matlab实现复化NewtonCotes公式求积分的程序应用和代码

佛山科学技术学院实验报告课程名称_______________ 数值分析________________________实验项目_______________ 数值积分____________________专业班级机械工程姓名余红杰学号2111505010 指导教师陈剑成绩日期月日一、实验目的b1、理解如何在计算机上使用数值方法计算定积分 a f ""X的近似值；2、学会复合梯形、复合Simpson和龙贝格求积分公式的编程与应用。

3、探索二重积分.11 f （x, y）dxdy在矩形区域D = ｛（ x, y） | a _ x _ b, c _ y _ d｝的数值D积分方法。

二、实验要求（1）按照题目要求完成实验内容；（2）写出相应的Matlab程序；（3）给出实验结果（可以用表格展示实验结果）；（4）分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。

（5）写出实验报告。

三、实验步骤1、用不同数值方法计算积xln xdx =-- 0 9（1）取不同的步长h，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两公式的精度。

（2）用龙贝格求积计算完成问题（1 ）。

2、给出一种求矩形区域上二重积分的复化求积方法，然后计算二重积分..e"y dxdy，其中积分区域D二｛0乞x岂1,0岂y乞1｝。

1.%lnt_t.m复化梯形：function F = Int_t(x1,x2,n)%复化梯形求积公式% x1,x2为积分起点和中点%分为n个区间，没选用步长可以防止区间数为非整数。

%样点矩阵及其函数值：x = lin space(x1,x2 ,n+1);y = f(x);m = len gth(x);%本题中用Matlab计算端点位置函数值为NaN,故化为零: y(1) = 0;y(m) = 0;%算岀区间长度，步长h：h = (x2 -x1)/n;a = [1 2*o nes(1,m-2) 1];%计算估计的积分值：F = h/2*sum(a.*y);%f.mfun cti on y = f(x)y = sqrt(x).*log(x);%run 11.mclc,clear;%分为10个区间，步长0.1的积分值：F = In t_t(0,1,10);F10 = F%分为100个区间F = In t_t(0,1,100);F100 = F%误差计算W10 = abs((-4/9)-F10);W100 = abs((-4/9)-F100);W = [W10 W100]%复化辛普森：%l nt_s.mfun cti on F = In t_s(x1,x2 ,n)%复化梯形求积公式% x1,x2区间，分为n个区间。

复化柯特斯求积公式的程序设计与应用作者：龚有梅吴庆军来源：《科学导报·学术》2019年第17期摘 ;要：本文主要探究數值积分中的复化柯特斯公式，通过用计算机MATLAB语言编程主程序及有关命令对复化柯特斯公式进行多个求解定积分的例子说明算法有效性，用复化柯特斯公式能避免求解定积分时寻找原函数的困难以及能便捷与快速地解决问题.关键词：柯特斯公式，程序设计，应用1 引言在解决实际问题中，例如工程计算中一些应用问题需要归纳到数学模型的数值计算问题，便经常需要计算定积分的值. 我们通常用数值积分计算方法求定积分的值，而复化柯特斯求积公式便是数值积分计算方法中的一种常用的计算方法.目前复化柯特斯公式的研究异常活跃.郑华盛等人提出了一类计算定积分的高精度柯特斯校正公式，通过两种方法进行了推导，给出了它的复化公式及其加速公式，并得到了它们的误差估计和收敛阶[3].数值实验验证了复化柯特斯校正公式及其加速公式的高效性[3].兰亭等人结合定积分柯特斯公式与二重积分的特点，将柯特斯公式推广到二重积分的情形并给出了柯特斯公式的表达式及其误差公式，并结合积分中值定理推出其误差表达式[5].本文主要探究求定积分的一个常用数值计算方法：复化柯特斯公式在解决积分问题中有什么作用，通过用计算机MATLAB语言编程主程序及有关命令对这个计算方法进行几种类型的多个求解定积分的例子加以说明.2 复化柯特斯公式的思想与算法5 小结本文探究了求定积分的一个常用数值计算方法：复化柯特斯公式，简单介绍国内一些专家对于复化柯特斯公式的一些研究.构造这个公式的计算方法和算法模型，用MATLAB语言编程这个公式的主程序和有关命令语句.采用实例的方式，即通过求解多个定积分的数值解，并用这个数值求积公式求得的一些数值解与精确值比较，获得的结果说明了构造的计算方法有效性，而且用复化柯特斯公式能避免求解定积分时寻找原函数的困难.使用计算机解决数值积分问题，更便捷与快速地解决问题.参考文献[1] ;孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初.计算方法与实习[M].东南大学出版社，2005.[2] ;姜健飞，吴笑千，胡良剑.数值分析及其MATLAB实验[M].北京：清华大学出版社，2015.[3] ;郑华盛，徐伟.柯特斯校正公式及其误差估计[J].数学的实践与认识，2011，41（17）：183-188.[4] ;付丽华，刘智慧，李宏伟.有关龙贝格求积方法的一点思考[J].大学数学，2017，33（06）：66-70.[5] ;兰亭，邹佳利，覃燕梅.二重积分integral from n=a to b（dx）integral from n=c to d（f （x，y）dy）的柯特斯公式及其误差分析[J].保山学院学报，2012，31（02）：60-63.资助项目：广西教育厅科学技研究（KY2015YB244）。

