2018届高中数学北师大版 抛物线(一) 单元测试 Word版 含答案
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题组层级快练(六十五)
1．抛物线x2＝12y的焦点到准线的距离是( )
A．2 B．1
C.12 D.14
答案 D
解析 抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p＝14，故选D.
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
答案 B
解析 因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.
3．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0，1)，则a＝( )
A．1 B.12
C．2 D.14
答案 D
解析 因为抛物线的标准方程为x2＝1ay，所以其焦点坐标为(0，14a)，则有14a＝1，a＝14，故选D.
4．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
答案 C
解析 ∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－p2.
∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴|－p2－2|＝4.
∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
5．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( ) A．－43 B．－1
C．－34 D．－12
答案 C
解析 因为点A在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F(2，0)，所以kAF＝3－0－2－2＝－34.
6．(2017·唐山一中模拟)抛物线y2＝2px上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4 B．9
C．10 D．18
答案 C
解析 抛物线y2＝2px的焦点为(p2，0)，准线为x＝－p2.由题意可得4＋p2＝9，解得p＝10，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为p＝10.
7．(2017·山西八校联考)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为( )
A．5 B．10
C．20 D.15
答案 B
解析 根据题意得点P的坐标为(4，4)或(4，－4)，所以S△PMF＝12|yP||PM|＝12×4×5＝10.故选B.
8．(2017·广东广州一模)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝( )
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
答案 A
解析 抛物线的焦点为(1，0)，准线方程为x＝－1，由抛物线的定义，可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，故|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝n＋10.
9．(2017·郑州一中模拟)已知点P(x，y)是抛物线y2＝4x上任意一点，Q是圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上任意一点，则|PQ→|＋x的最小值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，依抛物线定义，|PQ→|＋x＝|PQ|＋|PF|－1，当且仅当P，F，Q三点共线时，|PQ→|＋x取最小值．圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1的圆心(－2，4)，所以|PQ→|＋x的最小值为|CF|－1－1＝5－2＝3.故选C.
10．(2017·河南洛阳统一考试)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，若抛物线上一点P满足PF→＝2FM→，|PF→|＝3，则点M的坐标为( )
A．(12，22)或(12，－22) B．(12，2)或(12，－2)
C．(22，12)或(22，12) D．(2，12)或(2，－12)
答案 B
解析 由抛物线y2＝2px的焦点F到准线的距离为2，知p＝2，焦点F(1，0)，由|PF→|＝3知，P(2，±22)．设M(x，y)，由PF→＝2FM→，得(－1，±22)＝2(x－1，y)，∴x＝12，y＝±2.故点M的坐标为(12，2)或(12，－2)．
11．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(72，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A.72 B．4
C.92 D．5
答案 C
解析 设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(12，0)．又点A(72，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－12，则|PM|＝d－12.
又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥92.
12．(2017·吉林长春调研测试)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.355
B．2
C.115 D．3
答案 B 解析 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2，故选B.
13．点A是抛物线C1：y2＝2px(p>0)与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于( )
A.2 B.3
C.5 D.6
答案 C
解析 求抛物线C1：y2＝2px(p>0)与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点为y2＝2px，y＝bax，解得x＝2pa2b2，y＝2pab，所以2pa2b2＝p2，c2＝5a2，e＝5，故选C.
14．(2013·新课标全国Ⅱ，理)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 方法一：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，
得|MF|＝x0＋p2＝5，则x0＝5－p2.
又点F的坐标为(p2，0)，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)(x－p2)＋(y－y0)y＝0.
将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即y022－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
由y02＝2px0，得16＝2p(5－p2)，解之得p＝2或p＝8.
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.
方法二：由已知得抛物线的焦点F(p2，0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则AF→＝(p2，－2)，AM→＝(y022p，y0－2)．
由已知得，AF→·AM→＝0，即y02－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M(8p，4)．
由抛物线定义可知：|MF|＝8p＋p2＝5.
又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C.
