Newton-cotes
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6.4 Newton-Cote求积公式页数:9
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牛顿-柯特斯求积公式页数:29
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Newton-Cotes求积公式页数:56
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4.2 Newton-Cotes求积公式页数:56
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Newton-Cotes求积公式页数:55
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Newton-cotes页数:2
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7.1 牛顿-科特斯求积公式
x0
x1
C0(1)
1 1 0!1!
1
(t 1)dt
0
1 2
故求积系数A0, A1为
C1(1)
1 tdt 1
0
2
A0
A1
b
2
a
求积公式为
计算方法
b a
f ( x)dx
(b a) ( 2
f (a)
f (b))
R1[
f]
记
T b a [ f (a) f (b)] 2
-----梯形求积公式
1 sin x dx 1 0 ( f (0) 4 f (0.5) f (1)) 0.946146
0x
6
利用柯特斯公式得：
1 sin x dx
0x
1 0 (7 f (0) 32 f (0.25) 12 f (0.5) 32 f (0.75) 7 f (1)) 90
注 ： 不 难 验 证 ， 若 求 积公 式 对1，x, x2, xn均 准 确 成 立 ， 则 其 对 任 意次 数 n的 多 项 式 准确成立。
例1 考察求积公式
计算方法
1
1
f (x)dx
1f
2
(1)
2
f
(0)
f
(1)
的代数精度。
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等,
再将f(x)=x2代入公式
( 1)( nk ) k!(n k)!
nn
(t i)dt
0 i0
Cotes系数
C
( k
n
)
ik
k 0,n
则有：
计算方法
Ak
b a
lk
(
newton-cotes公式
newton-cotes公式
Newton-Cotes 公式是一种数值积分方法，用于近似计算函数的
定积分。
在这个公式中，我们将定积分的区间划分成若干小区间，然
后在每个小区间上使用一个插值多项式来代替原函数。
这样，我们可
以通过求解这些插值多项式的定积分来近似计算原函数的定积分。
Newton-Cotes 公式可以用来计算不同阶数的插值多项式的定积分。
其中最简单的形式是梯形法则，通过将定积分区间划分成两个小
区间，然后在每个小区间上使用线性插值来计算定积分。
更高阶的 Newton-Cotes 公式包括 Simpson 法则和龙贝格-柯朗
尼法则。
这些公式使用更高次的插值多项式来近似计算定积分，从而
提高精度。
然而，Newton-Cotes 公式也有其限制。
随着小区间数量的增加，插值多项式的阶数也会增加，从而使得计算定积分所需的计算量增加。
此外，当函数在某些小区间上变化较大时，使用插值多项式可能会导
致较大的误差。
总之，Newton-Cotes 公式是一种常用的数值积分方法，适用于
近似计算函数的定积分。
通过选择合适的插值多项式阶数和定积分区
间划分方式，我们可以根据需要在精度和计算效率之间进行权衡。
newton-cotes 公式
newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。
不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式
k 0 (n) k
n
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
k 0
C
n
k
1
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a） 由关系： 得：
Ck
k
1 Ak b a
n
k 0
C
n
k 0
1 1 Ak b a b a
b
a
f(x)dx
ba 7f(x 0 ) 32f(x1 ) 12f(x2 ) 32f(x3 ) 7f(x 4 ) 90
7/90
16/45
2/15
16/45
7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
8 R 4 (f) 945
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分
别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特
斯公式。
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
k 0 (n) k
n
(1) 梯形公式（是插值型求积公式） 当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
定理的证明从略。
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
当b-a>4时，误差较大； b-a<4时，误差较小
7
总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积 公式的统一计算公式。
n
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
柯特斯系数的性质
1. 将区间[a, b]分为n等分，则n+1个柯特斯系
数之和为1
k 0
C
n
k
1
证：由于插值型积分公式的系数Ak 之和等于（b-a） 由关系： 得：
Ck
k
1 Ak b a
n
k 0
C
n
k 0
1 1 Ak b a b a
b
a
f(x)dx
ba 7f(x 0 ) 32f(x1 ) 12f(x2 ) 32f(x3 ) 7f(x 4 ) 90
7/90
16/45
2/15
16/45
7/90
定理4.4（柯特斯公式的误差）设在[a, b]上具有连续的 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：
8 R 4 (f) 945
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分
别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特
斯公式。
b
a
f(x)dx (b a) C f(x k ，x ) k a kh
k 0 (n) k
n
(1) 梯形公式（是插值型求积公式） 当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
定理的证明从略。
