由关系：得：
Ck
k
1 Ak b a
n
k 0
C
n

k 0

1 1 Ak b a b a

b
a
f(x)dx
ba 7f(x 0 ) 32f(x1 ) 12f(x2 ) 32f(x3 ) 7f(x 4 ) 90
7/90
16/45
2/15
16/45
7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
8 R 4 (f) 945
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分
别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特
斯公式。

b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
k 0 (n) k
n
(1) 梯形公式（是插值型求积公式）当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
定理的证明从略。
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
当b-a>4时，误差较大； b-a<4时，误差较小
7
总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积公式的统一计算公式。

计算方法-4.5 Newton-cotes公式的精度

并不知道，虽然有时可以通过给出高阶导数的一个上界的方法来估计截断误差的上界，但有时却很困难。所以一般实际计算中都采用事后估计误差的近似方法。
事后估计误差近似方法的思路：计算积分时，将被积区间逐次分半，比较连续两次计算值来判断计算精度。
2020/4/5
18
（1）对复合辛普森公式，假定[a,b]分成n个子区间
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3时，求积公式
b f (x)dx (b a) [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
仍精确成立。
2020/4/5
4
分析 f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3
(
)
(b a) 12
h2
f
()
即为复合梯形公式的截断误差估计
2020/4/5
14
4. 复合辛普森公式
辛普森公式的截断误差为
R[ f ] (b a)5
f
(4)
令h ba 2
()
h5
f (4) ()
2880
90
对复合辛普森公式，将上式应用于每个小区间，得
RN [ f
]
h5 [ f 90
(4) (1)
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
b
求积公式近似到 f (x)dx的程度，即求积公式的精度？ a
§ 4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项
由多项式代替函数
f (x) Pn (x) Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!

等距节点的牛顿柯特斯公式.

§8-4 等距节点的牛顿—柯特斯公式
一、公式推导
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式设函数f (x) C[a,b] 将积分区间[a,b]分割为n等份
各节点为 xi a ih , i 0,1,, n 其中h b a 为步长 n
n
In In (b a) Ck(n) k k 0
n
(b a) Ck(n) k 0
max{| k|}
若 k n , Ck(n) 0,有
n
n
In In (b a)
C(n) k
(b a)
C(n) k

1
k 0
k 0

a
,
x1

b
2
a
, x2

b
,h

b
2
a
Cotes系数为
C0( 2 )

1 4
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1( 2 )

1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
于是
C2(2)

1 4
2
(t 1)tdt
0
1 6
b a
f (x)dx (b a)
[
a
,
b]的节点
x
的划分有关
j
,与函数
f
(
x
)无关
其值可以精确给定
因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由函数值f (xk )的计算引起
只需讨论 f (xk )的舍入误差对公式的影响假设f (xk )为精确值,而以f (xk )作为f (xk )的近似值(计算值)

Newton-Cotes求积公式

Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的插值方法有不同的基函数, 不同的表示形式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有

b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx

x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )

b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1

Newton-Cotes求积公式

n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )

4.2牛顿-柯特斯公式

函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5

newton-cotes求积公式

f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt

f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)

1 x2
1
ex
f
( x)

(
2 x3

1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1

(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx

2
1 (e

1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]

牛顿-柯特斯公式

(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四复化求积公式
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )

b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6

( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n

数值分析 -牛顿-科特斯公式

n
[
k 1
f
( k
)
h]
h2 b f ( x)dx h2 [ f (b) f (a)]
12 a
12
上例中若要求 | I Tn ，| 则106
|
Rn[
f
]|
h2 12
|
f
(1)
f
(0) |
h2 6
106
h 0.00244949 即：取 n = 409
阶
~ ~ ~ Tn O(h2 ) , Sn O(h4 ) , Cn O(h6 )
1
例：计算

dx 4
0 1 x2
解：
T8

1 16

f
(0)
7
2
k 1
f
( xk
)
f
(1)
其中
k xk 8
运算量基本相同
= 3.138988494
S4

1 24

f
(0)
)

f ( xi1)]
i0
b f (x) dx
a

h 6

f
(a)

4
n1 i0
n1
f
(
xi

1 2
)

2
i1
f (xi)
f (b)
Sn
xk
余项：
xk

1 2
x k 1
4
4
4
4
4
I[ f ]
Sn

n1

h5 2880
f (4)(i )

