5.6.1 −α的三角函数
【教学目标】
知识与技能：
使学生理解并掌握正弦、余弦、正切的负角的三角函数公式，并能应用公式解决一些求值、化简问题.
过程与方法：
在教师的引导下,启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力.
情感态度价值观：
通过负角的三角函数公式的推导过程，让学生体验探索后的成功喜悦,培养学生的自信心.
【教学重点】
−α的三角函数公式．
【教学难点】
−α的三角函数公式的推导.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
知识探究
对称美是日常生活中最常见的，你知道三角函数的对称美吗？如果把x轴看成平面镜，那么平面直角坐标系中的角α关于x轴对称的角的度数是多少？这个角的三角函数值与角α的三角函数值有什么关系？
思考1：在直角坐标系中画出30o与−30o的角，135o与−135o的角，并观察这两对角有什么特点？
特点：终边关于x轴对称.
推广：角α与角−α的终边关于x轴对称.
思考2：角α与角−α的终边与单位圆的交点的坐标有怎样的关系？
关系：横坐标相同，纵坐标互为相反数.
结论：
公式二：sin(−α)=−sinα
cos(−α)=cosα
tan(−α)=tanα
作用：求任意负角的三角函数值转化为求任意正角的三角函数值.
例题讲解
例1 求下列三角函数值：
（1）sin(−π
6)；（2）cos(−45o)；（3）tan(−13π
6
).
思路点拨：直接应用诱导公式二将负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.。
5.6 函数y＝A sin(ωx＋φ)【素养目标】1．深刻理解五点的取法，特别是作正弦型函数的图象时取的五点．(数学运算)2．从φ、ω、A的变化总结图象．(直观想象)3．能由y＝sin x平移和伸缩变换为y＝A sin(ωx＋φ)及逆向平移和伸缩变换．(逻辑推理) 【学法解读】在本节学习中，借助实例构建三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的形式，利用PPT观察φ，A，ω对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响，学会由y＝sin x如何变化为y＝A sin(ωx＋φ)，提升数学素养中的直观想象．必备知识·探新知基础知识知识点1参数A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响．(2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响．(3)A(A>0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响．思考1：(1)如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？(2)函数y＝sinωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？提示：(1)向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度．(2)可以，只要横向“伸”或“缩”1ω倍y＝sin x的图象即可．知识点2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A ，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A ． (2)简谐运动的周期T ＝2πω.(3)简谐运动的频率f ＝1T ＝ω2π.(4)ωx ＋φ称为相位．(5)x ＝0时的相位φ称为初相．思考2：若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的A <0或ω<0时怎么办？提示：当A <0或φ<0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相φ.知识点3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A ，A ] 周期性 T ＝2πω对称中心 (k π－φω，0)(k ∈Z ) 对称轴x ＝k πω＋π－2φ2ω(k ∈Z )__奇偶性__当__φ＝k π(k ∈Z )__时是奇函数当__φ＝k π＋π2(k ∈Z )__时是偶函数__单调性__由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得单调递增区间由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调性时，应用了什么数学思想？提示：(1)判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，若定义域关于原点不对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再根据奇偶函数的定义判断．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调性时，要把ωx ＋φ看作一个整体，应用了“整体代入”的数学思想．基础自测1．下列说法中正确的个数是( A )①y ＝sin3x 的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y ＝sin(3x ＋π4)．②y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝sin2x . ③y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝12sin x .A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①y ＝sin3x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin[3(x ＋π4)]＝sin(3x ＋34π)，故①不正确；②y ＝sin2x 应改为y ＝sin 12x ，故②不正确；③y ＝12sin x 应改为y ＝2sin x ，故③不正确．故选A ．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A >0，ω>0)的最大值为5，则A ＝( C ) A ．5 B ．－5 C ．4D ．－43．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴方程是__x ＝3π4＋k π(k ∈Z )__.5．函数y ＝3sin(12x －π6)的频率为__14π__，相位为__12x －π6__，初相为__－π6__.关键能力·攻重难题型探究题型一 “五点法”作图例1 用“五点法”画函数y ＝2sin(3x ＋π6)的简图．[分析] 列表时，取值要简单(与y ＝sin x 中五点比较)．[解析] 先画函数在一个周期内的图象．令X ＝3x ＋π6，则x ＝13(X －π6)．列表X 0 π2 π 3π2 2π x －π18π9 5π18 4π9 11π18 y2－2描点作图，再将图象左右延伸即可．[归纳提升] 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表.ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x －φω π2ω－φω πω－φω 3π2ω－φω 2πω－φω yA－A第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸即可．【对点练习】❶ 已知f (x )＝2sin(x 2＋π3)．(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的最大值和此时相应的x 的值． [解析] (1)列表：x 2＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －2π3π3 4π3 7π3 10π3 f (x )2－2作图：(2)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2，得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为[4k π－5π3，4k π＋π3]，k ∈Z .(3)当x 2＋π3＝π2＋2k π，即x ＝π3＋4k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝2.题型二 三角函数的图象变换例2 如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin(2x －π3)＋1的图象？[分析] 本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可．[解析] 解法一：y ＝sin x ――――――――→向右平移π3个单位长度y ＝sin(x －π3)――――――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin(2x －π3)―――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍横坐标不变 y ＝3sin(2x －π3)――――――――→向上平移1个单位长度y ＝3sin(2x －π3)＋1.解法二：y ＝sin x ―――――――――――――→将各点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin2x ―――――――――→向右平移π6个单位长度y ＝sin2(x －π6)―――――――――――――→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍横坐标不变y ＝3sin2(x －π6) ＝3sin(2x －π3)――――――――→向上平移1个单位长度y ＝3sin(2x －π3)＋1.