高考-2019高考文科数学试题及答案

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设312iz i-=+，则||(z = ) A ．2B ．3C ．2D ．12．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(UBA = )A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}3．（5分）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151(0.61822--≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．（5分）函数2sin ()cos x xf x x x+=+的图象在[π-，]π的大致为( ) A ．B ．C ．D ．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，⋯，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．（5分）tan 255(︒= ) A ．23-B ．23-+C ．23D ．23+8．（5分）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 9．（5分）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．12A A=+ B ．12A A=+C ．112A A=+ D ．112A A=+10．（5分）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(bc= )A ．6B ．5C ．4D ．312．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）数学（文史类）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2019全国卷Ⅰ·文）设3i12iz -=+，则||z =（ ）A.2D.1【解析】因为3i (3i)(12i)17i12i (12i)(12i)5z ----===++-，所以||z =故选C.【答案】C2.（2019全国卷Ⅰ·文）已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,4,5}A =，{2,3,6,7}B =，则U B A =I ð（ ）A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【解析】因为{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,4,5}A =，所以{1,6,7}U A =ð. 又{2,3,6,7}B =，所以U B A =I ð{6,7}.故选C.【答案】C3.（2019全国卷Ⅰ·文）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【解析】由对数函数的单调性可得22log 0.2log 10a =<=，由指数函数的单调性可得0.20221b =>=，0.300.2100.2c <==<，所以a c b <<.故选B.【答案】B4.（2019全国卷Ⅰ·文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【解析】设某人身高为m cm ，脖子下端至肚脐的长度为n cm ， 则由腿长为105 cm，可得1050.618105m ->≈，解得169.890m >. 由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得260.618n >≈，解得42.071n <. 所以头顶到肚脐的长度小于2642.07168.071+=.68.072110.1470.618≈≈. 所以此人身高68.071110.147178.218m <+=. 综上，此人身高m 满足169.890178.218m <<. 所以其身高可能为175 cm.故选B. 【答案】B5.（2019全国卷Ⅰ·文）函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[π,π]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【解析】因为22sin()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x --+-==-=--+-+，所以()f x 为奇函数，排除选项A.令πx =，则22sin ()0cos 1f πππππππ+==>+-+，排除选项B ，C.故选D.【答案】D6.（2019全国卷Ⅰ·文）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,,1000L ，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生【解析】根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为100010100=. 因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的整数，结合选项知正确号码为616.故选C. 【答案】C7.（2019全国卷Ⅰ·文）tan255=o （ ）A.2--B.2-+C.2D.2【解析】1tan 45tan 3075tan(tan255tan(4530)2180)tan 71tan 45tan 305+++=+===+=-=ooo o o o o o o o .故选D. 【答案】D.8.（2019全国卷Ⅰ·文）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3 5π6【解析】设a ，b 的夹角为θ，因为()-⊥a b b ，所以()0-=g a b b ，即2||0-=g a b b .又||||cos ,||2||θ==g g a b a b a b ， 所以222||cos ||0θ-=b b ，所以1cos 2θ=. 又因为0θπ≤≤，所以3πθ=.故选B.【答案】B9.（2019全国卷Ⅰ·文）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.12A A=+ B.12A A =+C.112A A=+ D.112A A=+【解析】对于选项A ，第一次循环，1122A =+；第二次循环，112122A =++，此时3k =，不满足2k ≤，输出112122A =++的值.故A 正确；经验证选项B ，C ，D 均不符合题意.故选A.【答案】A10.（2019全国卷Ⅰ·文）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130o ，则C 的离心率为（ ）A.2sin40oB.2cos40oC.1sin50oD.1cos50o【解析】由题意可得tan130ba-=︒，所以11|cos130|cos50e ====︒︒.故选D.【答案】D11.（2019全国卷Ⅰ·文）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=（ ）A.6B.5C.4D.3【解析】因为sin sin 4sin a A b B c C -=，所以由正弦定理得2224a b c -=，即2224a c b =+.由余弦定理得222222222(4)31cos 2224b c a b c c b c A bc bc bc +-+-+-====-，所以6bc=.故选A. 【答案】A12.（2019全国卷Ⅰ·文）已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A.2212x y +=B.22132x y +=C.22143x y += D.22154x y += 【解析】设椭圆的标准方程为22221(0)bx y a b a +=>>，由椭圆定义可得11||||||4AF AB BF a ++=. 因为1||||AB BF =， 所以1||2||4AF AB a +=. 又22||2||AF F B =， 所以23||||2AB AF =，所以12||3||4AF AF a +=. 又因为12||||2AF AF a +=，所以2||AF a =. 所以A 为椭圆的短轴端点.如图，不妨设(0,)A b ，又2(1,0)F ，222AF F B =u u u u r u u u u r ，所以3,22b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将B 点坐标代入椭圆方程22221(0)b x y a b a +=>>，得2229144b ba +=，所以22223,2a b a c ==-=.所以椭圆C 的方程为22132x y +=.故选B.【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

