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《空间向量的正交分解及其坐标表示》p浙江省温州中学陈巴尔各位专家评委、老师们：大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.一、教学背景分析（一）教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.本章知识结构《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．增加．．所带来的影响.”“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考 向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广．．为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广．．．．.” 而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，仔细研究教材的编写意图．．．．，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下．．．．的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一．．．．．．．．．．，同时通过教材的阅读与思考环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空间结构．．的认识的升华过程，巧妙至极！（二）学生学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度空间坐标的定义是容易．．．的理解却．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性是模糊．．的.因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．二、教学目标设置依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：1、通过类比．．平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；2、理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；3、体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积．．．问题的意义．．所在；4、掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；5、体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与必要性，并将本节课所获得的结果，在高维．．，培养学．．作简单的推广．．空间．．向量生的类比归纳能力.三、教学策略分析鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略： 1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构．．特点上的统一性．．．，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；四、教学过程为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作出说明. （一）引入问题1：如图，已知a ，b 是给定的向量，对于任意的p ，请问p 能用a ，b 表示吗？【学生活动】学生思考是否能够表示，有学生认为可以，理由是之前学习的平面向量基本定理，还有学生认为不一定，因为p 可能与a ，b 不共面.【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间向量的类比．．得到空间向量的相关内容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是研究平面向量，同时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此本节课的目的就是要弄清推广过程中的不同之处，并加以解决.（二）温故知新，建立定理问题2：如果a ，b ，p 是共面的，那该怎么表示呢？ 【学生活动】学生提出通过作平行四边形的方法，可以得到''OP OA OB xOA yOB =+=+,所以x y =+p a b .并回顾了平面向量基本定理的表述：平面向量基本定理：如果向量a ，b 不共线，那么对于平面中的任一向量p ，存．在唯一．．．有序实数组{,}x y ，使得x y =+p a b ，其中{a ,}b 称为平面的一组基底. 【教师总结】这个就是我们之前在必修4中所学习的平面向量基本定理，同时我OO们知道这个分解不但存在．．，而且唯一．．！ 【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学习的平面向量基本定理，同时为后面推广为空间向量基本定理作好铺垫. 问题3：如果a ，b ，p 是不共面的，那该怎么办呢？ 【学生活动】学生思考提出应该再给出一个向量 问题4：随便再给出一个向量都行吗？【学生活动】学生提出新给出的向量应该与a ，b 不共面.问题5：如果再给出一个与a ，b 不共面的c ，现在该怎么表示p ？ 【学生活动】学生回答类似平面向量基本定理的做法，先过点P 作OC 的平行线，交a ，b 所在的平面于点M ，连接OM ,可以得到OP OM MP =+由平面向量基本定理可知OM x y =+a b ，再作'PC 平行于OM 交直线OC 于点'C ，则'MP OC z ==c ，所以x y z =+p a b+c .【教师总结】这个过程与平面向量基本定理十分相似，如果我们也给这个定理取一个名字，就可以把它叫做空间向量基本定理.问题6：我们可以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理吗？【学生活动】可以，只需要作出以下修改：空间向量基本定理：如果向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间中的任一向量p ，存在唯一．．．．有序实数组{,,}x y z ，使得x y z =++p a b c ，其中{,a ,}b c 称为空间的一组基底.【设计意图】通过类比平面中的分解过程，让学生在本质．．上体会空间向量在类似问题的处理上方法的相通之处；同时通过修改．．平面向量基本定理的方法来得到空间向量基本定理的表述，让学生再从形式．．上体会两个定理的相似之处，从而体现了类比．．的思想方法. （三）严格论证，完善定理问题7：我们在平面向量基本定理中知道，p 在基底{a ,}b 下的分解不但存在，而且唯一，那么空间向量基本定理中的分解也唯一吗？【学生活动】学生认为分解唯一，且通过刚才作图过程的唯一性来说明. 【教师总结】从刚才分解过程来看，作图过程是唯一的，但是如果我先将p 按照其他方式分解成几个向量，然后再分别在基底{,a ,}b c 下分解，分解系数仍然不变吗？我们发现通过作图观察问题是一个非常直观有效的方法，但是缺乏必要的逻辑推理，因此无法代替严格的证明，那么请同学们思考，该如何证明分解的唯一性？．【学生活动】鉴于这个问题有一定的难度，教师要求学生先进行独立思考．．．．．．．，然后在有自己的想法之后，分成4人小组讨论．．这个问题，并且最后邀请一位学生上台通过实物投影仪来讲述自己的证明方法：证明：假设存在两种分解，即111x y z =+p a b+c ，且222x y z =+p a b+c ，则有121212()()()x x y y z z =-+--0a b+c（i ）若120z z -=，则1212()()x x y y =-+-0a b ，由平面向量基本定理分解的唯一．．．．．．．．．．．．．性．可知12120x x y y -=-=，所以是同一种分解； （ii ）若120z z -≠，则12122121x x y yz z z z --=+--c a b ， 那就会有c 与a ，b 共面，矛盾！ 所以，只存在一种分解.【教师总结】这位同学通过代数方法证明了分解的唯一性，很好！这样，我们就得到了完整的空间向量基本定理.【设计意图】分解的唯一性．．．在选秀2-1教材的定理表述中并没有指出，但考虑到以下两点原因：1、在必修．．4．平面向量基本定理的表述中提到．．了唯一性；2、教学参考要求这个节课要让学生体会从平面向量基本定理到空间向量基本定理的类比．．过程，那么唯一性的证明就无法回避了. 事实上唯一性的证明，既保持了两个定理的一致性，能够更完整．．