[归纳提升] 1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．【对点练习】❷ 将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( D )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)[解析] 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为π，所以将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3)．故选D ．题型三 由图象确定函数的解析式例3 (1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( D )A ．f (x )＝2sin(12x ＋π6)B ．f (x )＝2sin(12x －π6)C ．f (x )＝2sin(2x －π6)D ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)(2)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A (π2，1)，B (π，－1)，则ω＝__2__，φ＝ __－5π6__.[分析] (1)由图象可以确定最大值为2，周期为π，再利用一个点的坐标求φ. (2)曲线上由A 到B 是周期的12，从而求出ω，再求φ.[解析] (1)由图象可知，A ＝2，T ＝4(5π12－π6)＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，因为图象过点(π6，2)，所以2sin(π3＋φ)＝2，所以sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A (π2，1)，B (π，－1)，可得从点A到点B 正好经过了半个周期，即12·2πω＝π－π2，所以ω＝2.再把点A ，B 的坐标代入可得2sin(2×π2＋φ)＝－2sin φ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sin φ＝－1，所以sin φ＝－12，所以φ＝2k π－π6，或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .再结合五点法作图，可得φ＝－5π6.[归纳提升] 由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)A ：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T ＝2πω，故往往通过求周期T 来确定ω.可通过已知曲线与x 轴的交点来确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象第二次上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A ，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ.【对点练习】❸ 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( A )A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(2x ＋π6)D ．y ＝2sin(2x ＋π3)[解析] 由图知，A ＝2，周期T ＝2[π3－(－π6)]＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．因为图象过点(π3，2)，所以2＝2sin(2×π3＋φ)，所以sin(2π3＋φ)＝1，所以2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．令k ＝0得φ＝－π6，所以y ＝2sin(2x －π6)．题型四 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性例4 在函数y ＝2sin(4x ＋2π3)的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是__(π12，0)__.[分析] 利用整体代换法求解．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，所以函数y ＝2sin(4x ＋2π3)图象的对称中心坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．取k ＝1得(π12，0)满足条件．[归纳提升] 正弦型函数对称轴与对称中心的求法对称轴对称中心 y ＝A sin(ωx ＋φ)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求对称轴令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ) 求对称中心的横坐标称轴方程为__x ＝－π24__.[解析] 由4x ＋2π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π24，取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．误区警示例5 函数y ＝2sin(－2x ＋π3)的相位和初相分别是( C )A ．－2x ＋π3，π3B ．2x －π3，－π3C ．2x ＋2π3，2π3D ．2x ＋2π3，π3[错解] 对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见错误错误原因相位和初相分别是－2x ＋π3，π3错解均忽视了相位和初相的概念：概念中要求A >0，ω>0.当不满足条件时应设法创造出条件.y ＝2sin(－2x ＋π3)＝－2sin(2x －π3)∴相位和初相分别是2x －π3，－π3[错因分析] 此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“A >0，ω>0”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“A >0，ω>0”再求．[正解] ∵y ＝2sin(－2x ＋π3)＝2sin[π－(－2x ＋π3)]＝2sin(2x ＋2π3)∴相位和初相分别是2x ＋2π3，2π3.[方法点拨] 要正确理解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A 、ω、φ的意义．学科素养函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用例6 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．[分析] 本题关键是对图象的对称轴为x ＝π8这一条件的利用，由图象一对称轴为x ＝π8得：当x ＝π8时2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )进而可求φ值．[解析] (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 得x ＝k π2＋π4－φ2，令k π2＋π4－φ2＝π8，解得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin(2x －3π4)，由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是 [k π＋5π8，k π＋9π8](k ∈Z )．当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时函数有最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时函数有最小值－1.(3)由y ＝sin(2x －3π4)知，故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象是课堂检测·固双基1．将函数y ＝sin(x ＋π4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( D )A ．y ＝cos2xB ．y ＝sin(2x ＋π4)C ．y ＝sin(12x ＋π8)D ．y ＝sin(12x ＋π4)2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的振幅为12，周期为2π3，初相为π6，则该函数的表达式为( C )A ．y ＝12sin(x 3＋π6)B ．y ＝12sin(x 3－π6)C ．y ＝12sin(3x ＋π6)D ．y ＝12sin(3x －π6)3．函数y ＝cos(2x －π6)＋1的一个对称中心为( D )A ．(π6，0)B ．(π3，0)C ．(π6，1)D ．(π3，1)4．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将y ＝cos(2x ＋π4)的图象( B )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[解析] 平移问题遵循“左加右减，只针对x 而言”的原则．则y ＝cos2x 只需向左平移π8个单位即可．而y ＝cos(2x ＋π4)需右移π8个单位，得到y ＝cos2x .5．函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是__[197π2，201π2)__. [解析] T ＝2πω为其最小正周期，则(49＋14)T ≤1<(50＋14)T 时，有50个最大值点，所以ω∈[197π2，201π2)．。