6a牛顿科特茨公式

Newton-Cotes 公式
公式介绍代数精度
余项表达式
3
数值积分
I ( f ) f ( x ) dx
a
微积分基本公式： f ( x )dx F ( b) F ( a)
a b
b
但是在许多实际计算问题中
(1) F(x) 表达式较复杂时，计算较困难。如 f ( x ) (2) F(x) 难求！甚至有时不能用初等函数表示。如 f ( x ) 1 sin x , e x
19
n=2时，有 c0 , c1 , c2
Newton-Cotes 公式
1 1 n = 1: C0 , C1 2 2

b a
ba f ( x )dx [ f ( a ) f ( b)] T 2
梯形公式代数精度 = 1 n = 2: C0
1 2 1 , C1 , C2 6 3 6 ba 抛物线公式 b f ( x )dx [ f ( a) 4 f ( a ) f ( b )] S 2 Simpson公式 6
解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为

1
1
f ( x )dx [ f ( 1) 4 f (0) f (1) ] 3
易验证该公式对 f (x)＝x3 也精确成立，但对 f (x)＝x4 不精确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。
10
举例
例：试确定下面求积公式中的系数，使其具有尽可能高的

b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
i 0
n
证明：
14
Newton-Cotes 公式

simpson法

simpson法Simpson 法，也被称为 Newton-Cotes 公式，是一种数值积分法，用于近似计算函数的定积分。

它的原理基于将函数在积分区间内分割成若干小区间，然后在每个小区间上使用一个二次多项式来近似原函数。

这种方法更加准确，特别适用于曲线较为复杂的函数。

Simpson 法的基本思想是使用二次 Lagrange 插值多项式来逼近函数的形状。

插值多项式的形式如下：P(x) = f(x0) * L0(x) + f(x1) * L1(x) + f(x2) * L2(x)其中，f(x0)、f(x1) 和 f(x2) 是函数在小区间的三个取样点上的函数值，L0(x)、L1(x) 和 L2(x) 是 Lagrange 插值多项式的基函数。

这些基函数是通过下列公式计算出来的：L0(x) = ((x - x1) * (x - x2)) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))L1(x) = ((x - x0) * (x - x2)) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))L2(x) = ((x - x0) * (x - x1)) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))Simpson 法利用插值多项式的性质，将原函数 f(x) 替代为近似的插值多项式 P(x)，然后在小区间内计算 P(x) 的定积分。

这个过程可以通过下列公式表示：∫[a,b] f(x) dx ≈ ∫[a,b] P(x) dx = (b - a) / 6 * (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b))上述公式中的 (b - a) / 6 是常数系数，保证了积分结果的准确性。

从公式中可以看到，Simpson 法采用了每个小区间上三个采样点的函数值进行计算，因此可以较好地逼近原函数的形状，从而得到更加准确的积分结果。

需要注意的是，为了使用 Simpson 法，积分区间必须被平均地分成偶数个小区间。

newton-cotes计算积分近似值

newton-cotes计算积分近似值
Newton-Cotes求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。

其基本思想是将积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为代表点，用该点的函数值乘以子区间的宽度，再将所有代表点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，最后将求和结果作为积分值的近似值。

具体来说，Newton-Cotes求积公式可以分为以下几种形式：
梯形公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的中点处取值并乘以相应的宽度h/2，将所有中点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。

辛普森公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的左端点和右端点处取值并乘以相应的宽度h/3，将所有端点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。

复合梯形公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用梯形公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。

复合辛普森公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用辛普森公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。

需要注意的是，Newton-Cotes求积公式的收敛性和误差估计取决于子区间的数目和选择的位置，因此在实际应用中需要选择适当的子区间数目和位置以提高近似值的精度。

此外，Newton-Cotes求积公式适用于被积函数在积分区间上连续的情况，如果被积函数在积分区间上不连续或者存在奇点，则可能需要采用其他数值积分方法进行处理。

7.数值积分-Newton-Cotes公式+龙贝格算法

n
c(n) k
k 0,1,2,,n，若记其绝对值的和为
n
|
c(n) k
|,
k0
则可以证明
sup{ n } .
n
（2.10）
显然，当 f ( x) 1时，对所有 n 1，都有 I ( f ) In( f ),
n
即
c(n) k
1
k0
结论：当n充分大时，
c(n) k
(k 0,1,2,,n)
当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。
Newton-Cotes公式
b
a
f
( x)dx
(b
n
a)C
(n) j
f
(
x
j)
j0
• 柯特斯系数
n
1 1/2 1/2
2 1/6 4/6 1/6
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90
但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
I
41 4 1 x2 dx 2argtan4 2.6516
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
由上表可以看出：此时数值求积过程是发散的。
注意：对于n阶Newton-Cotes公式的Cotes系数
（2.6）
其中：
K2(t)
1
72 1
(t (b
a t
)3 )3
(3t a (b 2a
2b), 3t ),
72
a t ab

数值分析Newton-Cotes公式

常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
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2222
第四章数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：

1111
第四章数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度．余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
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Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
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k 0
求积系数
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