专题六---几何探究题的解题思路

专题六几何探究题的解题思路

一、方法简述

随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件----演绎----结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.

二、思想方法

1.分类讨论思想

分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。

2.数形结合思想

数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。

3.函数与方程思想

函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。

4.转化与化归思想

转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程

图 2

P

D

C

B

A

图 1

P D

C

B

A 实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。

三、典例分析

例1: 阅读理解：如图1，在直角 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠O

90B =, 点P 在BC 边上，当∠O

90APD =时，

易证A B P ∆∽PCD ∆，从而得到CD AB PC BP ⋅=⋅. 解答下列问题：

（1） 模型探究：如图2，在四边形ABCD 中， 点P 在BC 边上，当∠B =∠C =∠APD 时，

求证：CD AB PC BP ⋅=⋅； （2） 拓展应用：如图3，在四边形ABCD 中，

4,AB =6,CD 10,BC ==∠B =∠O

60C =,

AO ⊥BC 于点O ，以O 为原点，以BC 所在的直线

为x 轴，建立平面直角坐标系，点P 为线段OC 上一动点（不与端点O 、C 重合）．

① 当∠O

APD 60=时，求点P 的坐标；

② 过点P 作PE ⊥PD ，交y 轴于点E ，设x OP =，y OE =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

(1)证明：如图2，∵∠1=1800-∠B -∠2 ∠3=1800-∠APD -∠2 ∠B=∠APD ∴∠1=∠3 又∵∠B=∠C ∴ △ABP ∽△PCD

∴

CD

BP

PC AB =

∴CD AB PC BP ⋅=⋅

(2) ①如图3，当∠APD=600

时

图 2

3

2

1

P D

C

B

A

设P 点坐标为（x ，0），（0< x <8）则BP=2+x ，PC=8-x ∵∠B=∠C=∠APD=600

∴CD AB PC BP ⋅=⋅ 即（2+x ）(8-x)=64⨯ 解得：x 1=2, 2x =4 ∴点P 的坐标为P （2，0）或P （4，0）

②解法一：如图3，过点D 作DM ⊥x 轴于点M 则CM=

32

1

=CD ，DM=33 ∴OM=5 (Ⅰ)当点P 在线段OM 上设为P 1，P 1M=x-5 (0

∴OP 1•P 1M=OE •1•DM 即x x -5()=33⋅y ∴x x y 9

35932+-= (0

∵∠1+∠3=900 ∠2+∠3=900 ∴∠1=∠2 ∴Rt △E 2OP 2∽Rt △P 2MD ∴DM OP M P OE 222= ∴DM OE M P OP ⋅=⋅222 即x(x-5)= 33⋅y ∴x x y 9

3

5932-=

(5

则CM=32

1

=CD ，DM=33 ∴OM=5 ∴D(5，33) (Ⅰ)当点P 在线段OM 上设为P 1，P 1M=5-x (0

∵2121211D E D P P E =+ 即 x 5(22++y -x)2+ (33)2=(33-y)2+52

∴x x y 9

3

5932+-

= (0

∵2222222D E D P P E =+ 即x x y (2

2++-5)2+ (33)2=(33+y)2+52

∴x x y 9

35932-=

(5