地让学生体会到其中的类比过程，又让学生体会了反证法的意义及应用，以及作图过程不能作为唯一性的证明，只能作为直观上的验证，提高了学生思维的严密．．性，最后分解的唯一性保证了空间向量与三元有序数组之间能够建立一一对应．．．．关系，为本节课后续的坐标定义．．．．的合理．．性．做下重要铺垫；（四）实例探究，应用定理 问题8：例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（1）试用AC ，AO ，AB 表示CG ； 【学生活动】学生通过计算得到11=33CG AO AB AC +-【设计意图】空间向量基本定理的简单应用，即给定一组空间的基底，就可以将任意一个向量分解成基向量的组合.例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（2）你能选择另外一个基底来表示CG ？ 【学生活动】学生经过讨论，选择，提出了不同基底的选择方案，其中选择最多的是{}OA OB OC ，，，此时11=33CG OA OB OC +-；但是有一个男生轻声说了一句：“选CG .”即选择CG 作为一个基向量，如{}CG CA CB ，，，此时=CG CG ！【设计意图】让学生熟悉向量在不同基底下的分解，并体会基底的选择并不唯一，课堂上绝大部分学生选择了{}OA OB OC ，，，回答理由是因为两两垂直，但AA是垂直条件在这个问题中，并没有为解题过程带来方便，而{}CG CA CB ，，却使得问题的解决更加简单， 因此可以看出，学生对于基底的选择很多时候是盲目的. 所以这个问题的设置主要目的．．．．是让学生初步体会在问题解决中需要根据具体问题．．．．选择合理的基底，为后面的寻找单位正交基并得出空间向量坐标定义做下了铺垫．．； 例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（3）试求AB CG ⋅；【学生活动】学生经过对比，容易发现选择{}OA OB OC ，，作为基底，在这个问题中具有很大的优势，因为两两垂直的单位向量之间的数量积运算结果非常简单！学生通过简单计算，得到221111=()()=03333AB CG OB OA OA OB OC OB OA ⋅-⋅+--=.【教师总结】通过这个问题的解决我们可以发现，在处理向量的数量积问题时，选择两两垂直的单位向量作为基底，会为问题的解决带来很大的方便，因此我们有理由对于这样的基底产生足够的重视.我们不妨设OA =i ，OB =j ，OC =k ，且把这种基底称作单位正交基底. 特别的，如果我们以i ，j ，k 作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么由空间向量基本定理，我们知道对于空间的任意p ，都能表示为x y z =+p a b+c ，而且这种表示是唯一．．的，所以空间的任意p ，都与有序实数组{}x y z ，，之间形成了一一对应．．．．的关系，我们就称x ，y ，z 是p 在单位正交基底{}，，i j k 下的坐标，记为()x y z =，，p .【设计意图】通过具体事例，体会到单位正交基底的选择对于处理数量积问题所带来的方便．．，然后又由之前已经证明的空间向量定理中分解的存在性．．．和唯一．．性．，强调突出我们成功让向量和数组形成了一一对应．．．．，进而很自然地得到了空A间向量的坐标定义.例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，O B O C ，两两垂直；（4）在如图所示的坐标系下，请写出OC ，OG ,CG 的坐标；【学生活动】学生通过空间向量坐标的定义，容易得出=001(0,0,1)OC ++=i j k ，同理有11(,,0)33OG =，11(,,1)33CG =-.【设计意图】巩固空间向量坐标的定义，以及空间向量坐标的得出，为后续的空间向量的坐标运算，与立体几何问题中的几何元素如何用向量坐标表示作下铺垫．．．（五）回顾历程，审视定理问题9：请同学们现在回顾一下，我们通过推广平面向量基本定理，得到了空间向量基本定理，而且我们发现两个定理本质上是一样的，只不过是同一个定理在二维空间推广到三维空间的不同表述而已，简单地说就是给我两个（不共线的）向量，就能表示出平面中的任意一个向量；给我三个（不共面的）向量，就能表示出空间中的任意一个向量. 那么如果将二维空间往后退化，那会是什么情况呢？【学生活动】学生很快反应过来，比二维空间更加简单的是一维空间，也就是直线，从而只需要给出一个非零向量，就可以表示出直线上的所有向量.平面向量基本定理空间向量基本定理abpp =x a +y ba bcp =x a +y b +z capp =x a【教师总结】这就是我们之前学习过的向量共线定理，原来这三个定理，本质．．上都是一样的，只是同一个定理，在不同维度．．空间下的不同表述形式而已.【设计意图】揭示了高中阶段三个有关向量空间分解定理的内在本质，让学生以一种联系．．的观点来重新审视．．自己学习过的知识，将旧知识与新知识加以联系,更重要的是，为下面的高维向量的推广作下自然的铺垫．．.（六）大胆猜想，推广定理问题10：那么，请同学们思考一下，空间向量基本定理还可以推广吗？ 【学生活动】学生认为可以推广，但也有所犹豫，因为至于什么是四维空间，将向量推广到比三维更高的维度，是否具有意义，都存在着疑惑，因此引导学生阅读选修2-1教材p99的“阅读与思考．．．．．””——“向量概念的推广与应用”. 【教师总结】通过课本的阅读，相信同学们知道了，向量不但可以推广到四维，甚至可以是任意的n维，都是具有实际意义的. 那么现在你们认为可以将空间向量基本定理进一步推广吗？【学生活动】学生认为可以，那就是给定四个不在同一个（三维）空间的向量，就可以用它们来表示四维空间内的任意一个向量！【设计意图】通过学生的大胆猜测，培养学生的合理猜想．．．．与类比推理．．．．的能力是非常重要的，同时选取合适的内容，让学生采取自行阅读学习的方式，又在课堂上很好地培养了学生的阅读与自学能力.这样一来，在一节课中既利用了教向量共线定理平面向量基本定理空间向量基本定理app =x aabpp =x a +y ba bcp =x a +y b +zc材的丰富教学资源，又让学生从课堂知识起步，通过猜想与类比去思索未知的高维空间，最后又回到课本中的“阅读与思考”材料走向疑问的解答，完成了一次源于．．课本，高于．．课本，最后又回归．．课本的教学过程，合理地利用教材，对课堂教学知识进行了重组与提高.（七）小结这节课我们通过推广平面向量基本定理，建立了空间向量基本定理，类似于我们由平面向量基本定理得到了平面向量的坐标的概念，我们也通过空间向量基本定理，得到了空间向量坐标的概念.同时我们发现共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理，只不过是同一个定理在不同维度空间下的不同表述而已，简单地说就是这样三句话：给我一个（非零）向量，我就得到了直线； 给我两个（不共线）向量，我就掌握了平面； 给我三个（不共面）向量，我就拥有了空间！像我们今天这种将复杂的空间结构分解为有限个要素的表示的想法，并不是我们独有的，很荣幸，有一位伟大的数学家和我们的想法是一样的.数学家柯西曾经说过这样一句话：向量共线定理平面向量基本定理空间向量基本定理a p p =x a ab p p =x a +y b a bc p =x a +y b +z c 平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示请同学们课后思考一下，柯西的这句话和我们今天的课堂内容有什么联系.好的，今天的课就上到这里，下课！【设计意图】通过空间向量基本定理的建立与三个向量定理的类比与推广的思考，既让学生经历了从一维，到二维，到三维，再到四维的从低维空间到高维空间的类比．．研究过程，同时也让学生体会我们可以用有限个向量去研究无限个向量，这是一种从无限到有限的转化思想.最后以数学家柯西的一句话来结束课堂的讨论，留给学生一些进一步思考的余地，引导学生进入课后更加深入的学习中去.五、教学特点及反思（1）类比与猜想的紧密结合本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.（2）课堂与教材的有机整合教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.以上就是我的课堂教学设计，真诚地希望得到各位专家的批评指正，谢谢！。
