浙教版数学九年级下册1.2 锐角三角函数的计算(1).docx

【知识梳理】一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．锐角三角函数BCa bc二、特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反.三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．【典型例题】考点一锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是()A.2B.12C.√55D.√5【例2】如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1C.√33D.√3【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【变式训练】,则AB的长是()1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【变式训练】1. 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°2. sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°+(√3-tanβ)2=0,则对此三角形的形状描3.若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sinα-√32述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A 为锐角,则cot A 的值为 .【强化练习】1. 如图,以点O 为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A ,B 两点,P 是AB⏜上一点(不与点A ,B 重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.3.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C=.,AD是BC边上的高线.4. 如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=5,cos C=35(1)求AD的长;(2)求△ABC的面积.5. 如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos∠APC的值．【典型例题】考点一 锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A ,B ,C 都在格点上,则tan ∠ABC 的值是 ( )A .2B .12C .√55D .√5【答案】A【例2】如图,A ,B ,C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan ∠BAC 的值为( )A .12B .1C .√33D .√3【答案】B【解析】如图,连结BC ,则BC ⊥AB.答案及解析=1.在Rt△ABC中,AB=BC=√22+12=√5,∴tan∠BAC=BCAB【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.【答案】√322. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【答案】D【变式训练】,则AB的长是() 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5【答案】C,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35【答案】125考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【答案】见解析【解析】原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2．【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案】见解析【解析】（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【变式训练】 1. 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45° 2.sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°【答案】见解析 【解答】（1）原式==12- (2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；3. 若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sin α-√32+(√3-tan β)2=0,则对此三角形的形状描述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【答案】C 【解答】∵sin α-√32+(√3-tan β)2=0,∴sin α-√32=0,√3-tan β=0, ∴sin α=√32,tan β=√3. 又∵α,β都是锐角, ∴α=60°,β=60°,∴此三角形的形状是等边三角形. 故选C考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．．【答案】见解析【解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ 10sadA BD AD ==．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A为锐角,则cot A的值为.【答案】（2）4 3【强化练习】1. 如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是AB⏜上一点(不与点A,B重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)【答案】C【解析】如图,过点P作PQ⊥OB,垂足为Q.在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα=PQOP ,cosα=OQOP,即PQ=sinα,OQ=cosα,则点P的坐标为(cosα,sinα).故选C.2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.【答案】2√23【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,则AB=√12+(2√2)2=3.∵AB ⊥CD ,AC⏜=AD ⏜,∴∠ABC=∠ABD , ∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=AC AB =2√23. 3. 在Rt △ABC 中,若2AB=AC ,则cos C= .【答案】.√32或2√55【解析】∵2AB=AC ,∴AB 不是最长边,即∠C ≠90°.分两种情况讨论:①当∠B=90°时,设AB=x ,则AC=2x ,∴BC=√(2x )2-x 2=√3x ,∴cos C=BC AC =√3x 2x =√32.②当∠A=90°时,设AB=y ,则AC=2y ,∴BC=√(2y )2+y 2=√5y ,∴cos C=AC BC =√5y =2√55. 综上所述,cos C 的值为√32或2√55. 4. 如图,在△ABC 中,∠B=45°,AC=5,cos C=35,AD 是BC 边上的高线.(1)求AD 的长;(2)求△ABC 的面积.【答案】见解析【解答】解:(1)∵AD ⊥BC ,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt △ACD 中,AC=5,cos C=35,∴CD=AC ·cos C=3,∴AD=√AC 2-CD 2=4.(2)∵∠B=45°,∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=45°,∴∠B=∠BAD ,∴BD=AD=4,∴S △ABC =12AD ·BC=12×4×(4+3)=14.5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案】见解析【解答】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10，∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．。