高考精品文档高考全国甲卷文科数学·2019年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《文科数学》2019年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2 答案：A2．若(1i)2i z +=，则z=（ ） A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i 答案：D3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）A ．16B．14C．13D．12答案：D4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8答案：C5．函数()2sin sin2=-在[0，2π]的零点个数为（）f x x xA．2B．3C．4D．5答案：B6．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A．16B．8C．4D．2答案：C7．已知曲线e lnx=+在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）y a x xA．a=e，b=–1B．a=e，b=1C．a=e–1，b=1D．a=e–1，b=﹣1答案：D8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案：B9．执行下边的程序框图，如果输入的值为0.01，则输出S 的值等于（ ）A.4122-B.5122-C.6122-D.7122-答案：C10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．92答案：B11．记不等式组6,20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+≤．下面给出了四个命题：①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④ 答案：A12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则（ ）A ．f (log 314)＞f (322-)＞f (232-)B ．f (log 314)＞f (232-)＞f (322-)C ．f (322-)＞f (232-)＞f (log 314)D ．f (232-)＞f (322-)＞f (log 314)答案：C二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x = ，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==- ，所以{1A B =- ，0，1}，故选：A ．2．若(1)2z i i +=，则(z =)A ．1i--B ．1i -+C ．1i -D ．1i+【解答】解：由(1)2z i i +=，得22(1)12i i i z i -==+1i =+．故选：D ．3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A ．16B ．14C ．13D ．12【解答】解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有323212A A =种排法，再所有的4个人全排列有：4424A =种排法，利用古典概型求概率原理得：121242p ==，故选：D ．4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著．某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为()A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出韦恩图，得：∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：700.7100=．故选：C ．5．函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为()A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数，即：2sin sin 20x x -=在区间[0，2]π的根个数，即2sin sin 2x x =，令左右为新函数()h x 和()g x ，()2sin h x x =和()sin 2g x x =，作图求两函数在区间[0，2]π的图象可知：()2sin h x x =和()sin 2g x x =，在区间[0，2]π的图象的交点个数为3个．故选：B ．6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a =)A ．16B ．8C ．4D ．2【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由前4项和为15，且53134a a a =+，有231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎪⎨=+⎪⎩，∴112a q =⎧⎨=⎩，∴2324a ==，故选：C ．7．已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则()A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-【解答】解：x y ae xlnx =+的导数为1x y ae lnx '=++，由在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，可得102ae ++=，解得1a e -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-，故选：D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线【解答】解： 点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，BM ∴⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，BM 是BDE ∆中DE 边上的中线，EN 是BDE ∆中BD 边上的中线，∴直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则2BD a =，2235244BE a a a =+=，62BM a ∴=，223144EN a a a =+=，BM EN ∴≠，故选：B ．9．执行如图所示的程序框图，如果输入ò为0.01，则输出的s 值等于()A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-【解答】解：第一次执行循环体后，1s =，12x =，不满足退出循环的条件0.01x <；再次执行循环体后，112s =+，212x =，不满足退出循环的条件0.01x <；再次执行循环体后，211122s =++，312x =，不满足退出循环的条件0.01x <；⋯由于610.012>，而710.012<，可得：当261111222s =++++⋯，712x =，此时，满足退出循环的条件0.01x <，输出2661111122222s =+++⋯=-．故选：C ．10．已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为()A ．32B ．52C ．72D ．92【解答】解：如图，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则3c =，则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得P ，5)3．5sin 9POF ∴∠=．则15533292OPF S ∆=⨯⨯⨯=．故选：B ．11．记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-⎩ 表示的平面区域为D ．命题:(,)p x y D ∃∈，29x y + ；命题:(,)q x y D ∀∈，212x y + ．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是()A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【解答】解：作出等式组6,20x y x y +⎧⎨-⎩的平面区域为D ．在图形可行域范围内可知：命题:(,)p x y D ∃∈，29x y + ；是真命题，则p ⌝假命题；命题:(,)q x y D ∀∈，212x y + ．是假命题，则q ⌝真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p q ∨真；②p q ⌝∨假；③p q ∧⌝真；④p q ⌝∧⌝假；故答案①③真，正确．故选：A ．12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则()A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log (2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>【解答】解：()f x 是定义域为R 的偶函数∴331(log )(log 4)4f f =，33log 4log 31>= ，2303202221--<<<<=，23323022log 4--∴<<<()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴233231(2)(2)()4f f f log -->>，故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】由题意得，{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2.若(1i)2i z +=，则z =（ ） A. 1i -- B. 1+i -C. 1i -D. 1+i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可. 【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）A.16B.14C.13D.12【答案】D 【解析】 【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ． 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A. 0.5 B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0．7．故选C ．【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．5.函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得s i n 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3．．故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A. 16 B. 8C. 4D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】应用等比数列前n 项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错．7.