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(陈菊仙)一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能由平面向量基本定理拓展到空间向量基本定理，能够将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来，并能熟练应用于空间几何体中，借助图形进行空间向量的运算，用以解决证明与求值问题． （二）学习目标 1．理解空间向量基本定理及基向量、基底、坐标等概念．2．掌握将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来的基本方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，为立体几何证明与求值问题作好铺垫．（三）学习重点 1．空间向量基本定理及相关概念．2．空间任意一个向量用三个不共面的向量表示的方法．3．空间向量的分解在立体几何中的应用．（四）学习难点 1．深刻理解空间向量基本定理及合理选取基底，得到坐标．2．将空间任意向量拆分成三个不共面的向量．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第92页至第94页，填空：类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来． （2）写一写：特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标),,(z y x ．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换． 2．预习自测（1）已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则以下向量一定可以与向量b a p +=，b a q -=构成空间的另一基底的是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．都不可以【知识点】空间向量的基底．【解题过程】由平面向量基本定理知，b a p +=，b a q -=不共线，且在向量a ，b 决定的平面内，而c 不在该平面内，故p ，q ，c 构成空间的一组基底． 【思路点拨】三个向量构成空间的一组基底的充要条件是它们不共面． 【答案】C ．（2）已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，且向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则点O ，A ，B ，C 一定（ ） A ．共线B ．不共线C ．共面D ．不共面【知识点】空间向量的基底．【解题过程】向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则向量OA ，OB ，OC 共面，故点O ，A ，B ，C 共面．【思路点拨】深刻理解空间向量的基底．【答案】C ．（3）已知平行六面体1111D C B A ABCD -，点E 是侧面C C BB 11的中心且a AB =，b AD =，c AA =1，若c z b y a x AE ++=，则=++z y x ．【知识点】空间向量基本定理．【解题过程】∵AE )(211BB BC AB BE AB ++=+=AB ++=a ++= ∴1=x 21=y ，21=z ，=++z y x 2． 【思路点拨】合理的使用基底表示空间中的任意向量． 【答案】2．（4）已知向量a ，b ，c 不共面，向量b a p +=，c b q +=，a c r +=，若向量c b a AB ++=，则以p ，q ，r 为基底，=AB ． 【知识点】空间向量基底的线性运算． 【解题过程】c b a AB ++=)222(21c b a ++=)]()()[(21a c cb b a +++++==++． 【思路点拨】将基底a ，b ，c 转化为基底p ，q ，r 来表示．++ (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）平面向量基本定理； （3）基向量、基底、坐标等概念． 2．问题探究探究一 由平面向量基本定理类比空间向量基本定理★ ●活动① 类比提炼概念同学们，我们知道，平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．【设计意图】由学生熟悉平面向量基本定理类比空间向量基本定理，从二维拓展到三维，让学生体会概念的类比过程． ●活动② 巩固理解，深入探究我们在平面向量基本定理的学习中，有哪些重要的概念呢？（抢答）由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，从而更深刻的理解基底的概念，有利于合理选取基底来表示空间任意向量． ●活动③ 深入探究，发现规律空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．但为了方便，我们会选取便于向量计算的基底．怎么选取才会更合适呢？（抢答）三个两两垂直的单位向量，它们的模长都是1，两两之间的数量积都是0，运算最简便． 【设计意图】通过设问，引导学生进行探究，为找到单位正交基底作出铺垫，使学生的理解更加深入．探究二 探究空间向量的坐标表示★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量基本定理类似，我们要找出最合适的基底．特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．【设计意图】通过找出单位正交基底，让向量和直角坐标系联系起来，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x,y,z)．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解定理的同时，指出有序实数组},,{z y x 和坐标),,(z y x 的关系，有利于下节课坐标的计算． 探究三 探究空间向量基本定理的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，与平面向量类似，空间向量基本定理把向量的线性表达式由二维拓展到了三维．同时使用单位正交基底，确定了空间中任意向量和坐标的对应关系，从而在下堂课顺利引出坐标表示和运算．【设计意图】归纳知识点和定理，学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量a ，b ，c 是不共面的三个向量，则以下选项中能构成一个基底的一组向量是（ ）A ．2,,2a a b a b -+B ．2,,2b b a b a -+C ．,2,a b b c -D ．,,c a c a c +-【知识点】合理选取空间向量的基底． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设a ，b 2，c b -共面，则有2b c xa y b -=+⋅， 解得()(12)c x a y b =-+-，与a ，b ，c 不共面矛盾， ∴a ，b 2，c b -不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面．【答案】C ．同类训练 已知向量{p ，q ，r }是空间的一个基底，q p m 2+=，q p n +=2，则以下向量一定可以与向量m ，n 构成空间的另一基底的是（ ） A ．pB ．qC ．rD ．都不可以【知识点】空间基底的选取． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设r 与q p m 2+=，q p n +=2共面， 则有r n y m x +=)2()2(q p y q p x +++=，与r ，p ，q 不共面矛盾，∴r 与q p m 2+=，q p n +=2不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面． 【答案】C ．【设计意图】不共面的向量可以作基底，让学生的理解更加深刻． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试以向量AC ，1AB ，1AD 为空间的一个基底表示1AC ．【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面都是平行四边形， ∴1111,,AC AB AD AB AB AA AD AD AA =+=+=+，∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++)(21AA AD AB ++=12AC =，故1111()2AC AC AB AD =++．【思路点拨】先将AC ，1AB ，1AD 用侧面上的向量AB ，AD ，1AA 表示，再利用向量加法的平行四边形法则和运算律． 【答案】1AC )(2111AD AB AC ++=．同类训练 若向量21e e a +=，32e e b +=，31e e c +=，32132e e e d ++=，向量1e ，2e ，3e 不共面，则当c b a d γβα++=时，=++γβα ． 