第4节地理趋势面分析
地理趋势面模型就是多维趋面的多项式拟合模型，它是趋势面拟合的重要而实用的方法之一，但只是有了计算机才能得以实现。
5.1地理趋势面分析概述
1 地理趋势面模型的概念
地理趋势面模型是以已知地理数据序列（含空间数据和属性数据）为基础，根据统计数学的最小二乘法原理和方法而建立的能反映地理要素空间分布趋势和分布规律的多项式型的回归模型。
2地理趋势面分析的概念
地理趋势面分析是指以研究和建立地理趋势面分析的数学模型并用于模拟或者拟合地理要素的空间分布及变化趋势的数理统计方法，主要含义如下：
1）地理趋势面分析的理论基础是数理统计学原理和方法；
2）地理趋势面分析的数据基础是地理数据，包含地理空间数据和属性数据；
3）地理趋势面分析的主要方法是多元回归分析法，即多元线性和多元非线性回归分析法，实质上还是数量统计学著名的最小二乘法；
4）地理趋势面分析的核心任务是地理趋势面模型的建立和求解； 5）地理趋势面分析的主要目的是研究和分析地理实体的空间分布规律、变化过程及变化规律；
6）地理趋势面分析的过程是资料收集与整理、模型建立和求解、
模型检验、地理分析；
3 地理趋势面与实际趋面的关系
地理趋势面实质上是一个数学曲面，它是地理趋势面模型的模拟
表达形式，其关系为：
实际曲面=趋势面+剩余曲面
对一点而言，就是：
实测值=确定性函数值+随机性函数值
=趋势值+剩余值
4 类型
地理趋势面数学模型的类型有多项式和富氏级两种，主要介绍多
项式，根据多项式的元数和次数又可分为：
二元一次多项式，二元二次多项式，二元三次多项式，……；
三元一次多项式，三元二次多项式，三元三次多项式，……；
. . . .
. . . .
. . . .
K元一次多项式， K元二元多项式，K元三次多项式，……。
通常选用多项式作为多项式趋势面分析数学模型，这是因为由数
学知识可知，任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼近，并可以
通过调整多项式的次数来满足趋势面分析的需要。一般来说，多项式
的次数越高，则趋势值越接近观测值，而剩余值越小。实践证明，一
般五至六次就足够了，否则会引起边界效应。
5.2 地理趋势面分析的数学模型
现在介绍多项式数学模型的建模原理及具体步骤。 1 基本原理
地理趋势面数学模型建立的基本原理仍采用最小二乘法原理，
如图5---12，（111P ），使每一个观测值i z 与趋势值i z
ˆ的剩余平方和最小，即：
min )ˆ(21=-=∑=n
i i z
z Q 其中：
i z ：为观测值
z
ˆ： 为预测值 其一般过程是：确定具体趋势面数学模型，线性化处理，建立多元线性回归模型，变换为多项式趋势面数学模型，地理分析。 通常采用多项式作为趋势面数学模型，这是因为由数学知识可知，任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼近，并可以通过调整多项式的次数来满足趋势面分析的需要。一般来说，多项式次数越高，则趋势值越接近观测值，而剩余值越小。实践经验表明，一般五---六次足够了，否则会产生边界效应。 2 地理趋势面数学模型
主要介绍二元和三元的多项式趋势面数学模型。
首先介绍二元多项式趋势面数学模型。趋势面图如图5—12所示。
1）一次多项式趋势面数学模型
空间分布呈倾斜平面。 （1）数学模型
其数学模型的一般形式为：
y b x b b z 210++= （2）建模方法
根据最小二乘法原理可得其正规方程组：
()()()()()()()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=++=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i z y b y b y x b y z x b y x b x b x z b y b x nb 22
102212
0210 解此方程组，就可求出参数0b 、1b 、2b 的值，即可建立一次多项式趋势面数学模型。
同理，可求得数据中心化的正规方程组的一般形式为：
⎩⎨⎧=+=+zy yy xy xz
xy xx L b L b L L b L b L 21
21
其中：y b x b z b 210--=
∑∑∑-=-=222)(1
)(i i i x x x n
x x x l
∑∑∑-=-=
22
2)(1)(i i i y y y n y y y l ∑∑∑-=-=
222)(1)(i i i z z z n z z z l
∑∑∑∑⋅-
=--=
i i i i i i
y x y x n
y x y y x x
l 1
))(( ∑∑∑∑⋅-
=--=
i i i i i i z x z x n
z x z z x x l 1
))((
∑∑∑∑⋅-
=--=
i i i i i i z y z y n
z y z z y y l 1
))(( M
M
2）二次多项式趋势面数学模型 空间分布呈抛物曲面。 （1）数学模型
其二次多项式趋势面数学模型的一般形式为： 25423210y b xy b x b y b x b b z +++++= （2）建模方法
根据最小二乘法原理可得其正规方程组，二次多项式趋势面数学模型正规方程组的一般形式为：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⋅++⋅++=⋅++⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+++⋅+=⋅+⋅+⋅+++=⋅+⋅++++=+++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i z y b y b y y x b y x b y y b y x b y z y x b y y x b y x b x y x b y y x b y x x b y x z x b y x b x y x b x b y x b x x b x z y b y y b y y x b y x b y b y x b y z x b y x b y x x b x x b y x b x b x z b y b y x b x b y b x nb (2544232222120252422322102522423422120252)
432221052
432212052432210 求解正规方程组可得参数0b 、1b 、2b 、3b 、4b 、5b 的值，既可建立二次多项式趋势面数学模型。
二次多项式趋势面数学模型数据中心化的正规方程组的一般形式为：