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A. ,1a e b ==- B. ,1a e b == C. 1,1a e b -== D. 1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：/ln 1,xy ae x =++/11|12x k y ae a e=-==+=∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A. BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B. BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C. BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D. BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】BDE ∆∵，N 为BD 中点M 为DE 中点，∴BM ，EN 共面相交，选项C ，D 为错．作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCE ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知012EO N EN ===，522MF BF BM ===∴==． BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系.9.执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于（ ）A. 4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果. 【详解】11.0,01,0.01?2x S S x ===+=<不成立1101,0.01?24S x =++=<不成立611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<成立 输出767111112121122212S -⎛⎫=++⋯+==- ⎪⎝⎭-，故选D ． 【点睛】循环运算，何时满足精确度成为关键，加大了运算量，输出前项数需准确，此为易错点．10.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则O P F 的面积为（ ） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y，则2200145x y -=①．又3OP OF ==，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =，0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=．故选B ． 【点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．11.记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+….给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ①②C. ②③D. ③④【答案】A【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题. 【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ，则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．【点睛】本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度．不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假．12.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A. 233251log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. 233281log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23325122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23325122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．3023log 4122-∴>=>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b <>=___________.【答案】10- 【解析】 【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】详解：22826cos ,102a b a b a b⨯-+⨯<>===-+． 【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目，难度偏易．不能正确使用平面向量坐标的运算致误，平面向量的夹角公式是破解问题的关键．14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【答案】100 【解析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果. 【详解】详解： 317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，难度不大．不能构造等数列首项和公差的方程组致使求解不通，应设出等差数列的公差，为列方程组创造条件，从而求解数列的和．15.设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】( 【解析】 【分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,36,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．122212,4MF MF a MF +===．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F SF F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x=（03x =-舍去）， M\坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .【答案】118．8 【解析】 【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】由题意得，四棱锥O-EFGH 的底面积为2146423122cm ⨯-⨯⨯⨯=，其高为点O 到底面11BB C C 的距离为3cm ，则此四棱锥的体积为211123123V cm =⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为22466144V cm =⨯⨯=，所以该模型体积为22114412132V V V cm =-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【点睛】此题牵涉到的是3D 打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C 的估计值为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】(1) 0.35a =，0.10b =；(2) 4.05，6. 【解析】 【分析】(1)由()0.70P C =可解得a 和b 的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得0.200.150.70a ++=，解得0.35a =，由0.050.151()10.70b P C ++=-=-，解得0.10b =.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，乙离子残留百分比的平均值为0.0530.1040.1550.3560.2070.1586⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1225得到ABC S 关于C 的函数，由于V ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【详解】(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=。

绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题目时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设3i12iz ，则z =A ．2B C D ．12．已知集合 1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ，，，则U B A ∩ðA ．1,6B ．1,7C ．6,7D ．1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ，则A ．a b cB ．a c bC ．c a bD ．b c a4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x在[—π，π]的图像大致为A ．B．C．D ．6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ） b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12AB ．A =12AC ．A =112AD ．A =112A10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50D ．1cos5011．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B ，1||||AB BF ，则C 的方程为A ．2212x y B ．22132x y C ．22143x y D ．