【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由已知得321)()()(e e e d γββαγα+++++=32132e e e ++=∴1=+γα，2=+βα，3=+γβ，故6321)(2=++=++γβα，∴3=++γβα 【思路点拨】将d 表示成1e ，2e ，3e 的组合，再利用空间向量基本定理求解． 【答案】3．【设计意图】使用不同的基底表示同一个向量，让学生对向量的分解的运算更加熟练． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标为(8,6,4)，其中a i j =+，k j b +=，c k i =+，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标为（ ） A ．)10,14,12(B ．)14,12,10(C ．)12,10,14(D ．)3,2,4(【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】864OA a b c =++8()6()4()121410i j j k k i i j k =+++++=++． 【思路点拨】先将OA 用基底},,{c b a 表示，再通过条件转化到用基底},,{k j i 表示． 【答案】A ．同类训练 设},,{k j i 是空间向量的一个正交基底，32a i j k =+-．242b i j k =-++，则向量b a +的坐标为 ．【知识点】空间向量的坐标表示及运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】b a +)23(k j i -+=)242(k j i ++-+k j i ++=6．【思路点拨】以},,{k j i 为基底来表示向量a ，b ，计算后再转化为坐标形式． 【答案】)1,6,1(．【设计意图】基底表示和坐标表示是空间向量基本定理的两种重要形式，它们之间的相互转化是非常重要，也是必须掌握的． 3.课堂总结 知识梳理（1）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=，即空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．（3）若1e ，2e ，3e 为三个两两垂直的单位向量（单位正交基底），那么对于空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．这就是从正交基底到直角坐标系的转换． 重难点归纳（1）空间向量基本定理是平面向量基本定理的三维拓展，表示的重点在于合理拆分． （2）选取单位正交基底后，向量就转化到了直角坐标系中，计算更方便． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知},,{c b a 是空间的单位正交基底，c b a d --=32，则向量d 在基底},,{c b a 下的坐标为（ ）A ．)1,3,2(B ．)1,3,2(--C ．)1,3,2(-D ．)1,3,2(--- 【知识点】向量数量基底表示与空间坐标的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】根据空间坐标的定义，向量a ，b ，c 的系数组成的有序实数组就是向量d 的空间直角坐标．【思路点拨】深刻理解空间直角坐标系的概念．【答案】B ．2．已知},,{c b a 是空间的一个基底，若b a p +=，b a q -=，则（ ） A ．a ，p ，q 是空间的一组基底 B ．b ，p ，q 是空间的一组基底 C ．c ，p ，q 是空间的一组基底D ．p ，q 与a ，b ，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底【知识点】空间向量基底的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设q y p x c +=，即c )()(b a y b a x -++=b y x a y x )()(-++=，与c 与a ，b 不共面矛盾．故c ，p ，q 不共面． 【思路点拨】三个向量成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．3．已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标是)3,1,2(，其中j i a 24+=，k j b 32+=，j k c -=3，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标是 ． 【知识点】向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】c b a OA 32++=)24(2j i +=)32(k j ++)3(3j k -+k j i 1238++=，故点A 在基底},,{k j i 下的坐标是)12,3,8(．【思路点拨】将点A 在基底},,{c b a 下的坐标转化为向量，再通过计算，将向量转化为在基底},,{k j i 下的坐标．【答案】)12,3,8(．4．下列能使向量MA ，MB ，MC 成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．OM ++=B ．MC MB MA +=C ．OC OB OA OM ++=D ．MC MB MA -=2【知识点】选取基底的判断． 【数学思想】转化思想．【解题过程】对于选项A ，OC z OB y OA x OM ++=中，1=++z y x ，则有M ，A ，B ，C 四点共面，故向量MA ，MB ，MC 共面；对于选项B 、D ，由空间向量共面定理知，MA 在MB ，MC 确定的平面内．【思路点拨】三个向量能够成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．5．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且1==AD PA ，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则MN 的坐标为 ． 【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AN PN AP +=AP +=)(21AC PA AP ++=)(21AD AB ++=，AM =MN AM AN -=+=，故MN 的坐标为)21,21,0(．【思路点拨】AB ，AD ，AP 两两垂直且长度为1，故{AB ，AD ，AP }为单位正交基底，所求向量用它们的线性组合表示后，系数就是该向量的坐标． 【答案】)21,21,0(．6．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 是上底面对角线11C A 和11D B 的交点，若a AB =，b AD =，c AA =1，则BM 可表示为（ ）A c ++B ．c +-C ．c +--D ．c ++-【知识点】空间向量的基底表示．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】BM AB AM -=AB AA AD AB -++=1)(211AA ++=．【思路点拨】将所求向量拆分为基底的线性组合． 【答案】D ．能力型 师生共研7．设b a x +=，c b y +=，a c z +=，且},,{c b a 是空间的一个基底，给出下列向量组： ①},,{x b a ，②},,{z y x ，③},,{z c b ，④},,{c b a y x ++，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④【知识点】空间向量的基底．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵b a x +=，∴x 在a ，b 确定的平面内，故},,{x b a 不能作为基底．而},,{z y x ，},,{z c b ，},,{c b a y x ++都不共面．【思路点拨】能够作为空间的基底的向量组一定不共面． 【答案】A ．8．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外的一点，M ，N 分别为线段PC ，PD 上的点，且MC PM 2=，ND PN =，求满足AP z AD y AB x MN ++=的实数x ，y ，z 的值．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】AM AN MN -=)(21AP AD +-+=AD AB AP AD )](32)21=++-+=（，故32-=x ，61-=y ，61=z ． 