工程数学(07)矩阵的正交分解共51页文档

正交分解应用例题及练习什么是正交分解？正交分解是一种数学方法，用于将一个向量空间分解为一组正交基向量的线性组合。

它在许多领域中都有广泛的应用，包括线性代数、信号处理和图像处理等。

正交分解的应用例题例题1：向量投影我们有一个向量v，它的值为[3, 4]。

现在我们想要找出这个向量在正交基向量上的投影。

我们选择两个正交向量u1 = [1, 0]和u2 = [0, 1]作为正交基向量。

现在我们可以使用正交分解的方法找到向量v在这两个正交基向量上的投影：根据正交分解公式，我们可以将向量v表示为：v = proj(u1, v) + proj(u2, v)其中，proj(u, v)表示向量v在向量u上的投影。

具体计算如下：proj(u1, v) = (dot(u1, v) / dot(u1, u1)) * u1proj(u2, v) = (dot(u2, v) / dot(u2, u2)) * u2要计算dot(u, v)，可以使用点积的公式：dot(u, v) = u · v = u1 *v1 + u2 * v2在本例中，计算结果如下：dot(u1, v) = 3 * 1 + 4 * 0 = 3dot(u2, v) = 3 * 0 + 4 * 1 = 4dot(u1, u1) = 1 * 1 + 0 * 0 = 1dot(u2, u2) = 0 * 0 + 1 * 1 = 1根据上述计算结果，我们可以计算向量v在u1和u2上的投影：proj(u1, v) = (3 / 1) * [1, 0] = [3, 0]proj(u2, v) = (4 / 1) * [0, 1] = [0, 4]将投影结果相加，得到v在正交基向量上的投影：v = [3, 0] + [0, 4] = [3, 4]因此，向量v在正交基向量u1和u2上的投影为[3, 4]。

例题2：信号处理正交分解在信号处理领域也有广泛的应用。

例如，我们可以使用离散余弦变换(DCT)来对音频信号进行正交分解。

第四章 矩阵分解基于理论研究和计算的需要，往往有必要把矩阵分解为具有某种特性的矩阵之和或积，这就是我们所说的矩阵分解.本章将介绍一些常用的分解方法，某些在《计算方法》中已涉及的分解，我们这里就不再提起了.§4.1 矩阵的正交三角分解60年代后以Givens 与Householden 变换发展起来的矩阵的QR 分解在计算数学中扮演了十分重要的角色，尤其是以QR 分解所建立的QR 方法，已对数值线性代数理论的近代发展起了关键作用.定义1 如果一个上三角矩阵的主对角线元素全为正实数，则称该矩阵为一个正线上三角矩阵.定理1 （正交三角分解） 设A 为n 阶实满秩矩阵，则必有n 阶正交矩阵Q 及n 阶正线上三角矩阵R ，使得QR A =.证 设A 按列分块为()n A ααα ,,21=，则12,,,n ααα 为欧氏空间n R 的一组基，利用施密特正交化方法可以得到一组正交基11βα=， ()(),,,21122111122ααιαββββαβ+=+-=… … … …n n n n n n n ααιαιαιβ++++=--1,12211再单位化得一组标准正交基1111αεb =，2221122ααεb b += ， (1)… … … …n nn n n n n n n b b b b ααααε++++=--1,12211其中iii b β1=＞0，令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n b b b b b b B 22211211, 显然B 为正线上三角矩阵.且有()()1212,,,,,,n n B εεεααα= .(2)再令()12,,,n Q εεε= ，则Q 为正交矩阵.记1-=B R ，则R 仍为正线上三角矩阵.由（2）即得QR A =.定理证毕.实满秩矩阵的QR 分解是唯一的. 例1 求矩阵122212121A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的QR 分解解 记A 的三个列向量依次为123,,ααα，用施密特正交化方法得11(1,2,1)T βα==， 212(1,1,1)T ββα=-+=-，32131711(,0,)3622T βββα=--+=-.单位化得111Tε===，2212T ε==+=, 33123(322T ε==-=-. 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22316103162223161),,(321εεεQ ，则Q 为正交矩阵.且 ()123,,,Q B ααα=其中030B ⎪⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，经计算得10002R B - ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，便有QR A =. 对于复满秩矩阵，类似地有UR 分解定理。

§10 矩阵的正交分解(QR 分解)设nm RA ⨯∈，则存在初等反射阵s H H 1使得)1(2+=s s A A H H (上梯形)[]nmn m m n n a a a a a a a a a a a a A ,,,21212222111211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=(按列分块) (1)(1)第1步：当01=a 时，取I H =1这一步不需约化，不妨设01≠a ，于是有初等反射阵1H 使1111e a H σ-=，其中Tu u I H 11111--=β。

于是],,,[21)1(1n Ha Ha Ha A H =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=222)2(121)2()2(2)2(2)2(22)2(2)2(121000D c B a a a a a a a mn m n n σσ)2(A =其中)2()1(21)2(2)2(222,),,(-⨯--∈∈=n m m T m R D Ra a c (2)第k 步：设已完成对A 上述第1步~第k-1步约化，即存在初等反射阵11,,-k H H 使)(121k k A A H H H =-其中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-)()()()(12)2(1)2(1)2(121)(k mn k mkk knk kkk n k k a a a a a a a Aσσσ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k k k k D c B r R 0其中)()1(1)()(,],,[k n k m k k n T k m k k kk k R D Ra c c -⨯+-=+-∈∈= ，为 EMBED Equation.3阶上三角阵。

如果0=k c ，这一步不需约化，取I H k =。

不妨设0≠k c ，于是存在初等反射阵kH '使 1e c H k k kσ-='计算kH '的公式： T k k k ku u I H ''-='-1β ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+='=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡='=+=∑)(21)()()(22)(,)(,1)(2)()(k kk k k k k k k m k k k k kk k m k i k ik k kk k a u a a a u a a sign σσβσ ………………(2) 令mm k k m k k k R H I H ⨯-+--∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=111第k 步约化：)1(1)(+==k k k k A A H H A H⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-k k k k k k kk k D H c H B r R H I 01 )1(121+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡'----=k k k k k k k AD H B r σσσσ方框内为第k 步约化需要计算的部分，其中)1(+k A 左上角子阵，1+k R 为k阶上三角阵，这样就使A 三角化过程前进了一步。

解题要求：以下题目均用二力合成知识（平行四边形定则）求解，解答过程要规范并要符合题意要求。

知识要点：物体处于平衡时，所受外力的合力为零。

若是物体受个三力平衡，则任意两个力的合力与第三个力是平衡力。

习题1.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示，已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为多大？习题2.如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A 点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2.习题3.如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，求斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小解题要求：以下题目均用多力合成知识（多边形法则）求解，解答过程要规范并要符合题意要求。

知识要点：物体处于平衡时，所受外力的合力为零。

若是物体受个三力平衡，则三个力的合力为零，运用多变形法则作力的合成示意图时，应得到三个力首尾相接的三角形。

习题1.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示，已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为多大？习题2.如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A 点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2.习题3.如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，求斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小解题要求：以下题目均用力的分解知识（平行四边形定则）求解，解答过程要规范并要符合题意要求。

知识要点：物体处于平衡时，所受外力的合力为零。