由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
那么上题中的∠B是多少度呢?
tan B PN 1 . BN 5
∠B≈11.310
根据下面的条件,求锐角α的大小(精确到1")
例2
(1)sinα=0.4511
shift sin 0 . 4 5 1 1 = 0'''
(2)cosα=0.7857
解: Q tan ∠ACD AD 10 0.5208,
CD 19.2
∴∠ACD≈27.50. ∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50=550.
∴V型角的大小约550.
练一练
1.sin700= 0.9397
cos500= 0.6428
2.(1)sinA=0.3475,则∠A=(精20确02到0'41" )
初中数学课件
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探索下列关系式是否成立（00〈α〈900）？
（1）sinα+cosα1
（2）sin2α=2?sinα
新课引入
如图,将一个Rt△ＡＢＣ形状的楔子从木桩的底端点 Ｐ沿着水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运 动，如果木桩向上运动了1cm，楔子沿水平方向前进 ５cm（如箭头所示），那么楔子的倾斜角为多少度?
老师提示:当从低处观察高处的目标时.视线与水 平线所成的锐角称为仰角.当从高处观察低处的目 标时.视线与水平线所成的锐角称为俯角.
真知在实践中诞生
3.图中的螺旋形由一系列直角三 角形组成.每个三角形都以点O为 一顶点. (1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3, 的大小. (2)已知∠An-1OAn,是一个小于200 的角,求n的值.
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1．1 锐角三角函数(1)1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为(B ) A ．2 B.12 C.55 D.2 552．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的三角函数值(D )A ．都扩大为原来的2倍B ．都扩大为原来的4倍C ．不能确定D ．没有变化3．已知∠A 是锐角，sin A ＝35，则5cos A 等于(A )A ．4B ．3 C.154D ．5(第4题)4．如图，已知锐角α的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上一点P 的坐标为(1，3)，那么tan α的值等于__3__．5．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是__2 23__．(第6题)6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝7(AC >BC )，AB ＝5，求tan B 的值． 【解】 ∵∠C ＝90°，∴AC 2＋BC 2＝AB 2＝25.又∵AC ＋BC ＝7，AC ＞BC ， ∴AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝AC BC ＝43.(第7题)7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .若BD ∶AD ＝1∶3，求tan ∠BCD . 【解】 在Rt △ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴△BCD ∽△CAD ，∴BD CD ＝CD AD，∴CD 2＝BD ·AD . 设BD ＝x ，则AD ＝3x ，∴CD 2＝3x 2，∴CD ＝3x . 在Rt △BCD 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝33. 8．如图，在△ABC 中，边AC ，BC 上的高BE ，AD 交于点H .若AH ＝3，AE ＝2，求tan C 的值．(第8题)【解】 ∵BE ⊥AC ，∴∠EAH ＋∠AHE ＝90°. ∵AD ⊥BC ，∴∠HAE ＋∠C ＝90°. ∴∠AHE ＝∠C .∵在Rt △AHE 中，AH ＝3，AE ＝2， ∴HE ＝AH 2－AE 2＝32－22＝ 5. ∴tan ∠AHE ＝AE HE＝25＝2 55.∴tan C ＝2 55.(第9题)9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值是(D ) A.43 B.34 C.35 D.45【解】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.∵CD ⊥AB ，∴AC ︵＝AD ︵.∴∠ABC ＝∠ABD . ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝45.(第10题)10．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，则AB －BCAD＝(A ) A ．sin B B ．cos B C ．tan B D ．sin A【解】 过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE ＝CD . 易证△BED ≌△BCD ，∴BE ＝BC ， ∴AB －BC ＝AB －BE ＝AE ， ∴AB －BC AD ＝AEAD＝cos A ＝sin B . 11．直线y ＝kx －4与y 轴相交所成的锐角的正切值为12，则k 的值是__±2__．【解】 设直线y ＝kx －4与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，B .则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k，0，B (0，－4)．∴tan ∠ABO ＝AO BO ＝12，∴AO ＝2.∴4k＝±2.∴k ＝±2.12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边上的中线，若AB ＝13，BC ＝10，试求tan ∠DBC 的值．(第12题)【解】 过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，交BD 于点E. ∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10， ∴BH ＝5.∴AH ＝AB 2－BH 2＝12. ∵BD 是AC 边上的中线， ∴点E 是△ABC 的重心， ∴EH ＝13AH ＝4，∴在Rt △EBH 中，tan ∠DBC ＝EH BH ＝45.13．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点．若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C ＝__43__.(第13题)【解】 连结BD.∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴BD ＝2EF ＝4.又∵BC ＝5，CD ＝3，∴BC 2＝CD 2＋BD 2，∴△BCD 是直角三角形，∴tan C ＝BD CD ＝43.初中数学试卷。

浙教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！浙教版初中数学和你一起共同进步学业有成！《锐角三角函数的计算（1）》导学案我预学1. 阅读教材后回答：请你思考下，课本例题1在计算过程中，先将所求的周长和面积表示成已知边长和已知角的三角函数的代数形式，再将边长和角度代入，这样的处理有什么好处？请你谈谈自己的想法.我梳理(1) 如果锐角α恰是整数度数，则只需按 键，再按数字键即可.(2) 如果锐角α度数是度、分的形式，先按键，再按单位上的数字，接着按一次键，再按分单位上的数字即可.(3) 如果锐角α的度数是度、分、秒的形式，先按键，再输入，即可得到结果.个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1. 求下列三角函数值，并把它们用“＜”号连接.（精确到0.0001）（1）sin36°= ，sin53°16’= ，sin60°= ，所以＜＜.（2）cos45°= ，cos24°12’16 ”= ，所以＜.（3）tan54°= ，tan60°24’= ，所以＜.2. 用计算器求下列每组三角函数值.（1）sin40° ，cos50° . （2）sin23°27’ ，cos66°33’.3. 不使用计算器比较下列三角函数值的大小：（填“＜”、“＝”或“＞”）（1）sin46°27’ cos53° 28’.（2）sin20° cos20°.（3）sin65° cos25°.4. 如图所示，儿童公园内滑梯的的滑板与地面所成的角∠A=35°，滑梯的高度BC=2米，则滑板AB的长约为.（精确到0.1米）5. 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。