【思路点拨】先将AN 和AM 表示出来，再进行向量的运算． 【答案】32-=x ，61-=y ，61=z ． 探究型 多维突破9．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD 上一点，ED BE 3=，以},,{AD AC AB 为基底，则=GE ．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵ED BE 3=，∴)(43AB AD BE -==， 又)(31)(2132AC AB AC AB AG +=+⨯=，∴=GE AG AE -AG BE AB -+=)(31)(43AC AB AB AD AB +--+=+-=．【思路点拨】先将AG 和BE 表示出来，再进行向量的运算．【答案】 10．已知},,{321e e e 是空间的一个基底，且3212e e e OA -+=，32123e e e OB ++-=，321e e e OC -+=，试判断},,{OC OB OA 能否作为空间的一个基底．若能，试以此基底表示向量32132e e e OD +-=；若不能，请说明理由．【知识点】空间向量基底的选取．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=， ∴3212e e e -+)23(321e e e x ++-=)(321e e e y -++321)2()()3(e y x e y x e y x -++++-=， ∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴13=+-y x ，2=+y x ，12-=-y x ，此方程组无解， 即不存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=，∴OA ，OB ，OC 不共面，},,{OC OB OA 能作为空间的一个基底．设OC r OB q OA p OD ++=， 则32132e e e +-)2(321e e e p -+=)23(321e e e q ++-+)(321e e e r -++321)2()2()3(e r q p e r q p e r q p -+-+++++-=，∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴23=+-r q p ，12-=++r q p ，32=-+-r q p ，解得17=p ，5-=q ，30-=r ，∴OC OB OA OD 30517--=．【思路点拨】判断一组向量能否作为空间的一个基底，关键是判断它们是否共面，再利用空间向量基本定理解决． 【答案】能，OC OB OA OD 30517--=．自助餐1．已知向量p 在基底},,{c b a 下的坐标是)1,3,2(-，则p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是 ．【知识点】向量的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=p )()(c b a z b a y a x +++++c z b z y a z y x +++++=)()(c b a -+=32， ∵},,{c b a 是一组基底，∴2=++z y x ，3=+z y ，1-=z ，解得1-=x ，4=y ，1-=z ， 故p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是)1,4,1(--．【思路点拨】将p 表示为a ，b a +，c b a ++的线性组合，通过解方程组得到所求坐标．【答案】)1,4,1(--． 2．在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，D ，E 分别为1AA ，C B 1的中点，若记 a AB =，b AC =，c AA =1，则=DE （用a ，b ，c 表示）【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】DE E A DA 11+=)(21111C A B A ++=)(211AA AC AB -++=)(21c b a -++==+ 【思路点拨】用向量的运算法则将DE 转化为用AB 、AC 、1AA 表示的向量.+． 3.已知空间的一个基底},,{c b a ，c b a m 2+-=，c b y a x n ++=，若m 与n 共线， 则=x ，=y ．【知识点】空间向量基本定理，向量共线．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵m 与n 共线，∴n m λ=，即c b y a x ++）c b a 2(+-=λc b a λλλ2+-=， 由空间向量基本定理，有λ=x ，λ-=y ，λ21=，解得21=x ，21-=y ．【思路点拨】由共线定理，将向量用基底表示再列式． 【答案】21，21-． 4．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b AD =，c AA =1，P 是C A 1的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在C A 1上，且1:4:1=QA CQ ，用基底},,{c b a 表示以下向量．（1）AP ；（2）AM ；（3）AN ；（4）AQ ．【知识点】在空间几何体中用基底表示向量．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）)(211AA AC AP +=)(211AA AD AB ++=)(21c b a ++=；（2）)(211AD AC AM +=)2(211AA AD AB ++=b ++=；（3）)(2111AD AC AN +=)]()[(2111AA AD AA AD AB ++++=c b ++=；（4）CQ AC AQ +=)(541AC AA AC -+=+=)(51AD AB ++=++=． 【思路点拨】将要求的向量合理拆分，用a ，b ，c 表示出来．【答案】（1）)(21c b a ++；（2b ++（3c b ++；（4++． 5．正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是底面11C A 和侧面1CD 的中心，若01=+D A EF λ)(R ∈λ，则=λ ．【知识点】空间几何体中向量的线性表示．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a DA =，b DC =，c DD =1，则)(1c a D A +-=，又])(21[)(21c b a c b DE DF EF ++-+=-=-=，∴EF =，故21-=λ． 【思路点拨】将EF 与D A 1用a ．b ，c 表示，可得到两者的数乘关系． 【答案】21-． 6．已知},,{k j i 是空间的一个基底，设k j i a +-=2，k j i b 23-+=，k j i c 32-+-=，k j i d 523++=．试问是否存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立？如果存在，求出λ，μ，ν的值；如果不存在，请给出证明．【知识点】平面向量基本定理的应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立， 则有325i j k ++)2(k j i +-=λ)23(k j i -++μ)32(k j i -+-+νk j i )32()3()22(νμλνμλνμλ--+++-+-+=，∵},,{k j i 是空间的一个基底， ∴322=-+νμλ，23=++-νμλ，532=--νμλ，解得2-=λ，1=μ，3-=ν，故存在． 【思路点拨】先用基底},,{k j i 表示向量，再利用空间向量基本定理列出等式求解． 【答案】2-=λ，1=μ，3-=ν．。
