第二章第三章习题课
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1. 考虑两个正弦波信号:
1()cos(6)gttp=和2()cos(14)gttp=;
以 20srad/sec对此信号进行离散化；然后使用截止频率为 max10rad/sec的理想低通滤波器恢复得到模拟信号如下 g1(t)，g2(t)；请给出对应的模拟信号。
解： g1(t) 满足 Nyquist 抽样定理，无信号的混叠。 g2(t)不满足 Nyquist 抽样定理，发生信号的混叠。恢复的模拟信号如下:
1122()cos(6)()cos(6)()cos(14)()cos(6)gttgttgttgttpppp=-->==-->=%%
2．设有模拟信号)(1txa=300)2000sin(t，)(2txa300)5000cos(t，用抽样sf=3000样值/秒分别对其进行抽样，则)()(11sanTxnx，)()(22sanTxnx的周期分别为多少?
解：1N= 3 ，2N= 6 。
3. 试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
00()() nmnynxmnn
解：线性、时变、非稳定、因果。
4. 试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
()()xnyne
解：(b) 非线性、时不变、稳定、因果。
考察点：DTFT性质
11.设信号()xn的傅里叶变换为()jwXe，利用傅里叶变换的定义或性质，求下列序列的傅里叶变换
（1）(1)xn （2）*()xn （3）*()xn （4）(2)xn （5）()nxn（6）2()xn
解答：（1）()jwjweXe
（2）*()jwXe
（3）*()jwXe
（4）()1[()()]2jjXeXe
（5）()jwdXejdw
（6）()1()*()2jjXeXed
12.如图所示序列()xn，设其DTFT为()jwXe，试利用DTFT的物理含义及性质，完成以下运算
（1）0()jXe （2）()jwXedw （3）()jXe
（4）确定并画出傅里叶变换为(())jweRXe的时间序列()exn （5）2|()|jwXedw （6）2()jwdXedwdw
解答：
1703737223(1)()()6(2)()(0)*24(3)()()(1)()2(4)Re(())()1()[()()]2(5)()2()28()(6)()()jnjwjjnnnnFjweejwnjFjXexnXedwxXexnexnXexnxnxnxnXedwxndXejnxnddXe27232()316ndnxnd
（4）
考察点：离散时间信号抽取
13.若()jwXe为()xn的傅里叶变换，()/()0knxnkxnk为整数其他，求()jwkXe
解答：
()()()()jwjwnjwkrjkwkknrXexnexreXe
考察点：DTFT性质
15.若序列()xn是实因果序列，已知傅里叶变换的实部为()1cosjwRXew，求序列()xn及其傅里叶变换()jwXe。
解答：
11()1cos12211()()(1)(1)221()[()()]2()()()(1)()1jwjwjwReejwjwXeweexnnnnxnxnxnxnxnnnXee因为为实因果序列
考察点：z变换收敛域判断及用留数法求Z反变换
17.已知1132()10.512Xzzz
（1）根据零极点分布，写出所有可能的收敛域；
（2）若系统稳定，用留数法求逆z变换；
（3）若系统因果非稳定，用留数法求逆z变换。
解答：
（1）()Xz有两个极点：120.5,2zz，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：
0.5,0.52,2zzz
（2）若系统稳定，则收敛域为0.52z 11157()(0.5)(2)01()Re[(),0.5]3()20.5,0()Re[(),2]22(1)1()3()22(1)2nnnnnnnnzXzzzzznxnsXzzncxnsXzzunxnun时， c内有极点0.5时，内有极点0，但0是n阶极点最后可得：
（3）若系统因果非稳定，则收敛域为2z
110,0.5,21()Re[(),0.5]Re[(),2]3()2220,()01()3()()22()2nnnnnnncxnsXzzsXzznxnxnunun内有极点；最后得到
考察点：留数法求逆z变换
18. 设2111(),,1(1)(1)aXzazaaazaz。试求()Xz的反变换。
解答：
根据收敛域是环状域，原序列为双边序列
22111111111()(1)(1)()()0()Re[(),]00,()Re[(),]0()0nnnnnnnnnaaXzzzzazazazazanxnsXzzaancaxnsXzzaaanxnan时， c内有极点z=a时，内有极点，但0是n阶极点最后可得： 1. 以2400Hz为采样频率对一模拟信号进行采样，得到序列()(1,1,1,1,1,1)xn；已知序列DTFT结果在频点2处的幅度为2，求采样信号在f=5400Hz处的幅度；另，对序列作8点DFT，求(2)X。
解：
54005400254009224002()()HzHzjjTXeXe
所以，采样信号在5400Hz处的幅度为2。
另，
6422752882800212(2)()()111jnnjjjjnneXXexneejje
2. 一FIR数字滤波器，其传递函数为123()10.50.40.4Hzzzz；利用DFT求该系统在0.8处的频率响应。
解：
其单位冲激响应为：
()(1,0.5,0.4,0.4)hn；
而5(2)X为所需结果，计算如下： 4552255022222232555(2)()()10.50.40.40.84270.2939jnjnjjjXXexneeeej
3. 对一实序列作8点DFT，已知：
(1)1.71.5(3)0.24.1(6)2XjXjXj
求(2),(5),(7)XXX。
解：
*****()
.. ()() 0 (2)(6)2 (5)(3)0.24.1 (7)(1)1.()((71.))5NxnieXkXNkwhenkXXjXXjXXjXkXk为实序列
4. 判断在下列序列中，哪些序列的DFT为实序列；哪些序列的DFT为纯复序列。
1234()(1,0.5,1,0,0,1,0.5)()(1,0.5,1,1,0,1,1,0.5)()(0,0.5,1,1,0,1,1,0.5)()(1,2,0,0,1,0,0,2)xnxnxnxn
解：若()Xk为实序列，则有**()()()(())NXkXkxnxn； 若()Xk为纯复序列，则有**()()()(())NXkXkxnxn；
有上述关系可知：
1()xn、2()xn的DFT为实序列；
3()xn的DFT为纯复序列；
4()xn的DFT为复序列；
3-16 已知()xn的长度为N，且(){()}XkDFTxn，现令：
()(()), 0(21)NynxnnN
求y(n)的2N点DFT。
解：
21202112122200111()222000(){()}()(())(())(())()()1(1)()NnkNnNNNnknknkNNNNNNnnnNNNNnknNkknkNNNnnnYkDFTynynWxnWxnWxnWxnWxnWxnW
2(),k() 0(21)20kkXYkkN为偶数，为奇数
3-17 已知序列()xn的长度为8，其8点DFT结果如图P3.3(a)所示。就下述各序列而言，分别确定在图P3.3(b)至图P3.3(f)中，哪张图能反映其16点DFT结果：
(1) ()(), 01520nx n ynn n 为偶数为奇数
(2) 8()(()), 015ynxnn； (3) 416()(), 01520nnxW n ynn n 为偶数为奇数
图P3.3(a)
图P3.3(b)
图P3.3(c)
图P3.3(d) 图P3.3(e)
图P3.3(f)
解：
(1)
()(), 01520nx n ynn n 为偶数为奇数
157168800(){()}()()(())nknknnYkDFTynynWxnWXk
故选图P3.3(c)
(2) 据题3-16解，有
2(), k()20kXYk为偶数，其它
故选图P3.3(b)
(3)
416()(), 01520nnxW n ynn n 为偶数为奇数