22154x y 二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷） 文科数学1.设集合{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，则=⋂B A ( ) A. ),1(+∞- B. )2,(-∞ C. )2,1(- D. φ2. 设(2)z i i =+，则z = ( ) A. 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3. 已知向量(2,3)=a ， (3,2)=b ，则-=a b （ ）B. 2C. D. 504. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）A.23 B. 35C. 25D. 155. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6. 设()f x 为奇函数，且当0≥x 时，()1=-xf x e ，则当0<x 时，()=f x （ ） A. 1--x e B. 1-+x e C. 1---x e D . 1--+x e7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面8. 若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=A ．2B. 32C. 1D.129.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.810. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A. 10x y π---= B. 2210x y π---= C. 2210x y π+-+= D. 10x y π+-+=11. 已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A.15D.512.设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，0为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若PQ OF =,则C 的离心率为:A.2B.3C.2D.5 二、填空题13. 若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则3z x y =-的最大值是 .14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin cos 0b A a B +=，则B = . 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)三、解答题17.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥. （1）证明：BE ⊥平面11EB C（2）若1AE AE =,3AB =,求四棱锥11E BB C C -的体积.18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，162,2231+==a a a . (1)求{}n a 的通项公式：(2)设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和.19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[)0.20,0-[)0,0.20[)0.20,0.40 [)0.40,0.60 [)0.60,0.80企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01） 748.602≈.20. 已知12,F F 是椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF ∆的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.21. 已知函数()(1)ln 1=---f x x x x .证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0=f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.四、选做题（2选1）22.在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知 ()|||2|()f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集： （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 得取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷 ）文科数学答 案1. 答案：C 解析：{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，∴）（2,1-=⋂B A .2. 答案：D 解析：因为(2)12z i i i =+=-+，所以12z i =--. 3. 答案：A 解答：由题意知(1,1)-=-a b ，所以2-=a b .4. 答案：B 解答：计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()()2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B ,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为35.5.答案：A 解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果. 6. 答案：D 解答：当0<x 时，0->x ，()1--=-xf x e ，又()f x 为奇函数，有()()1-=--=-+xf x f x e .7. 答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案. 8.答案：A 解答：由题意可知32442T πππ=-=即T=π,所以=2ω. 9.答案：D 解析：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p22=，∴8=p . 10. 答案：C 解析：因为2cos sin y x x '=-，所以曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线斜率为2-， 故曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为2210x y π+-+=. 11. 答案：B 解答：(0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos α==，所以sin α==. 12. 答案：A解析：设F 点坐标为)0,2c （，则以OF 为直径的圆的方程为2222)2⎪⎭⎫⎝⎛=+-c y c x （-----①，圆的方程222a y x =+-----②，则①-②，化简得到c a x 2=，代入②式，求得caby ±=，则设P 点坐标为),2c ab c a （，Q 点坐标为),2c ab c a -（，故cab PQ 2=，又OF PQ =,则,2c cab=化简得到2222b a c ab +==，b a =∴，故2222==+==aaa b a a c e .故选A. 二、填空题 13. 答案：9 解答：根据不等式组约束条件可知目标函数3z x y =-在()3,0处取得最大值为9. 14.答案：0.98 解答：平均正点率的估计值0.97100.98200.99100.9840⨯+⨯+⨯==.15.答案：34π 解析：根据正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B +=,即()sin sin cos 0A B B +=，显然sin 0A ≠，所以sin cos 0B B +=，故34B π=.16.答案：1 解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解. 三、解答题 17.答案： （1）看解析 （2）看解析 解答：（1）证明：因为11B C C ⊥面11A B BA ，BE ⊥面11A B BA∴11B C BE ⊥ 又1111C E B C C ⋂=，∴BE ⊥平面11EB C ；（2）设12AA a =则 229BE a =+，22118+a C E =，22194C B a =+ 因为22211=C B BE C E + ∴3a =，∴11111h 3E BB C C BB C C V S -=1363=183=⨯⨯⨯ 18.答案： （1）122-=n n a ； （2）2n解答：(1)已知162,2231+==a a a ，故162121+=q a q a ，求得4=q 或2-=q ，又0>q ，故4=q ，则12111242---=⋅==n n n n q a a .(2)把n a 代入n b ，求得12-=n b n ，故数列{}n b 的前n 项和为22)]12(1[n nn =-+.19. 答案： 详见解析 解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721100100+=， 这类企业中产值负增长的企业比例是2100. （2）这类企业产值增长率的平均数是()0.1020.10240.30530.50140.7071000.30-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=⎡⎤⎣⎦这类企业产值增长率的方差是()()()()()222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296⎡⎤--⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯÷=⎣⎦所以这类企业产值增长率的标准差是28.6020.172040.17100==⨯=≈. 20. 