牛顿-柯特斯公式matlab首先，让我们来了解一下数值积分的基本概念。

数值积分是通过求取一个函数在给定区间上的近似面积来计算函数的定积分。

一种常见的数值积分方法是使用插值多项式来近似函数，并在给定区间上对该多项式进行积分。

牛顿插值多项式是由一组不同的x值和对应的函数值构成的。

该多项式通过这些点来逼近函数，并可以用于在任意点上计算函数的近似值。

牛顿插值多项式的形式如下：P(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)+...其中，f[x₀]表示函数在x₀上的值，f[x₀,x₁]表示函数在x₀和x₁上的差商。

柯特斯系数用于计算牛顿插值多项式在给定区间上的积分。

公式如下：C₀=1C₁=h/2C₂=h²/6C₃=h³/12C₄=h⁴/20其中，h表示区间的宽度。

在MATLAB中，可以使用以下代码来实现牛顿-柯特斯公式：function result = newton_cotes(f, a, b, n)h=(b-a)/n;x=a:h:b;fx = f(x);coefficient = zeros(n+1, 1);coefficient(1) = 1;for i = 2:n+1coefficient(i) = coefficient(i-1) * (h^(i-1)) / factorial(i-1);endresult = sum(fx .* coefficient);end```在上面的代码中，`f`表示要积分的函数，`a`和`b`表示积分区间的起始点和结束点，`n`表示节点的数量。

首先，我们计算出节点的横坐标和对应的函数值。

然后，根据柯特斯系数的公式计算系数。

最后，将函数值与系数相乘，并求和，从而得到近似的积分值。

例如，我们要计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, π/2]上的积分值，可以使用以下代码：a=0;b = pi/2;n=4;result = newton_cotes(f, a, b, n);disp(result);```运行该代码，将输出函数f(x)在区间[0,π/2]上的近似积分值。

MATLAB在复变函数与积分变换里的应用目录1复数的生成 (1)2 复常数的运算 (1)2.1—2.3 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1)2.4—2..8两个复数之间进行乘除法运算、幂运算、指数对数运算及方程求根 (2)2..9MA TLAB极坐标绘图 (6)3 泰勒级数的展开 (3)4 留数计算和有理函数的部分分式展开 (4)4.1 留数计算 (4)4.2 有理函数的部分分式展开 (5)5 Fourier变换及其逆变换 (6)6 Laplace变换及其逆变换由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系 (7)参考文献 (10)复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier 变换、Laplace变换和图形绘制等几个问题.可以使用MATLAB来进行复变函数的各种运算，还可以使用matlab进行Taylor级数展开以及Laplace变换和Fourier变换。

1.复数的生成复数的生成有两种形式。

a: z=a+b*iexample1:>> z=2+3*iz =2.0000 +3.0000ib: z=r*exp(i*theta)example2: >> z=2*exp(i*30)z =0.3085 - 1.9761i2.复数的运算2.1、复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。

调用形式real(x)返回复数的实部imag(x)返回复数的虚部example3: >> z=4+5*i;>> real(z)ans =4>> imag(z)ans =52.2、共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。

调用形式conj(x)返回复数的共轭复数example4: >> z=4+5*i;>> conj(z)ans =4.0000 -5.0000i2.3复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。

newton迭代matlab代码概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文将介绍并详细解释Newton迭代算法在MATLAB中的代码实现。

