§9. 矩阵的分解
矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。
这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。
一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。
将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。
定义1 如果(1,2,
,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,
1;∈<=-ij a C R i j i n
1,2,
),=++j i i n 则上三角矩阵
11121222000⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，R 称为单位上三
角复（实）矩阵。
定义2如果(1,2,
,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,
1;∈>=-ij a C R i j i n
1,2,
),=++j i i n 则下三角矩阵
1121
22
12
000⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
n n nn a a a L a a a
称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，L 称为单位下三
角复（实）矩阵。
定理1设,⨯∈n n
n
A C 则A 可唯一地分解为 1=A U R
其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为
2=A LU
其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。
推论1设,⨯∈n n
n
A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R
其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为
2=A LQ
其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。
推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得
=T A R R
推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得
=T A R R
定理2设,⨯∈n n
n
A C 用L 表示下三角复矩阵，*L 表示单位下三角复矩阵，R 表示上三角复矩阵，*R 表示单位上三角复矩阵，D 表示对角矩阵，则下列命题等价：
（1）A 的各阶顺序主子式
1112121
22
2120(1,2,,)⎛⎫ ⎪ ⎪
∆=≠= ⎪
⎪⎝⎭
k k k k k kk a a a a a a k n a a a ；
（2）A 可唯一地分解为*=A LR ，并且L 的主对角线上元素不为零； （3）A 可唯一地分解为**=A L DR ，并且D 的主对角线上元素不为零； （4）A 可唯一地分解为*=A L R ，并且R 的主对角线上元素不为零； 说明：若A 是n 阶满秩实方阵，则对于实矩阵L 、*L 、R 、*R 、D ，定理2 仍然成立。
例1.设147130021-⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求A 的三角分解。
解. 由147147147130077011021021021---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
*147011001-⎛⎫ ⎪
→-= ⎪ ⎪⎝⎭
R 所以147100147130170011021021001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=-=-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A
n 阶方阵的三角分解对求解非其次线性方程组非常方便。比如，设方程
组
=Ax b ，系数矩阵A 有三角分解式LR A =，则有=LRx b ，于是令
=Rx y ，有
,=⎧⎨
=⎩
Ly b
Rx y
先求第一个方程组中的未知向量
y ，然后将y 代入第二个方程组再求解x 。
由于它们都是以三角矩阵为系数矩阵的方程组，所以很容易求出方程组的解，并且易于利用计算机求解。
例2 用三角分解求解方程组：
123412
423412342583692254768
+-+=⎧⎪--=⎪⎨
-+=⎪⎪+-+=⎩x x x x x x x x x x x x x x 解：系数矩阵可以分解为
200
015117
2
15122210025131306013
77021202
0700
141
4767
00
11292⎛⎫
⎛⎫
⎪- ⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪
⎪
⎪-==⨯ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪--
⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭
⎝⎭
A 代入上面的新方程组中的第一式可得：54,,5,110⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭T
y ，再将此结果代入
新方程组中的第二式可得：()3,4,1,1=--T
x ，此即所求方程的解。 二、任意矩阵的三角分解
前面讨论的矩阵分解仅仅是对n 阶方阵的三角分解，而且所分解的矩阵是可逆矩阵，下面我们将以上的矩阵分解进行推广，即讨论任意矩阵的三角分解。
定义3 设A 是⨯m n 阶复（实）矩阵，如果=rankA m ，则称A 是行满
秩矩阵，记为()⨯⨯∈m n m n
m m A C R ；如果=rankA n ，则称A 是列满秩矩阵，记为()⨯⨯∈m n m n
n n A C R 。
定理3 当A 是行满秩或列满秩复矩阵时，有
（1）若⨯∈m n
m A C ，则存在m 阶正线下三角复矩阵L 和n 阶酉矩阵U ，
