2020届 北京市高考适应性测试 数学试题(解析版)
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第 1 页 共 17 页 2020届北京市高考适应性测试数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数(2)ii对应的点的坐标为（ ）
A．(1,2) B．(2,1) C．(1,2) D．(2,1)
【答案】C
【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），
故选：C
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知集合2Axx，1,0,1,2,3B，则AB（ ）
A．0,1 B．0,1,2 C．1,0,1 D．1,0,1,2
【答案】C
【解析】根据交集的定义可求得集合AB.
【详解】
2Axx，1,0,1,2,3B，因此，1,0,1AB.
故选：C.
【点睛】
本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
3．下列函数中，在区间0,上为减函数的是（ ）
A．1yx B．21yx C．12xy D．2logyx
【答案】C
【解析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间0,上的单调性，进而可得出结果.
【详解】
对于A选项，函数1yx在区间0,上为增函数； 第 2 页 共 17 页 对于B选项，函数21yx在区间0,上为增函数；
对于C选项，函数12xy在区间0,上为减函数；
对于D选项，函数2logyx在区间0,上为增函数.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.
4．函数256fxxx的定义域为（ ）
A．2xx或3x B．3xx或2x
C．23xx D．32xx
【答案】A
【解析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x的不等式，即可解得函数yfx的定义域.
【详解】
由题意可得2560xx，解得2x或3x.
因此，函数yfx的定义域为2xx或3x.
故选：A.
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
5．圆心为2,1且和x轴相切的圆的方程是（ ）
A．22211xy B．22211xy
C．22215xy D．22215xy
【答案】A
【解析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心为2,1且和x轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为22211xy.
故选：A. 第 3 页 共 17 页 【点睛】
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
6．为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．
【考点】三角函数的图像变换．
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A．23 B．43 C．2 D．4
【答案】B
【解析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．
【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示： 第 4 页 共 17 页
则该四棱锥的体积为211421333ABCDVSPA正方形.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
8．已知点2,0A、0,2B．若点P在函数yx的图象上，则使得PAB△的面积为2的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设出点P的坐标，以AB为底结合PAB△的面积计算出点P到直线AB的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【详解】
设点P的坐标为,aa，直线AB的方程为122xy，即20xy，
设点P到直线AB的距离为d，则1122222PABSABdd，解得2d，
另一方面，由点到直线的距离公式得222aad，
整理得0aa或40aa，0a，解得0a或1a或9172a.
综上，满足条件的点P共有三个．
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
9．设na是等差数列，且公差不为零，其前n项和为nS．则“*nN，1nnSS”第 5 页 共 17 页 是“na为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
na是等差数列，且公差d不为零，其前n项和为nS，
充分性：1nnSS，则10na对任意的nN恒成立，则20a，
0d，若0d，则数列na为单调递减数列，则必存在kN，使得当nk时，10na，则1nnSS，不合乎题意；
若0d，由20a且数列na为单调递增数列，则对任意的nN，10na，合乎题意.
所以，“*nN，1nnSS”“na为递增数列”；
必要性：设10nan，当8n时，190nan，此时，1nnSS，但数列na是递增数列.
所以，“*nN，1nnSS”“na为递增数列”.
因此，“*nN，1nnSS”是“na为递增数列”的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n项和公式是解决本题的关键，属于中等题．
10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B，则该班（ ） 第 6 页 共 17 页
A．物理化学等级都是B的学生至多有12人
B．物理化学等级都是B的学生至少有5人
C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人
D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人
【答案】D
【解析】根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858人（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），
表格变为：
A B C D E
物理 10550 16313 9 1 0
化学 8530 19514 7 2 0
对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；
对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化学都是B的人数最少，至少为13724（人），B选项错误；
对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，
因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419（人），
C选项错误；
对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为第 7 页 共 17 页 B的学生最少14131（人），D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
11．已知双曲线22210xyaa的一条渐近线方程为0xy，则a________．
【答案】1
【解析】根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数a的值.
【详解】
双曲线22210xyaa的渐近线方程为0xya，
由于该双曲线的一条渐近线方程为0xy，11a，解得1a.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
12．已知向量1,am，2,1b，且ab，则m________．
【答案】2
【解析】根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数m的等式，即可求得实数m的值.
【详解】
1,am，2,1b且ab，则20abm，解得2m.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
13．抛物线24yx上到其焦点的距离为1的点的个数为________．
【答案】1
【解析】设抛物线上任意一点的坐标为00,xy，根据抛物线的定义求得0x，并求出对应的0y，即可得出结果. 第 8 页 共 17 页 【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为00,xy，
抛物线24yx的准线方程为1x，由抛物线的定义得011x，解得00x，此时00y.
因此，抛物线24yx上到其焦点的距离为1的点的个数为1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
14．在ABC中，4a，5b，6c，则cosA________，ABC的面积为________．
【答案】34
1574
【解析】利用余弦定理可求得cosA的值，进而可得出sinA的值，最后利用三角形的面积公式可得出ABC的面积.
【详解】
由余弦定理得2222225643cos22564bcaAbc，则27sin1cos4AA，
因此，ABC的面积为117157sin562244ABCSbcA.
故答案为：34；1574.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.
15．函数fx的定义域为1,1，其图象如图所示．函数gx是定义域为R的奇函数，满足20gxgx，且当0,1x时，gxfx．给出下列三个结论：