b a (6) 4 f (η )，η (a, b)
当b-a>4时，误差较大； b-a<4时，误差较小
7
总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积 公式的统一计算公式。
计算方法-4.5 Newton-cotes公式的精度
并不知道，虽然有时可 以通过给出高阶导数的 一个上界的 方法来估计截断误差的 上界，但有时却很困难 。所以一般 实际计算中都采用事后 估计误差的近似方法。
事后估计误差近似方法 的思路：计算积分时， 将被积区间 逐次分半，比较连续两 次计算值来判断计算精 度。
2020/4/5
18
（1）对复合辛普森公式，假定[a,b]分成n个子区间
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3时，求积公式
b f (x)dx (b a) [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
仍精确成立。
2020/4/5
4
分析 f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3
(
)
(b a) 12
h2
f
()
即为复合梯形公式的截断误差估计
2020/4/5
14
4. 复合辛普森公式
辛普森公式的截断误差为
R[ f ] (b a)5
f
(4)
令h ba 2
()
h5
f (4) ()
2880
90
对复合辛普森公式，将上式应用于每个小区间，得
RN [ f
]
h5 [ f 90
(4) (1)
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
b
求积公式近似到 f (x)dx的程度，即求积公式的 精度？ a
§ 4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项
由多项式代替函数
f (x) Pn (x) Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
事后估计误差近似方法 的思路：计算积分时， 将被积区间 逐次分半，比较连续两 次计算值来判断计算精 度。
2020/4/5
18
（1）对复合辛普森公式，假定[a,b]分成n个子区间
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3时，求积公式
b f (x)dx (b a) [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
仍精确成立。
2020/4/5
4
分析 f (x) a0 x3 a1x2 a2 x a3
(
)
(b a) 12
h2
f
()
即为复合梯形公式的截断误差估计
2020/4/5
14
4. 复合辛普森公式
辛普森公式的截断误差为
R[ f ] (b a)5
f
(4)
令h ba 2
()
h5
f (4) ()
2880
90
对复合辛普森公式，将上式应用于每个小区间，得
RN [ f
]
h5 [ f 90
(4) (1)
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
b
求积公式近似到 f (x)dx的程度，即求积公式的 精度？ a
§ 4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项
由多项式代替函数
f (x) Pn (x) Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
等距节点的牛顿柯特斯公式.
§8-4 等距节点的牛顿—柯特斯公式
一、公式推导
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式 设函数f (x) C[a,b] 将积分区间[a,b]分割为n等份
各节点为 xi a ih , i 0,1,, n 其中h b a 为步长 n
n
In In (b a) Ck(n) k k 0
n
(b a) Ck(n) k 0
max{| k|}
若 k n , Ck(n) 0,有
n
n
In In (b a)
C(n) k
(b a)
C(n) k
1
k 0
k 0
a
,
x1
b
2
a
, x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数为
C0( 2 )
1 4
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1( 2 )
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
于是
C2(2)
1 4
2
(t 1)tdt
0
1 6
b a
f (x)dx (b a)
[
a
,
b]的节点
x
的划分有关
j
,与函数
f
(
x
)无关
其值可以精确给定
因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 函数值f (xk )的计算引起
只需讨论 f (xk )的舍入误差对公式的影 响 假设f (xk )为精确值,而以f (xk )作为f (xk )的近似 值(计算值)
一、公式推导
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式 设函数f (x) C[a,b] 将积分区间[a,b]分割为n等份
各节点为 xi a ih , i 0,1,, n 其中h b a 为步长 n
n
In In (b a) Ck(n) k k 0
n
(b a) Ck(n) k 0
max{| k|}
若 k n , Ck(n) 0,有
n
n
In In (b a)
C(n) k
(b a)
C(n) k
1
k 0
k 0
a
,
x1
b
2
a
, x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数为
C0( 2 )
1 4
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1( 2 )
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
于是
C2(2)
1 4
2
(t 1)tdt
0
1 6
b a
f (x)dx (b a)
[
a
,
b]的节点
x
的划分有关
j
,与函数
f
(
x
)无关
其值可以精确给定
因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 函数值f (xk )的计算引起
只需讨论 f (xk )的舍入误差对公式的影 响 假设f (xk )为精确值,而以f (xk )作为f (xk )的近似 值(计算值)
Newton-Cotes求积公式
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
4.2牛顿-柯特斯公式
函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影 响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5