答案： 详见解析 解答:（1）若2POF ∆为等边三角形，则P 的坐标为,22c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，代入方程22221x y a b +=，可得22223144c c a b+=，解得24e =±1e =. （2）由题意可得122PF PF a +=，因为12PF PF ⊥，所以222124PF PF c +=， 所以()22121224PF PF PF PF c +-⋅=，所以222122444PF PF a c b ⋅=-=，所以2122PF PF b ⋅=，所以122121162PF F S PF PF b ∆=⋅==，解得4b =. 因为()212124PF PF PF PF +≥⋅，即()21224a PF PF ≥⋅，即212a PF PF ≥⋅，所以232a ≥，所以a ≥21. 答案：见解析解答：（1）1()ln (0)'=->f x x x x ，设1()ln =-g x x x ，211()0'=+>g x x x则()g x 在(0,)+∞上递增，(1)10=-<g ，11(2)ln 2ln 022=->=g ， 所以存在唯一0(1,2)∈x ，使得00()()0'==f x g x ，当00<<x x 时，0()()0<=g x g x ，当0>x x 时，0()()0>=g x g x ，所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)+∞x 上递增，所以()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知存在唯一0(1,2)∈x ，使得0()0'=f x ，即001ln =x x ， 00000000011()(1)ln 1(1)1()0=---=---=-+<f x x x x x x x x x ， 22221113()(1)(2)110=----=->f e e e e，2222()2(1)130=---=->f e e e e ， 所以函数()f x 在0(0,)x 上，0(,)+∞x 上分别有一个零点.设12()()0==f x f x ，(1)20=-<f ，则1021<<<x x x ，有1111111(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 2222221(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 设1()ln 1+=--x h x x x ，当0,1<≠x x 时，恒有1()()0+=h x h x， 则12()()0+=h x h x 时，有121=x x .22.答案：（1）0ρ=l 的极坐标方程：sin()26πρθ+=；（2）P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 解析：（1）当03πθ=时，00=4sin 4sin 3πρθ==以O 为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M ，(4,0)A，OM k =，则直线l的斜率3k =-，由点斜式可得直线l：(4)3y x =--，化成极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）∵l OM ⊥∴2OPA π∠=，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，化成极坐标方程为=4cos ρθ，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ=⎧⎨=⎩可得4πθ=，∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 23.答案（1）看解析（2）看解析解答：（1）当1a =时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+--=-<<⎨⎪-+-≤⎩所以不等式()0f x <等价于224202x x x ⎧-+<⎨≥⎩或22012x x -<⎧⎨<<⎩或224201x x x ⎧-+-<⎨≤⎩解得不等式的解集为{}2x x <。

2019年全国各地高考文科数学试题汇总及详细答案全国I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

3-1I |1.设一，则 _■()1 + 21 1 1A •一B.门 c. u ：_■D.-【答案】C3-1 (3-1)0-3) 1-712.已知集合 U 二(12,3,4,5,6,7)，肛｛2JA5｝，弘｛2^7｝，则()A. B. I- C.【答案】C【解析】：，则一一，又：，则 旳心6刀 ，故选C.3.已知- =log 20.2，归2叮，亡=0呼，则（）B. .； ■ : ■:C.U ： D.： ■- : ■- 一：【答案】B【解析】 由对数函数的图像可知： a = log 20.2 <0 ；再有指数函数的图像可知：j _■!，（I II /■':，于是可得到：_;「：•"•4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是所以2【解析】因为二一1+21 (1 + 21)(1-21) 5D. I.-2（「一 . 称为黄金分割比例），著名的 断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的2A ・ 1」… B. 1 _1 ... C. 1」二］D.「.二 1【答案】B 【解析】方法设头顶处为点，咽喉处为点丄’，脖子下端处为点，肚脐处为点门，腿根处为点丄, 足底处为■ ' , --2“久+ 1故」:；所以身高I . .■' ' +''-,将.「代入可得:.乂 2_'根据腿长为［匸〔工 ，头顶至脖子下端的长度为26cm 可得AB <AC ，丽〉册； 即-■,> 10：，将代入可得 ji ■ '2 2所以「「」〔._，故选B. 方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近, 为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为1 ._i...，头顶至脖子下端的长度为，则其身咼可能是（根据题意可知 AB ~BD-■',故..心-“；；又 丄二一二」一 ？二—. I ： 故头顶至脖子下端的长度:可估值 ）（, .称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为 ;将人体的头顶至咽喉的2长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为 ：.品『| ,头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是土」可计算出肚脐至足底的长度约为］；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可2得到身高约为I |-f .,与答案I '-| -r ,更为接近，故选B.5.函数… 在［的图像大致为（）cos i+x【答案】Dsmi-Al-Asinx+x和、【解析】•••」cos （-z ）+（-x ）COST +X••• I 〕为奇函数，排除A.6.某学校为了解 1000 名新生的身体素质， 将这些学生编号为 12.3/JOOO ,从这些新生中用系统 抽样方法等距抽取 1二〕名学生进行体质测验，若 上号学生被抽到，则下面 -名学生中被抽到的是 （ ）.A. ；号学生B. _ .丨号学生排除C ,sinTT+iicosn +-■",排除B ，故选D.C...-：. 号学生D.81 5号学生【答案】C【解析】从］..11名学生中抽取］.I名，每］人抽一个，.二号学生被抽到，则抽取的号数就为lit—-I :_卜I,可得出叮：号学生被抽到.7•乩… （）A. _C. 一匚【答案】D B. _ ■ JD._匚【解析】因为:：T.I；；.' -tan45°+tan 30°1-tan 45°tan 30°化简可得丄…-一-匚8.已知非零向量孑，/满足15 = 2|A |，且®—方）丄6，则孑与5的夹角为（）A.2nC. 一35nD.6【答案】B【解析】T|讣2|引，且位-易丄$，. （a-i））b = 0，有孑2-|时二0，设F与:的夹角为0,则有|升|引忆£0-国卜0,即2|肝宓0-|肝二0, |讦（2血0-1）二0,门孙0，•:JI + 71打，故.「与】的夹角为，选「” .9.下图是求-;=■----2+2的程序框图，图中空白框中应填入（【答案】A【解析】把选项代入模拟运行很容易得出结论【答案】D11. 」 的内角的对边分别为 ，已知存辿虫-binR 二4亡乩nC , 8£虫=-十，A.6B.5C.4D.3【答案】A【解析】由正弦定理可得到.「，即'「+ LA. !丄2+£D..1 +2卫选项A 代入运算可得选项B 代入运算可得选项C 代入运算可得缶—厂、卄. ，满足条件，2+- 24-2+1 ,不符合条件,Z T —!2选项D 代入运算可得x y10.双曲线— :.?.的一条渐近线的倾斜角为a bI-，则「的离心率为（ ）A._；- ：H-B._j< ：H-1 C.sin1D. ----------cos 【解析】根据题意可知r ：'i'，所以二!_aacos sin J50° |cos J50°+5111^0° + cos a50°co? 50 1 __1 co? 50ccos 50离心率：又由余弦定理可得到：■ ■ ■- ，于疋可得到 —■-2bc 4 £12. 已知椭圆1的焦点坐标为 张1』）'岛（14）， 过r 的直线与_r 交于」，”两点，若阀“也|，⑷卜阴|， 则c 的方程为（）5 4【答案】B【解析】由pl 再|=2協国，由卜0引，设卩詞二x ，则肚爲|=2買，纠|=3x ，根据椭圆的定义 二丄-二|二--，所以厂，因此点」即为椭圆的下顶点，因为 _所以点』坐标为：三二；，将坐标代入椭圆方程得 ——I -【，解得j ，故答案选B .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题目时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设3i12iz ，则z =A ．2B C D ．12．已知集合 1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ，，，则U B A ∩ðA ．1,6B ．1,7C ．6,7D ．1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ，则A ．a b cB ．a c bC ．c a bD ．b c a4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x在[—π，π]的图像大致为A ．