空间向量及其运算（优质课）教案教学目标：1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.教学过程：1．空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA→，OB→，OC→表示OG→，MG→等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D''''-.求证:2.AC AB AD AC'''++=【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,,,AC AB AD AB AB AA ''∴=+=+.AD AD AA ''=+∴AC AB AD ''++()()()AB AD AB AA AD AA ''=+++++ 2().AB AD AA '=++又∵,,AA CC AD BC ''==,AB AD AA AB BC CC AC CC AC ''''∴++=++=+=2.AC AB AD AC '''∴++=练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A 1N →【答案】(1)AP →=a+c+2b ；(2)A 1N →=-a+b+2c练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12类型二 共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB ,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,如图3-1-20,试判断四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH 是平行四边形. ∵1()2EH EA AH BA AD =+=+=111,(),222BD FG FC CG BC CD BD =+=+=.EH FG ∴=∵E 点不在FG 上,∴EH ∥FG ,且EH =FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形. 解法2:∵11(),22HG HD DG AD DC AC =+=+= 11(),22EF EB BF AB BC AC =+=+=∴.HG EF =又H 点不在EF 上, ∴HG ∥EF ,且HG =EF .∴四边形EFGH 是平行四边形.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-,若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【答案】3-类型三 空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． 【解析】（1）设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN=AN -AM =12（AC +AD ）-12AB =12（q+r-p ）， ∴MN·AB =12（q+r-p ）·p =12（q ·p+r ·p-p 2）=12（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）由（1）可知MN=12（q+r-p ） ∴|MN |2=MN 2=14（q+r-p ）2=14［q 2+r 2+p 2+2（q ·r-p ·q-r ·p ）］=14[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）=14×2a 2=22a . ∴|MN|=22a,∴MN 的长为22a. (3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r)，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r)·(q －12p) ＝12(q2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p)＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°)＝22a . 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝22a . ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.【答案】（1）见解析（2）MN a.（3）异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23练习1：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值．【答案】设AB =a,AD =b.1AA =cBD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝66.1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)【答案】B 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A3.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2【答案】D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 2 【答案】C3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能 【答案】B4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)【答案】B5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．【答案】657能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】111244a b c ++ 8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．【答案】解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。
在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到OA =xi y j zk ++。
因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。
这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则a +b ＝（112233,,a b a b a b +++），a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。
空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。
例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。
例3：求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点。
选修2-1 3.1.4《空间向量的正交分解及其坐标表示》教案3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海中学陈科钧一、教材分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-1）中第三章空间向量与几何体：第一节“空间向量及其运算”的第四课时；空间向量是平面向量的推广，是近代数学的一个重要工具，是联系代数、几何、三角的重要桥梁，为用空间向量解决立体几何问题做好铺垫，同时通过不断与平面向量的正交分解及基本定理进行类比学习，不断将三维空间问题向二维平面问题转化，充分体现了类比与转化思想在研究问题过程中的作用。
二、教学目标1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2.通过类比，转化，归纳，推广等思想，提高观察、分析、抽象概括的能力,进一步培养学生的空间观念。
3.通过本节课学习，培养学生的积极探究，合作学习，不断创新的思维品质。
2.学法分析让学生通过观察、分析、类比，合作、总结、归纳，培养学生发现问题，分析问题、解决问题的能力，培养不断创新、追求精益求精的“工匠精神”。
六、教学过程（一）复习引入（开门见山）微课复习：微课展示共线向量、共面向量的表示方法，提出探究的问题“空间任一向量如何来表示”师生活动：假设某一时刻我们对空中的一架飞机进行定点监测，如图，提出向量d 此时能否被向量,a b 表示出来？ 生：学生会说不可以. 师：追问要想把此时飞机P 定位，既向量d 表示出来，那我们需要如何改进呢？生：再添加一个向量c .师：怎样添加？在地平面上任意取一个可以吗？ 生：不可以，向量c 必需与向量,a b 不在同一平面. 师：换句话说，向量,,a b c 有什么约束条件? 生：既不共面的三个．设计意图：通过复习共线向量、平面向量的表示，引导学生类比到空间向量的表示；达成两点共a b 飞机P d O识：①可以表示；②需要三个不共线的向量。