Newton 迭代算法是一种用于求解方程根和优化问题的数值迭代算法，其基本原理是通过不断逼近函数的零点或最小值点来获得解。

本文将从算法的概述、原理介绍、迭代过程以及算法适用性分析等方面对Newton迭代算法进行全面的阐述。

1.2 文章结构文章将按照以下顺序展开对Newton迭代算法的讲解和说明：- 引言：对本文的主题和内容进行简要介绍，并给出文章的结构安排。

- Newton迭代算法概述：包括原理介绍、迭代过程和算法适用性分析三个部分，对Newton迭代算法的基本概念和应用领域进行阐述。

- MATLAB代码实现解释说明：详细说明了使用MATLAB编写Newton迭代算法代码的背景信息和相关工具介绍，然后逐步解释代码实现的步骤，并通过示例与结果分析来更好地理解代码部分。

- 应用案例和拓展讨论：通过具体案例一（求解方程根）和案例二（系统优化问题求解）来展示Newton迭代算法的实际应用，并在拓展讨论部分探讨改进Newton迭代算法的研究方向和方法。

- 结论与展望：对整篇文章进行总结回顾，并展望未来更高效、更准确的数值迭代算法发展趋势。

1.3 目的本文的目的是通过对Newton迭代算法在MATLAB中代码实现的详细解释，帮助读者更好地理解该算法的原理和应用，并提供相应的代码示例和结果分析。

同时，通过应用案例和拓展讨论，引发读者对于改进Newton迭代算法及其未来发展方向的思考。

通过阅读本文，读者可以具备一定程度上运用Newton迭代算法解决实际问题的能力，并对当前数值迭代算法领域的研究方向有一定了解。

2. Newton迭代算法概述:2.1 原理介绍:Newton迭代算法是一种用于数值逼近解的迭代方法，可以用于求解非线性方程的根、优化问题等。

该算法基于牛顿-拉弗森方法，其基本思想是通过不断逼近函数曲线上的某点来寻找函数零点或极值点。

牛顿-柯特斯公式是数值分析中常用的积分计算方法，特别适用于对函数在一定区间上的定积分进行近似计算。

在MATLAB中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式来进行积分计算，从而获得函数在给定区间上的近似积分值。

让我们来理解一下牛顿-柯特斯公式的基本原理。

牛顿-柯特斯公式的核心思想是利用一系列的节点和相应的权重来逼近被积函数，从而得到积分的近似值。

在MATLAB中，我们可以通过内置的函数或自定义函数来实现牛顿-柯特斯公式的计算。

在使用MATLAB计算积分时，我们首先需要确定被积函数的表达式以及积分的区间。

我们可以选择合适的牛顿-柯特斯公式来进行计算。

MATLAB提供了多种内置的积分计算函数，例如quad和integral等，它们可以方便地实现对定积分的计算。

除了使用内置函数，我们还可以编写自定义的牛顿-柯特斯公式计算程序。

这样可以更灵活地控制节点和权重的选择，从而得到更精确的积分近似值。

编写自定义的牛顿-柯特斯公式计算程序可以加深对该方法的理解，并且在特定问题上可能获得更好的计算结果。

在实际应用中，牛顿-柯特斯公式可以广泛用于工程、科学和数学等领域。

在信号处理中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式对信号的频谱进行积分近似计算；在物理学中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式对连续介质的密度分布进行积分近似计算。

牛顿-柯特斯公式的灵活性和高效性使得它成为了数值分析中不可或缺的工具。

回顾本文，我们首先介绍了牛顿-柯特斯公式的基本原理，然后讨论了在MATLAB中如何利用内置函数或自定义函数来实现积分的计算。

我们还探讨了牛顿-柯特斯公式在实际应用中的广泛性和重要性。

通过本文的阐述，我们希望读者能够更深入地理解牛顿-柯特斯公式的计算方法，并且能够灵活运用于自己的问题当中。

在个人观点和理解方面，我认为牛顿-柯特斯公式作为一种数值积分计算方法，具有较高的精度和灵活性，能够有效地解决实际问题中的积分计算需求。

在MATLAB中，利用牛顿-柯特斯公式进行积分计算不仅简单方便，而且还能获得较为准确的结果。

文章标题：深度剖析复合辛普森公式在Matlab中的应用1.引言复合辛普森公式是数值分析中常用的积分逼近方法，在工程和科学领域都有广泛的应用。

本文将深入探讨复合辛普森公式的原理和在Matlab中的具体例题应用，以帮助读者全面理解该方法的实际操作和应用场景。

2.复合辛普森公式简介复合辛普森公式是一种数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上使用辛普森公式进行积分逼近，最终得到整个积分区间上的近似值。

