2019高中数学优质课《基本不等式》

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基本不等式(2)
复习引入
重要不等式：a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： a b ab(a 0, b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
复习引入
对基本不等式的理解 a b ab(a 0,b 0)
2Hale Waihona Puke (1)几何解释:半径不小于半弦; 均值不等式 (2)均值定理:两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数. (3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小
于它们的等比中项;
例题讲解
例1 已知x,y都是正数,求证:
x y2 yx
思考1:已知x,y是任意非零实数,上面结 论是否成立?
x 1 3 x 1
结论1：两个正数的积为定值，则和有最小值， 当且仅当两值相等时取最值。
结论2：两个正数的和为定值，则积有最大值， 当且仅当两值相等时取最值。
例题结论
应用基本不等式求最值的条件：
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 若等号成立，
和定积最大
a与b必须能 够相等
已知x,y为正数，x+y=S,xy=P，则
结论1：两个正数的积为定值，则和有最小值， 当且仅当两值相等时取最值。
结论2：两个正数的和为定值，则积有最大值， 当且仅当两值相等时取最值。
小结与作业
1.知识小结 : 认识了基本不等式 以及它的简单应用
ab a b (a, b R ) 2
不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
2.重点：公式的应用
思考

基本不等式
第一课时
温故知新
2
2
a

R
,
b

R
,
a

b
2ab (当且仅当a b时取等号）
重要不等式
思考：如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
( a ) ( b ) ≥2 a b
2
2
a b≥2 ab
ab
ab
2
基本不等式 a 0, b 0, a b≥2 ab (当且仅当a b时取等号)
当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形的长为a，宽为b，
则由题意得a＋2b＝30，所以 S ab
1
1 a 2b 2 225
a 2b ≤ (
)
，
2
2
2
2
225
当且仅当a＝2b＝15时取等号．a 2b 30≥2 a 2b ab
2
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
圆的弦长不超过直径.
当点C在什么位
置时OD=CD？此
时a与b的关系是？
a b ≥2ab
2
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
2
a,b∈R
ab
≥ ab
2
a>0,b>0
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不
小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
a=b
典例解析
a b 2 ab
解：
x 0


y 9x
＝10＋x＋ y ≥10＋2
y 9x

出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1


4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）

用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,

则y= 2
的最大值
+2+4

1

规律：一正、二定、三相等。
三、应用 应用不等式求积的最值
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
2
（a
0,
b
0）
例3、已知 0 x 1 ,求函数 y x(1 x) 的最大值.
变：已知0 x 1 ,求y x(1 2x)的最大值 2
三、应用 变形技巧：用“1”的代换
a 0, b 0 , y b a 2 已知a 0,b 0 a b
思考3：a 0,b 0,2a 8b ab 0,则a b的最小值 ___
例5、若正数a,b满足ab a b 3,则a b的取值范围是 ____
ab的取值范围是 ______
四、小结
1、本节课主要内容？
一正：a 0,b 0 基a 本2 b不 等a式b 二三定相：等和 积：为 为“定 定”值 值成， ，立积 和的有 有条最 最件大 小为值 值：a b
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④ 是成立的,当且仅当 a b时
④中的等号成立.
三、应用 应用不等式求和的最值
Hale Waihona Puke ab a b（a 0,b 0） 2
a b 2 a（b a 0,b 0）
例1、若 x 0,求 y x 1 的最 值. x
变1:若a 0, b 0,求 y b a 的最小值. ab
例4、1 9 1,求a b的最小值 ab
变1、a b 2,求 1 4的最小值 ab
变2、a 2b 1,求 b 1的最小值 ab
思考1：a b 0, a b 1,则 4 1 的最小值___ a b 2b
思考2：a b 0, a b 1,则 b 1的最小值___ ab b