B．C．D ．6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ） b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12AB ．A =12AC ．A =112AD ．A =112A10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50D ．1cos5011．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B ，1||||AB BF ，则C 的方程为A ．2212x y B ．22132x y C ．22143x y D ．22154x y 二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（含答案）本试卷共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=A B ．2C ．D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23 B ．35 C ．25D ．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15BCD12．设F为双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为ABC．2 D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x，y满足约束条件23603020x yx yy⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z=3x–y的最大值是___________.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.15．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A+a cos B=0，则B=__________ _.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分。

绝密★启用前河南省2019年高考文科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）含详细解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=()A. {−1,0，1}B. {0,1}C. {−1,1}D. {0,1，2}2.若z(1+i)=2i，则z=()A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A. 16B. 14C. 13D. 124.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为()A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85.函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数为()A. 2B. 3C. 4D. 56.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=()A. 16B. 8C. 4D. 27.已知曲线在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则()A. a=e，b=−1B. a=e，b=1C. a=e−1，b=1D. a=e−1，b=−18.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A. BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9. 执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于( )A. 2−124 B. 2−125 C. 2−126 D. 2−12710. 已知F 是双曲线C ：x 24−y 25=1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若|OP|=|OF|，则△OPF 的面积为( )A. 32B. 52C. 72D. 9211. 记不等式组{x +y ≥62x −y ≥0表示的平面区域为D.命题p ：∃(x,y)∈D ，2x +y ≥9；命题q ：∀(x,y)∈D ，2x +y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②￢p ∨q ③p ∧￢q ④￢p ∧￢q ，这四个命题中，所有真命题的编号是( )A. ①③B. ①②C. ②③D. ③④12. 设f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则( )A. f(log 314)>f(2−32)>f(2−23) B. f(log 314)>f(2−23)>f(2−32) C. f(2−32)>f(2−23)>f(log 314) D. f(2−23)>f(2−32)>f(log 314) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量a ⃗ =(2,2),b ⃗ =(−8,6)，则cos <a ⃗ ,b ⃗ >=___________．14. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3=5,a 7=13，则S 10=___________．15. 设F 1，F 2为椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用的材料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________g．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．18.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．19.图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．20.已知函数f(x)=2x3−ax2+2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M−m的取值范围．21.已知曲线C：y=x22，D为直线y=−12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E(0,52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．22.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(√2,π4)，C(√2,3π4)，D(2,π)，弧AB⏜，BC⏜，CD⏜所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,π2)，(1,π)，曲线M1是弧AB⏜，曲线M2是弧BC⏜，曲线M3是弧CD⏜．(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=√3，求P的极坐标．23.设x，y，z∈R，且x+y+z=1．(1)求(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；(2)若(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥13成立，证明：a≤−3或a≥−1．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题．求出B中的不等式，找出A与B的交集即可．【解答】解：因为A={−1,0，1，2}，B={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，所以A∩B={−1,0，1}，故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数代数形式的乘法和除法法则，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z(1+i)=2i，得z=2i1+i=2i(1−i)2=1+i．故选D．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查排列应用，考查古典概型的计算，属于较易题．方法一：首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，可得到答案．方法二：将所有的排列情况写出，根据古典概型求概率原理，求出两位女同学相邻的概率．【解答】解：方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有A33A22=12种排法，再所有的4个人全排列有：A44=24种排法，利用古典概型求概率原理得：P=1224=12；方法二：假设两位男同学为A、B，两位女同学为C、D，所有的排列情况有24种，如下：(ABCD)、(ABDC)、(ACBD)、(ACDB)、(ADCB)、(ADBC)、(BACD)、(BADC)、(BCAD)、(BCDA)、(BDAC)、(BDCA)、(CABD)、(CADB)、(CBAD)、(CBDA)、(CDAB)、(CDBA)、(DABC)、(DACB)、(DBAC)、(DBCA)、(DCAB)、(DCBA)，其中两位女同学相邻的情况有12种，分别为：(ABCD)、(ABDC)、(ACDB)、(ADCB)、(BACD)、(BADC)、(BCDA)、(BDCA)、(CDAB)、(CDBA)、(DCAB)、(DCBA)，故两位女同学相邻的概率是：P=1224=12．【解析】【分析】本题考查该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查Venn 图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 作出Venn 图，得到100名学生中阅读过《西游记》的学生人数为70人，由此能求出该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值． 