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、课标要求：空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示．二、教学分析《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标．．．．．．的转化．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．与在推广过程中．．上的和谐性．．．．．，体验数学在结构的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．所带来的影响.”．．增加三、教学目标知识与技能1．了解空间向量基本定理；2．理解空间向量的基底、基向量的概念；3．理解空间向量的正交分解和坐标表示．过程与方法1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量基本定理的意义；3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展、变化的，会用联系的观点看待事物．学情分析：在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
教学设计3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示整体设计教材分析空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示．课时分配1课时教学目标知识与技能1．了解空间向量基本定理；2．理解空间向量的基底、基向量的概念；3．理解空间向量的正交分解和坐标表示．过程与方法1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量基本定理的意义；3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展、变化的，会用联系的观点看待事物．重点难点教学重点：空间向量基本定理；空间向量的坐标表示．教学难点：空间向量基本定理的应用．教学过程引入新课提出问题：回忆平面向量基本定理的内容，思考平面向量基本定理的作用．活动设计：教师提问旧知，学生回答，思考得出结论．活动成果：1．共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b .2．平面向量基本定理的作用：平面内任意两个不共线的向量称为平面向量的一组基底，平面内任一向量都可以用这组基底来唯一地表示．3．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，选择平面内相互垂直的两个单位向量i ，j 作为平面向量的基底，任一向量p 都存在唯一确定的一对实数(x ，y)，使p ＝x i ＋y j ，建立了向量和有序数对的一一对应关系，所以可以用有序数对来表示向量，故把(x ，y)称为平面向量p 的坐标．设计意图：巩固学生的认知基础，为探索新知作好准备．探究新知提出问题1：平面向量存在基底，那么空间向量是否存在基底，基底是否唯一？活动设计：学生先自己思考，然后小组交流，交流各自的想法；教师指导学生利用空间几何体来研究，并巡视参加学生讨论．活动成果：1．空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p 存在一个唯一的有序实数组{x ，y ，z}，使p ＝x a ＋y b ＋z c .证明：(存在性)设a ，b ，c 不共面，过点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OP →＝p ；过点P 作直线PP ′平行于OC ，交平面OAB 于点P ′，连接OP ′，在平面OPC 内，作PC ′∥OP ′，交直线OC 于点C ′；在平面OAB 内，过点P ′作直线P ′A ′∥OB ，P ′B ′∥OA ，分别与直线OA ，OB相交于点A ′，B ′，于是，存在三个实数x ，y ，z ，使'OA ＝xOA →＝x a ，'OB ＝yOB →＝y b ，'OC ＝zOC →＝z c ，∴OP →＝'OA ＋'OB ＋'OC ＝xOA →＋yOB →＋zOC →.∴p ＝x a ＋y b ＋z c .(唯一性)假设还存在x ′，y ′，z ′使p ＝x ′a ＋y ′b ＋z ′c ，∴x a ＋y b ＋z c ＝x ′a ＋y ′b ＋z ′c .∴(x －x ′)a ＋(y －y ′)b ＋(z －z ′)c ＝0.不妨设x ≠x ′，即x －x ′≠0，∴a ＝y －y ′x ′－x ·b ＋z －z ′x ′－x·c . ∴a ，b ，c 共面．这与已知矛盾，∴该表达式唯一．综上两方面，原命题成立．2．由此定理，若三向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量所组成的集合是{p |p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ∈R ，y ∈R ，z ∈R }，这个集合可以看作由向量a ，b ，c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量．3．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．设计意图：引导学生探索出空间向量基本定理．提出问题2：空间向量能不能用坐标表示？应如何选择空间向量的基底？活动设计：学生自主探索；教师巡视指导．活动成果：1．单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i ，j ，k }表示．2．在空间直角坐标系O —xyz 中，分别以和x 轴、y 轴、z 轴共线的单位向量i ，j ，k 作为单位正交基底，则对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x i ＋y j ＋z k ，则空间向量和有序数组建立了一一对应关系，可以用有序数组来表示向量．于是，我们把(x ，y ，z)称为空间向量p 的坐标．设计意图：类比平面向量坐标的由来引导学生得出空间向量的坐标表示．理解新知提出问题：O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，是否都能找到唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →？活动设计：学生自己推证，教师巡视指导．活动成果：∵O ，A ，B ，C 是不共面的四点，∴OA →，OB →，OC →不共面．由空间向量基本定理得，对于向量OP →，存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP →＝xOA→＋yOB →＋zOC →.设计意图：加深对空间向量基本定理的理解，增强学生的应用意识．运用新知已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →.思路分析：要用OA →，OB →，OC →表示向量OG →，就是要找到一组有序实数x ，y ，z ，使OG→＝xOA →＋yOB →＋zOC →，这主要用向量的加法及减法的性质，由向量OG →入手，看一看向量OG →可以由哪些向量的和或差得到．解：OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →]＝16OA →＋13OB →＋13OC →.∴OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 巩固练习如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.解：∵OG →＝OA →＋AG →，而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 中点，∴OD →＝12(OB →＋OC →)． ∴OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH →＝OH →－OG →，又∵OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， ∴GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a . ∴OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a . 达标检测1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA →，OB →，OC →共线B.OA →，OB →共线C. OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面2．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k ，则向量a ，b 的关系是________．