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牛顿-柯特斯求积公式

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第4章==牛顿求积

第4章==牛顿求积

f ′′(ξ ) b (b − a)3 RT = ∫a (x − a)(x − b)dx = − 12 f ′′(ξ) 2
(2)辛甫生公式余项Rs 辛甫生公式余项
RS = I − S = ∫
b a
f ′′′(ξ ) a +b (x − a)(x − )(x − b)dx 3 ! 2
b − a b − a 4 (4) =− ( ) f (ξ ),ξ ∈(a, b) 180 2
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5
0
0.5
1
1.5
b−a , (k = 0,1,2,3,4) （3）n=4时， xk = a + k ⋅ ） 时 4
∫
b
a
f (x)dx ≈ I 4 =
b−a [7 f (x0 ) + 32 f (x1 ) +12 f (x2 ) + 32 f (x3 ) + 7 f (x4 )] 90
sin x 1 ∫0 x dx ≈ 90 (7 f (0) +32 f (0.25) +12 f (0.5) + 32 f (0.75) + 7 f (1)) = 0.9460830
1
I=0.9460831（准确值), 各阶牛顿 柯特斯求积结果 （准确值 各阶牛顿—柯特斯求积结果
n In m 1 2 3 0.9461109 3 4 0.9460830 5 5 0.9460830 5
且对应的函数值
f (xk ) = yk 为已知， 为已知，
n b
构造插值型求积公式
∫
b
a
f ( x)dx = ∑ f ( xk ) ∫ lk ( x)dx

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )

72第二节 牛顿—柯特斯公式

72第二节 牛顿—柯特斯公式
j 0 2k
(u j )
j k
k
是奇函数，故在对称区间上的积分为0，即Rn(f)=0. 这就证明了n阶牛顿-柯特斯公式在n为偶数的时 候代数精度至少为n +1，从而定理得证.
数学学院 信息与计算科学系
抛物线公式(Simpson 公式)是n=2 时的牛顿-柯 特斯公式，故其代数精度至少为3，但由于
(b a )7 (6) f ( ) 1935360
[ a , b]
数学学院 信息与计算科学系
例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公 式计算积分 1 1 I dx 2 0.6 1 x 解 由梯形公式得
1 0.6 1 1 I T 0.2470588 2 2 2 1 0.6 11
n
n
( n) 当C k 有正有负时 , 因为
n
而 | C
k 0
n
( n) C k 1 k 0
( n) k
| 可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确,
但初始数据的误差对计算结果影响会很大, 方法
可能是不稳定的.
(k=0,1,…,n) 记 则有
( n) Ck n n ( 1) ( t j )dt (k=0,1,…,n) 0 nk !( n k )! j k n k
( n) Ak ( b a )C k ,
数学学院 信息与计算科学系
于是得求积公式
n k 0 ( n) I n Ak f ( xk ) (b a ) C k f ( xk ) k 0 n
由辛卜生公式得 1 0.6 1 1 1 IS 4 0.2449546 2 2 2 6 1 0.6 1 0.8 1 1

牛顿-柯特斯公式 15页PPT文档

牛顿-柯特斯公式 15页PPT文档
§2 牛顿—柯特斯公式
一、Newton-Cotes公式的导出
abf(x)dx n Akfk k0 Akablk(x)dx
将
求
积 [a,b]区 做 n等 间分
， hb步 a,长 在 n
等
距 xk节 ak点 h
上的插值型 abf(求 x)dx 积 (b公 a) nC 式 (kn)fk, (2.1) k0
称N为 ew-tCoontes ， C 公 (n)称 式 C为 ote. s系数 k
作变 xa 换 th ，则有
C(kn)b ha0 n j n0k t jjdtn(! (k 1 n ) nk k)!0 n j n0(tj)dt. (2.2
jk
jk
当 n 1 时 ,得到梯形公式
由(于 xa)(xab)2(xb)在 [a,b]内不(非 变)正 号 , 2
由广义积分中值定理有
R S f ( 4 4 ) ! () a b ( x a ) x ( a 2 b ) 2 ( x b ) d x b 1 a ( b 2 8 a ) f ( 4 ) 0 () ( a ,b )

a2nx2n
Байду номын сангаас
a1x

a0,为2n1次
多项式 ,
R2n(
f
)


b a
f ( ) (2n1) 2n1
(2n1)!
2n
(x
j0

xj
)dx
a2n1

abj2n0(x

xj
)dx
令x anhth(n t n)代入上式:得
R2n(
f
)

a2n1h2n2h

newton-cotes求积公式

newton-cotes求积公式


f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt

f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)


1 x2
1
ex
f
( x)

(
2 x3

1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1

(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx

2
1 (e

1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]