【解答】解：根据题意作出Venn 图，得：∴100名学生中阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：70100=0.7．故选：C ． 5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题． 解函数f(x)=2sinx −sin2x =0，在[0,2π]的解，即2sinx =sin2x 令左右为新函数ℎ(x)和g(x)，作图求两函数在区间的交点即可． 【解答】解：函数f(x)=2sinx −sin2x 在[0,2π]的零点个数， 即：2sinx −sin2x =0在区间[0,2π]的根个数， 即2sinx =sin2x ，令左右为新函数ℎ(x)和g(x)， ℎ(x)=2sinx 和g(x)=sin2x ，作图求两函数在区间[0,2π]的图象可知：ℎ(x)=2sinx 和g(x)=sin2x ，在区间[0,2π]的图象的交点个数为3个． 故选：B ．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，根据条件可得{a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=15a 1q 4=3a 1q 2+4a 1，解方解：设等比数列{a n }的公比为q(q >0)， 则由前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1， 有{a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=15a 1q 4=3a 1q 2+4a 1,∴{a 1=1q =2, ∴a 3=22=4，故选C ． 7.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，属于基础题．求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae +1+0=2，可得a ，进而得到切点，代入切线方程可得b 的值． 【解答】解：y =ae x +xlnx 的导数为y′=ae x +lnx +1， 由在点(1,ae)处的切线方程为y =2x +b ， 可得ae +0+1=2，解得a =e −1，故切点为(1,1)，可得1=2+b ，即b =−1． 故选D ． 8.【答案】B【解析】【分析】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．推导出BM 是△BDE 中DE 边上的中线，EN 是△BDE 中BD 边上的中线，从而直线BM ，EN 是相交直线，设DE =a ，通过计算得到BM ≠EN ． 【解答】解：连接BD ，∵点N 为正方形ABCD 的中心，则N 为BD 中点， 又M 是线段ED 的中点，∴BM ⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，∵BM 是△BDE 中DE 边上的中线，EN 是△BDE 中BD 边上的中线， ∴直线BM ，EN 是相交直线，取CD 中点F ，连接EF ，BF ，FN ，则CD ⊥EF ，∵平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD =CD ，EF 在平面ECD 内， ∴EF ⊥平面ABCD ，又BF 、FN 在平面ABCD 内，∴EF ⊥BF ，EF ⊥FN ，设DE =a ，则BD =√2a ，EF =√32a ，BF =√52a ，FN =12a ，则BE =√34a 2+54a 2=√2a ，∴BM ⊥DE ，∴BM =√72a ，EN =√34a 2+14a 2=a ，∴BM ≠EN ， 故选B ． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，s=1，x=12，不满足退出循环的条件x<0.01；再次执行循环体后，s=1+12，x=122，不满足退出循环的条件x<0.01；再次执行循环体后，s=1+12+122，x=123，不满足退出循环的条件x<0.01；…由于126>0.01，而127<0.01，可得：当s=1+12+122+⋯+126，x=127，此时，满足退出循环的条件x<0.01，输出s=1+12+122+⋯+126=2−126．故选：C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：x24−y25=1的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．【解答】解：如图，不妨设F为双曲线C：x24−y25=1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2=4，b2=5，则c=√a2+b2=3，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2=9．联立{x2+y2=9x24−y25=1，解得P(2√143,53).∴S△OPF=12×3×53=52．故选：B．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的有关判定、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由不等式组{x +y ≥6,2x −y ≥0画出平面区域为D.再由或且非逻辑连词连接的命题判断真假即可． 【解答】解：作出等式组{x +y ≥6,2x −y ≥0的平面区域为D.在图形可行域范围内可知：命题p ：∃(x,y)∈D ，2x +y ≥9；是真命题，则￢p 假命题； 命题q ：∀(x,y)∈D ，2x +y ≤12.是假命题，则￢q 真命题； 所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p ∨q 真；②￢p ∨q 假；③p ∧￢q 真；④￢p ∧￢q 假； 故答案①③真，正确． 故选A ． 12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是对指数函数和对数函数单调性的灵活应用，属基础题．根据log 34>log 33=1，0<2−32<2−23<20=1，结合f(x)的奇偶性和单调性即可判断． 【解答】解：∵f(x)是定义域为R 的偶函数， ∴f(log 314)=f(log 34)，∵log 34>log 33=1，0<2−32<2−23<20=1， ∴0<2−32<2−23<log 34， f(x)在(0,+∞)上单调递减， ∴f(2−32)>f(2−23)>f(log 314)， 故选：C ．13.【答案】−√210【解析】解：a ⃗ ⋅b ⃗ =2×(−8)+2×6=−4， |a ⃗ |=√22+22=2√2， |b ⃗ |=√(−8)2+62=10， cos <a ⃗ ，b ⃗ >=2√2×10=−√210．故答案为：−√210数量积的定义结合坐标运算可得结果本题考查数量积的定义和坐标运算，考查计算能力．14.【答案】100【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和，是基础的计算题，属基础题． 由已知求得首项与公差，代入等差数列的前n 项和公式求解． 【解答】解：在等差数列{a n }中，由a 3=5，a 7=13，得d =a 7−a 37−3=13−54=2，∴a 1=a 3−2d =5−4=1． 则S 10=10×1+10×9×22=100．故答案为100． 15.【答案】(3,√15)【解析】【分析】本题主要考查椭圆的方程，考查分类讨论思想方法，属于中档题．设M(m,n)，m ，n >0，求得椭圆的a ，b ，c ，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|>|MF 2|，△MF 1F 2为等腰三角形，可能|MF 1|=2c 或|MF 2|=2c ，分类讨论即可得出M 的坐标． 【解答】解：设M(m,n)，(m,n >0)， 由椭圆C ：x 236+y 220=1可得，a =6，b =2√5，c =4，则取F 1(−4,0),F 2(4,0)，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|>|MF 2|， △MF 1F 2为等腰三角形，可能|MF 1|=2c 或|MF 2|=2c ，所以{m 236+n 220=1(m +4)2+n 2=64或{m 236+n 220=1(m −4)2+n 2=64, 解得{m =3n =√15, 所以M(3,√15). 故答案为(3,√15). 16.【答案】118.8【解析】【分析】本题考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，属于中档题．该模型体积为V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V O−EFGH =132(cm 3)，再由3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量． 【解答】解：该模型为长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，AB =BC =6cm ，AA 1=4cm ， ∴该模型体积为：V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V O−EFGH =6×6×4−13×(4×6−4×12×3×2)×3=144−12=132(cm 3)，∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9=118.8(g)．故答案为118.8．17.【答案】解：(1)C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：{a+0.20+0.15=0.70.05+b+0.15=1−0.7,解得乙离子残留百分比直方图中a=0.35，b=0.10．(2)估计甲离子残留百分比的平均值为：x甲=2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值为：x乙=3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15=6．【解析】本题主要考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a，b．