2012年北京市怀柔区高三二模文科科数学试题

1 F

E

P G

O

Q

H 2012年怀柔区高三年级调研考试

数 学（文科） 2012.4

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U={一l，0，1，2}，集合A={一l，2}，则ACU

A．{0,1} B．{2} C．{0，l，2} D．

2．已知i为虚数单位，2iz，则复数z

A．i1 B．i1 C．2i D．－2i

3．“a=2”是“直线ax十2y=0与直线x+y=l平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主

视图是腰长为1的等腰直角三角形，则

这个几何体的体积是

A．21 B．1

C．23 D．2

5．函数2(sincos)1yxx是

A．最小正周期为2的奇函数

B．最小正周期为2的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

6．如图所示的方格纸中有定点 OPQEFGH,,,,,,，则

OPOQ

A．OH B．OG

C．EO D．FO

7．设x>1，S=min｛logx2，log2（4x3）｝，则S的最大值为

A．3 B．4 C． 5 D．6

8．若函数 yfxxR满足2fxfx，且1,1x时，21fxx， 1 1

主视图

左视图

俯视图

2 开 始

i=1, s=0

s=s+i1

i=i+2 输出S

结 束 否

是

函数lg 01 0xxgxxx，则函数hxfxgx在区间5,5内的零点的个

数为

A．5 B．7

C．8

D．10

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．函数xxf)21(1)(的定义域是

.

10．如图给出的是计算2011151311的值

的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件

是 ．

11．如图，ABC中，90C，

30A，1BC．在三角

形内挖去半圆（圆心O在边AC

上，半圆与BC、AB相切于点

C、M，与AC交于N，见图中

非阴影部分），则该半圆的半径

长为

．

12． 当(1,2)x时，不等式2(1)logaxx恒成立，则实数a的取值范围为 ．

13．已知不等式组122yyxyx表示的平面区域为M，若直线13kkxy与平面区域

M有公共点，则k的取值范围是

．

14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i到整点（i＋1）的向量记作1iitt，则2111243323221tttttttttttt＝

．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A、B、C的所对应边分别为a,b,c，且.sin2sin,3,5ACba

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）求)32sin(A的值．

3

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．

（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：

SA∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：平面BDE平面SAC．

17．（本小题满分13分）

计，随机抽取M名学生作对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统O S

A B C D E

频率/组距

15 25 20 10 0 30 次数 a

4 为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

出表中,Mp及图中a的值； （Ⅰ）求（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区数在区间[10, 15)内的人数； 服务的次（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的中任选2概率．

18．（本小题满分13分）

设aR，函数233)(xaxxf．

（Ⅰ）若2x是函数)(xfy的极值点，求实数a的值；

（Ⅱ）若函数()()xgxefx在]2,0[上是单调减函数，求实数a的取值范围．

分组 频数 频率

[10,15) 10 0.25

[15,20) 24 n

[20,25) m p

[25,30) 2 0.05

合计 M 1

5

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C的两焦点为)0,1(1F，)0,1(2F，并且经过点23,1M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知圆O:122yx，直线l:1nymx，证明当点nmP,在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

6

20．（本题满分13分）

对于给定数列{}nc，如果存在实常数,pq使得1nncpcq对于任意*nN都成立，我们称数列{}nc是“T数列”．

（Ⅰ）若nan2，32nnb，*nN，数列{}na、{}nb是否为“T数列”？若是，指出它对应的实常数,pq，若不是，请说明理由；

（Ⅱ）证明：若数列{}na是“T数列”，则数列}{1nnaa也是“T数列”；

（Ⅲ）若数列{}na满足12a，)(23*1Nntaannn，t为常数．求数列{}na前2013项的和．

7

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A C C A

C

D A

C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．),0[ 10．2011i

11．33

12．]2,1(

13．)0,31[

14．936

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A、B、C的所对应边分别为a,b,c，且.sin2sin,3,5ACba

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）求)32sin(A的值．

解：（Ⅰ）根据正弦定理，sinsincaCA,所以sin225sinCcaaA-------------5分

（Ⅱ）根据余弦定理，得22225cos25cbaAbc

于是25sin1cos5AA

8 从而4sin22sincos5AAA

223cos2cossin5AAA………12分

所以433sin(2)sin2coscos2sin33310AAA-------------------13分

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．

（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：

SA∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：平面BDE平面SAC．

证明：（Ⅰ）连接OE，由条件可得SA∥OE.

因为SAË平面BDE，OEÌ平面BDE，

所以SA∥平面BD.---------------------------------------------------7分

（Ⅱ）证明：由已知可得，SBSD,O是BD中点，

所以BDSO^，

又因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC^.

因为ACSOO，所以BDSAC面.

又因为BDBDE面，所以平面BDE平面SAC.-----------14分

17．（本小题满分13分）

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

出表中,Mp及图中a的（Ⅰ）求值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次[10, 15)内的人数； 数在区间（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间分组 频数 频率

[10,15) 10 0.25

[15,20) 24 n

[20,25) m p

[25,30) 2 0.05

合计 M 1 O S

A B C D E

O S

A B C D E

频率/组距

15 25 20 10 0 30 次数 a