数值分析 -牛顿-科特斯公式

数值分析 -牛顿-科特斯公式

故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。
当 n 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。
牛顿-科特斯公式的代数精度
定理 当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1
阶代数精度。
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。
由插值型求积公式的误差公式得
R[ f ]
h
[f 4
(xk ) 2 f
( xk 1/ 2 )
f ( xk 1)]
1 梯形法的递推化
注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。 将每个子区间上的积分值相加得
n1
n1
T

h 4
[
f
(xk )
f
(xk1)]
h 2
f
(
xk

1 2
)
k 0
k 0
从而可导出下列递推公式
+
i
h，h

b
n
a
，i = 1, 2, …,
b
b
Ai a li (x)dx a
ji
x x j dx xi x j
n
0 ji
t j hdt i j
(b a)(1)ni n (t j)dt
n i!(n i)!
0 i j

2 3
,
C (2) 2
1 6
b a
f ( x)dx

b
6
a[
f
(a) 4 f
(
ab 2
)

f
(b)]
n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式

牛顿-柯特斯公式


(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多 项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛 卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三 次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )

b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6

( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到 辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到 柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n

第2章0102机械求积,牛-柯公式

k 0
证明此时 Ak , k 0,1, 证 令 f ( x ) 1, x, x ,
2
, n 有唯一解即可。
使求积公式 f ( x )dx Ak f ( xk ) 准 ,x ，
n
b a
n
k 0
确成立，即
A0 A1 An b a A0 x0 A1 x1 An xn 1 (b 2 a 2 ) 2 1 n n n A x A x A x (b n 1 a n 1 ) 0 0 1 1 n n n 1
b
牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式
本章的问题： 计算定积分 f ( x )dx 似值。
a
b
的近
但是:
①有些定积分的被积函数的原函数不能用初等
函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用。如 b 1 sin x b x2 2 e d x , d x , sin x dx 等； a 0 x a



b a b a
b
a
f ( x)dx P ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
f ( x)dx P ( x)dx ,将 P( x) f ( xk )lk ( x)代入，有
b a
n
k 0
f ( x)dx P ( x )dx
a
n b
梯形公式 I
b
f ( x)dx (b a )
梯形公式具有一次代数精度。
例：确定求积公式

1
1
1 f ( x)dx [ f (1) 4 f (0) f (1)]的代数精度 . 3

牛顿-柯特斯求积公式

下页 返回
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
上页
下页 返回
以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，

a
此时公式精确成立。




上页
下页 返回
对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.

7.1 牛顿-科特斯求积公式


f
]
2(b a) 945
(
b
4
a
)6
f
(6)
( )
[ (a, b)]
计算方法
牛顿-科特斯求积公式几何意义（单击播放）
计算方法
例：分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算
1 sin x dx
0x
准确值为：0.9460831
x 0 0.25
0.5
0.75
1
f(x) 1 0.9896158 0.958851 0.9088516 0.8414709
注 ： 不 难 验 证 ， 若 求 积公 式 对1，x, x2, xn均 准 确 成 立 ， 则 其 对 任 意次 数 n的 多 项 式 准确成立。
例1 考察求积公式
计算方法
1
1
f (x)dx
1f
2
(1)
2
f
(0)
f
(1)
的代数精度。
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等,
再将f(x)=x2代入公式
k0
求积系数
b
Ak a lk ( x)dx
计算方法
（一）公式的推导
设将积分区间[a,b]n等分，求积节点为 { xk }nk0
那么，
x0
a, xn
b, xj
a
jh,
j 0,1,, n, h b a n
令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由 x [a, b]
可知 t [0, n]．
解：利用梯形公式可得：
1 sin x dx 1 0 ( f (0) f (1))
0x
2
1 (1 0.8414709) 0.9207355
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求
I
e
1
3

x 2
dx
的近似值。
解： I=0.7668010
梯形公式
2 I e dx (e 2 1

3
x 2

1 2
e ) 0.829660819
2 2 3 2

3 2
辛卜生公式
2 I e dx (e 6 1

3
x 2

1 2
4e
e ) 0.766575505
y
梯形公式的几何意义 是用四边梯形x0 ABx1的 面积代替曲边梯形的面积。
y=P1(x)
B
y=f(x)
A
f0 0 x0=a f1
x1=b
x
图1
工程数学
工程数学
（2）辛卜生公式 (n=2) x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2
C0(2) =1/6
b
,
C1(2) =4/6
,
一、 牛顿—柯特斯求积公式的导出
将积分区间[a,b] n等分，节点xi为 xi=a+ih, i=0,1,2,…,n 其中h=(ba)/n。有