其公式表达为：\[ S_n(h) = \frac{h}{3}[f(x_0) + 4\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1}) +2\sum_{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i}) + f(x_n)] \]其中，\(h\)为步长，\(n\)为分割的小区间数。

3. Matlab实例应用假设要对函数\(f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x + 1\)在区间\([a, b]\)上进行积分逼近，可以通过Matlab编程实现复合辛普森公式的应用。

需要确定积分区间的上下限，然后计算步长\(h\)，接着编写Matlab代码进行求解。

```matlabfunction result = simpson(f, a, b, n)h = (b - a) / n;x = a:h:b;y = f(x);result = h/3 * (y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end));end% 调用simpson函数进行积分逼近f = @(x) x.^3 + 2*x.^2 + 4*x + 1;a = 1;b = 2; n = 4;result = simpson(f, a, b, n);disp(result);```在以上Matlab代码中，首先定义了一个名为simpson的函数，用于计算复合辛普森公式的近似积分值。

高斯-勒让德数值积分Matlab代码[code]function [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)% 高斯-勒让德数值积分%% 参数说明% fun：积分表达式，可以是函数句柄、inline函数、匿名函数、字符串表达式，但是必须可以接受矢量输入% a,b：积分上下限，注意积分区间太大会降低精度，此时建议使用复化求积公式，默认[-1 1] % n：积分阶数，可以任意正整数，但是不建议设置过大，大不一定能得到更好的精度，默认7% tol：积分精度，默认1e-6% ql：积分结果% Ak：求积系数% xk：求积节点，满足ql=sum(Ak.*fun(xk))%% 举例说明% fun=@(x)exp(x).*cos(x); % 必须可以接受矢量输入% quadl(fun,0,pi) % 调用MATLAB内部积分函数检验% [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,0,pi)%% 高斯积分说明% 1.高斯积分是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。

一般插值型数值积分精度为至少n阶，且具有高阶不稳定性% 2.高斯求积节点就是对应n阶正交多项式的根，构建首项系数为1的正交多项式参见/thread-4798-1-1.html% 3.高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到% 4.由高斯求积节点为根构成的多项式，与任何不超过n阶的多项式正交%% 勒让德正交多项式说明% 1.区间[-1,1]上关于权rho(x)=1的正交多项式系，满足% |- 2/(2j+1) (i=j)% ∫(Pi(x)*Pj(x),-1,1)= |% |- 0 (i≠j)% 2.勒让德正交多项式的通式为：P0=1, Pn=1/(2^n*n!) * diff((x^2-1)^n,n) (n=1,2,...)% 3.关于高斯-勒让德的数值积分的求积系数和节点，由于表达式不便于书写，感兴趣的网友可以参考相关书籍%% by dynamic of Matlab技术论坛% see also % contact me matlabsky@% 2010-01-15 23:05:33%% 输入参数有效性检验if nargin==1a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;elseif nargin==3n=7;tol=1e-8;elseif nargin==4tol=1e-8;elseif nargin==2|nargin>5error('The Number of Input Arguments Is Wrong!');end% 计算求积节点syms xp=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))/(2^n*factorial(n));tk=roots(p); % 求积节点% 计算求积系数Ak=zeros(n+1,1);for i=1:n+1xkt=tk;xkt(i)=[];pn=poly(xkt);fp=@(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i));Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求积系数end% 积分变量代换，将[a,b]变换到[-1,1]xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;% 检验积分函数fun有效性fun=fcnchk(fun,'vectorize');% 计算变量代换之后积分函数的值fx=fun(xk)*(b-a)/2;% 计算积分值ql=sum(Ak.*fx);[/code]Matlab只能直接计算内外积分限都是已知实数的二重积分比如INT_(a)^(b)INT_{c}^{d}f(x,y)dxdy，其中a,b,c,d都是已知实数，则可以用Matlab指令:dblquad(f(x,y),c,d,a,d);但如果内积分限是外积分的积分变量函数时，Matlab不能直接运算。