高中数学选修1-1北师大版 变化的快慢与变化率 课件(32张)

∴ΔΔyx＝0.00.8001 2＝8.02.
4分
(2)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (3)由(2)知，当x0＝2时，Δx→0时，ΔΔxy→8， 即函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为8.
1．函数的平均变化率
(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2 时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为__f_x_x2_2－－__xf_1_x1___.
其中自变量的变化__x_2－__x_1__称作自变量的改变量，记作 __Δ__x____，函数值的变化__f(_x_2_)－__f_(_x1_)__，称作函数值的改变 量，记作___Δ_y____.这样，函数的平均变化率就可以表示为函
Δy Δx
也趋于一个定值，它与Δx无关，只与函数y
＝f(x)及x0有关(函数f(x)不为常函数时)，这个定值即为y＝f(x)在 x0处的瞬时变化率．
(2)若某物体运动的路程与时间的关系式是s＝s(t)，当Δt趋
近于0时，函数s＝s(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率
st0＋Δt－st0 Δt
趋近于常数；把这个常数称为t0时刻的瞬时速
＝ 3 34×π2－ 3 34×π1≈0.16(dm)．
∴函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为
r2－r1 2－1
≈0.16(dm/L)．
显然体积V从0 L增加到1 L时，半径增加快，这说明随着
气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．
实际问题重在构建数学模型，弄 清楚自变量及对应函数值分别是什么，紧密结合题目的实际意 义解题．

2 解:∵ Δs=v0(t0+Δt)- g(t0+Δt)2- ������0 ������0 - g������0 =(v0-gt0)Δt- g(Δt)2,
1
2
【做一做 1-1】
������ ������
已知函数 f(x)=2x2-1 的图像上一点(1,1)及邻近一点 )
(1+Δx,1+Δy),则 等于( A. 4 C.4+2Δx 解析: B.4 x
D.4+2(Δx)2
Δ������ ������(1+Δ������)-������(1) = Δ������ Δ������ 2 2(1+Δ������) -1-2×12+1 = =4+2Δx. Δ������
【做一做 2】
如果质点 A 按规律 s=2t3 运动(其中 s 表示路程,t 表示 ) C.54
2 3
时间),则在 t=3 时的瞬时速度为( A. 6 B.18
Δ������ 解析: Δ������
D.81
=
2(3+Δ������) -2×33 Δ������ Δ������ Δ������
3
=
54������+18(������) +2(������) ������
值不能为 0,Δy 的值可以为 0.当函数 f(x)为常数函数时,Δy=0,此时平均变化 率为 0.当 x1,x2 分别取不同的数值时,函数的平均变化率往往不同.
1
2
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 剖析:平均变化率
������ ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) , 当 Δx Δ������

导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以 发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 思函考数:关这系一是现象V (中r)， 4哪些r3 量在改变？变量的变化情况？
变式训练3
已知函数
，分别计算 在自变量 从1变化到2和从3变化
到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．
答案：
，
；
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A )
A. 6+t C.3+t
B. 6+t+ 9 t
D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
第3章 导数及应用
3.1.1 变化率问题
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研
微积究分中的取奠得基了人丰是硕牛的顿成和果莱―布―尼―兹微，积他分们的分产别生从。运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成 为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的 应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题， 天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。
25 3t
必做题

)
A.4
B.4x
C.4+2Δx
D.4+2(Δx)2
解析:ΔΔ������������
=
������(1+������)-������(1) ������
=2(1+Δ������)2Δ-1������-2×12+1
=4+2Δx.
答案:C
-6-
3.2 双曲线的简单性质
目标导航
知知识识梳梳理理
典型透析
典型透析
随堂演练
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为������(���������2���2)--������������1(������1).通常自变量的变化 x2-x1 称作自变 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即ΔΔ������������ = ������(���������2���2)--������������1(������1).我们用它刻画函数值在区间 [x1,x2]上变化的快慢. 求函数 f(x)的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率ΔΔ������������ = ������(���������2���2)--������������1(������1).
故在 x=3 附近的平均变化率最大.
典例型透析
随堂演练 -9-
3.2 双曲线的简单性质
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理