其中
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
b
n
(4)
i 0
Ai li ( x )dx
a
工程数学
工程数学
引进变换 x=a+th , 0≤t≤n
工程数学
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成 的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图 2。 y y=P2(x)
y=f(x)
0
x0
x1
图2

b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
工程数学
x2
x
工程数学
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
1 1 1 1 左= f ( x )dx ( f (0) f (1)) 右 2 0 2 2 取f ( x ) x 2， 1 1 1 1 左= f ( x )dx ( f (0) f (1)) 右 3 0 2 2 所以求积公式具有1次代数精度。
工程数学
工程数学
第七章 数值积分与数值微分
第一节 等距节点的Newton-Cotes求积公式
第二节 复化求积公式
第三节（*） 外推算法
第四节 Gauss型求积公式
工程数学
工程数学
引
言
Newton Leibnitz公式(其中F ( x )为f ( x )的原函数)

b
a
f ( x )dx F (b) F (a )

b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
i 0
n
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
工程数学
工程数学
第一节 等距节点的牛顿—柯特斯求积公式
当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式。
即求积公式 f ( x )dx Ai f ( x j ) 至少具有n次代 a j 0 数精度。
工程数学
n

b
a
f ( n1) ( )n1 ( x )dx 0
工程数学
由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距节点), 它的代数精度至少是n,还可以证明当n 为偶数时 Newton-Cotes公式的代数精度至少是n+1. 定理2：当n为偶数时，由n+1个等距节点x0 、x1 、…
x n构造的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度至少为
n+1。
工程数学
工程数学
五、Newton-Cotes公式的截断误差
引理：（第二积分中值定理） 如果函数f ( x )在[a , b]上连续，函数g( x )在[a, b]上 可积且不变号，则存在 (a , b)使
f ( x ) g( x )dx f ( ) g( x )dx
Ci(n) 称为柯特斯系数。 于是牛顿—柯特斯求积公式为
i 0,1,
,n

b
a
f ( x )dx Ai f ( xi ) (b a ) C i( n ) f ( xi ) (6)
i 0 i 0
n
n
工程数学
工程数学
二、两种特殊的数值求积公式:
（1）梯形公式(n=1) x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2 b ba I= f(x)dx ( f (a ) f (b)) T a 2
n
工程数学
工程数学

b
a
b 1 ( n 1) f ( x )dx Ai f ( xi ) f ( ( x ))wn1 ( x )dx ( n 1)! a i 0
n
插值型求积公式

其中
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi ) R( f ) Ai f ( xi ) (1)
C2(2) =1/6
ba ab I= f(x)dx (f (a ) 4 f ( ) f (b ) ) S a 6 2 b h ab 或 I f(x)dx (f (a ) 4 f ( ) f (b ) ) S a 3 2
辛卜生公式又称为抛物线公式。
工程数学
a a
b
b
定理3：设f ( x )在[a , b]上有二阶连续导数，则梯形求积 公式的截断误差为 b ba RT ( f ) f ( x )dx ( f (a ) f (b)) a 2 ( b a )3 f ''( ) 12
工程数学
工程数学
n 1,由截断误差公式(3)有 b f ''( ) RT ( f ) ( x a )( x b)dx , [a , b] a 2 由于f ''( )是依赖于x的函数且在[a , b]上连续，又 证明:
例2：设有 1 f ( x )dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
工程数学
1
成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数 精度尽可能高，并求代数精度。 解：分别取(x)=1，x，x2，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0
A0 + A2=2/3 解得 A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3； 1 1 则 f ( x )dx ( f ( 1) 4 f (0) f (1)) 1 3 取 (x)=x3，左=右=0；
x I dx sin x 0
解：当n取不同值时，计算结果如下所示。 I准=0.9460831 n 近似结果
1 2 3 4 5 0.9270354 0.9461359 0.9461109 0.9460830 0.9460830
工程数学
1
工程数学
四、代数精度
对一 切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p (x))=0; 而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此公式的 代数精度为m. n b 定义2：若求积公式 a f ( x )dx Ai f ( xi ) 对 i 0 2 3 m ƒ(x)=1,x,x ,x …x , 都等号成立，即R(xi)=0;而对于 xm+1 等号不成立，则称此公式 的代数精度为m.

b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
i 0
n
从数值逼近的观点看,所谓数值积分，就是用一个 具有一定精度的简单函数 (x )代替被积函数f ( x )，而求 出定积分的近似值，即
取 （x）=pn ( x )得插值型求积公式， 即：用插值多项式pn ( x ) f ( x ),
工程数学
工程数学
三、牛顿—柯特斯系数
n 1 2 3 4 5 6 7 8 c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8
工程数学
工程数学
例
n=3 为3/8 辛卜生公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3

x3 x0
ba f ( x )dx ( f 0 3 f 1 3 f 2 f 3) 8
a i 0
定义1：若求积公式
b
f ( x )dx Ai f ( xi )
n
代数精度求法 从ƒ(x)=1,x,x2,x3…依次验证求积公 式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数 精度是m-1. 代数精度越高，数值求积公式越精确
工程数学
工程数学
例1：证明下面数值求积公式具有1次代数精度. 1 1 0 f ( x )dx 2 ( f (0) f (1)) 解：取f ( x ) 1， 1 1 左=1 f ( x )dx ( f (0) f (1)) 1 右 0 2 取f ( x ) x，
b
j 0
n
其中
( n1) 1 R( f ) ( n f ( )n1 ( x )dx 1)! a
这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。 显然当f(x)是任何一个不超过n次的多项式时,余项
R( f )
b
1 ( n1)!
其中 n+1(x)= (x-x0) (x-x1)... (x-xn-1) (x-xn)
n=4为 Cotes 公式