(2)利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．18.【答案】解：(1)asin A+C2=bsinA，即为asinπ−B2=acos B2=bsinA，可得sinAcos B2=sinBsinA=2sin B2cos B2sinA，∵sinA>0，∴cos B2=2sin B2cos B2，若cos B2=0，可得B=(2k+1)π，k∈Z不成立，∴sin B2=12，由0<B<π，可得B=π3；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，由余弦定理可得b=√a2+1−2a⋅1⋅cosπ3=√a2−a+1，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，解得12<a<2，可得△ABC面积S=12ac⋅sinπ3=√34a∈(√38,√32).【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和诱导公式，以及化简运算能力，属于中档题．(1)运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；(2)运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+ a2−a+1>a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．19.【答案】(1)证明：由已知可得AD//BE，CG//BE，即有AD//CG，则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面；由四边形ABED为矩形，可得AB⊥BE，由△ABC为直角三角形，可得AB⊥BC，又BC∩BE=E，BC⊂平面BCGE，BE⊂平面BCGE，可得AB⊥平面BCGE，AB⊂平面ABC，可得平面ABC⊥平面BCGE；(2)解：连接BG，AG，由AB⊥平面BCGE，BG⊂平面BCGE，可得AB⊥BG，在△BCG中，BC=CG=2，∠BCG=120°，可得BG=2BCsin60°=2√3，可得AG=√AB2+BG2=√13，在△ACG中，AC=√5，CG=2，AG=√13，可得cos∠ACG=2×2×√5=−√5，即有sin∠ACG=√5，由(1)可得：AD//CG且AD=CG=2，所以四边形ACGD为平行四边形，则平行四边形ACGD的面积为2×√5×2√5=4．【解析】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，注意运用平面几何的性质，考查推理能力，属于中档题．(1)运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，即可得证；(2)连接BG，AG，由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可得所求值．20.【答案】解：(1)f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a)，令f′(x)=0，得x=0或x=a3．若a>0，则当x∈(−∞,0)∪(a3,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(0,a3)时，f′(x)<0．故f(x)在(−∞,0)，(a3,+∞)上单调递增，在(0,a3)上单调递减；若a=0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；若a<0，则当x∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(a3,0)时，f′(x)<0．故f(x)在(−∞,a3)，(0,+∞)上单调递增，在(a3,0)上单调递减；(2)当0<a <3时，由(1)知，f(x)在(0,a 3)上单调递减，在(a3,1)上单调递增， ∴f(x)在区间[0,1]的最小值为f(a3)=−a 327+2，最大值为f(0)=2或f(1)=4−a ．于是，m =−a 327+2，M ={4−a,0<a <22,2≤a <3．∴M −m ={2−a +a 327,0<a <2a 327,2≤a <3．当0<a <2时，可知2−a +a 327单调递减，∴M −m 的取值范围是(827,2)；当2≤a <3时，a 327单调递增，∴M −m 的取值范围是[827,1)．综上，M −m 的取值范围[827,2)．【解析】本题主要考查导数的运算，运用导数研究函数的性质等知识和方法，考查函数思想和转化思想，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．(1)求出原函数的导函数，得到导函数的零点，对a 分类讨论原函数的单调性； (2)当0<a <3时，由(1)知，f(x)在(0,a3)上单调递减，在(a3,1)上单调递增，求得f(x)在区间[0,1]的最小值为f(a3)=−a 327+2，最大值为f(0)=2或f(1)=4−a.得到M −m ={2−a +a 327,0<a <2a 327,2≤a <3，分类求得函数值域，可得M −m 的取值范围．21.【答案】(1)证明：设D(t,−12)，A(x 1,y 1)，则x 12=2y 1，由于y ′=x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1−t=x 1，整理得：2tx 1−2y 1+1=0．设B(x 2,y 2)，同理可得2tx 2−2y 2+1=0． 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0． ∴直线AB 过定点(0,12)；(2)解：由(1)得直线AB 的方程y =tx +12．由{y =tx +12y =x22，可得x 2−2tx −1=0． 于是x 1+x 2=2t,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1． 设M 为线段AB 的中点，则M(t,t 2+12)，由于EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行， ∴t +(t 2−2)t =0，解得t =0或t =±1．当t =0时，|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4； 当t =±1时，|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2． 故该圆的方程为x 2+(y −52)2=4或x 2+(y −52)2=2．【解析】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)设D(t,−12)，A(x 1,y 1)，则x 12=2y 1，利用导数求斜率及两点求斜率求出直线AB 的方程为2tx −2y +1=0，再由直线系方程求直线AB 过的定点；(2)由(1)得直线AB 的方程y =tx +12，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB 的中点M(t,t 2+12)，再由EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得关于t 的方程，求得t =0或t =±1.然后分类求得|EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2或√2及所求圆的方程． 22.【答案】解：(1)由题设得，弧AB⏜，BC ⏜，CD ⏜所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，ρ=2sinθ，ρ=−2cosθ，则M 1的极坐标方程为ρ=2cosθ，(0≤θ≤π4)， M 2的极坐标方程为ρ=2sinθ，(π4≤θ≤3π4)，M 3的极坐标方程为ρ=−2cosθ，(3π4≤θ≤π)， (2)设P(ρ,θ)，由题设及(1)知，若0≤θ≤π4，由2cosθ=√3得cosθ=√32，得θ=π6，若π4≤θ≤3π4，由2sinθ=√3得sinθ=√32，得θ=π3或2π3， 若3π4≤θ≤π，由−2cosθ=√3得cosθ=−√32，得θ=5π6，综上P 的极坐标为(√3,π6)或(√3,π3)或(√3,2π3)或(√3,5π6).【解析】本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题．(1)根据弧AB ⏜，BC ⏜，CD ⏜所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,π2)，(1,π)，结合极坐标方程进行求解即可；(2)讨论角的范围，结合|OP|=√3进行求解即可得P 的极坐标．23.【答案】解：(1)x，y，z∈R，且x+y+z=1，由柯西不等式可得：(12+12+12)[(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2]≥(x−1+y+1+z+1)2=4，当且仅当x−1=y+1=z+1时等号成立，可得(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43，即有(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43；(2)证明：由x+y+z=1，柯西不等式可得：(12+12+12)[(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2]≥(x−2+y−1+z−a)2=(a+ 2)2，当且仅当x−2=y−1=z−a时等号成立，可得(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥(a+2)23，即有(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2的最小值为(a+2)23，由题意可得(a+2)23≥13，解得a≥−1或a≤−3．【解析】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．(1)运用柯西不等式可得所求最小值；(2)运用柯西不等式求得(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2的最小值，由题意可得13不大于最小值，解不等式可得所求范围．。