答案：1.D 2.13(a ＋b ＋c ) 3.垂直课堂小结1．知识收获：空间向量基本定理；空间向量的坐标表示．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法．3．思维收获：类比思想、转化思想、基底思想．布置作业课本习题3.1A 组第11题、补充练习．补充练习基础练习1．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2b D. a ＋2c2．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)3．在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，∠AOB ＝π2，||AO ＝4，||BO ＝2，||AA ′＝4，D 为A ′B ′的中点，则在如右图所示的空间直角坐标系中，DO →的坐标是________，A ′B →的坐标是________．答案：1.D 2.A 3.(－2，－1，－4) (－4,2，－4)拓展练习4．设四面体OABC 的棱OA ，BC ，OB ，AC ，OC ，AB 的中点分别是P ，Q ，R ，S ，M ，N.试判断线段PQ ，RS ，MN 的中点是否重合，用向量证明你的判断．证明：选择OA →，OB →，OC →作为空间向量的一组基底．设PQ 的中点为D ，RS 的中点为E ，MN 的中点为F.则OD →＝12(OP →＋OQ →)＝12⎣⎡⎦⎤12OA →＋12(OB →＋OC →)＝14(OA →＋OB →＋OC →)．同理可得OE →＝14(OA →＋OB →＋OC →)，OF →＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴OD →＝OE →＝OF →，且三个向量有相同的起点O.∴D ，E ，F 三点重合，即线段PQ ，RS ，MN 的中点重合．设计说明本节课介绍了空间向量基本定理和空间向量坐标表示．空间向量基本定理由学生根据平面向量基本定理类比发现，然后选择一组正交基底得到向量的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生根据已有知识基础把新知识类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行巩固练习，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA＝AD ＝1.求MN →、DC →的坐标．思路分析：选择一组正交基底，写出向量的坐标即可．解：∵PA ＝AD ＝AB ，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k .以i 、j 、k 为正交基底建立空间直角坐标系A —xyz.∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC → ＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12j ＋k ＋12(－k －i ＋j ) ＝－12i ＋12k ， ∴MN →＝(－12，0，12)，DC →＝(0,1,0)． 点评：空间直角坐标系的建立需寻求三条两两互相垂直的直线，应重视向量的坐标的定义．2四棱锥P —OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示：BF →、BE →、AE →、EF →.解：BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c ， BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c ， AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋12b ＋12c ， EF →＝12CB →＝12OA →＝12a . 点评：空间向量的一组基底{a ，b ，c }可以表示出任一空间向量，要注意应用三角形法则、平行四边形法则．(设计者：殷贺)。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示2、掌握空间向量的坐标运算的规律3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．三、教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算四、教学难点：理解空间向量基本定理五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、新课引入1）. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算；2）. 复习：平面向量基本定理.(二)、讲授新课1）. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ），,,a b c 都叫做基向量.2）. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直． 选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3）. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝OB －OA ＝222(,,)x y z －111(,,)x y z ＝212121(,,)x x y y z z ---． 4）. 向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++证明方法：与平面向量一样，将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可．5）. 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a //b ⇔a ＝λb ⇔112233,,a b a b a b λλλ===，()R λ∈⇔312123a a ab b b ==；⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔1122330a b a b a b ++=．例题讲解：课本94页：例43、巩固训练：课本94页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结： (1)空间向量的正交分解 (2)空间向量基本定理 (3)空间向量的坐标运算的规律 八、课外作业：课本97页：习题3.1 A 组 8九、板书设计：。
《空间向量的正交分解及其坐标表示》浙江省温州中学 陈巴尔apabp p abcp =x ap =x a +y bp =x a +y b +z c各位专家评委、老师们：大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.一、教学背景分析（一）教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A 版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.本章知识结构《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.空间向量的定义及其运算用空间向量表示点、直线、平面等元素 建立空间图形与空间向量的联系 利用空间向量的运算解决立体集合中的问题空间向量运算的几何表示（如平行四边形法则）空间向量运算的坐标表示 （加减法、数乘、数量积）因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．所带．．增加．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度来的影响.”“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广．．为高维向量，并说明了其应用.有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广．．．．.”而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，仔细研究教材的编写意图．．．．，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下．．．．的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一．．．．．．．．．．，同时通过教材的阅读与思考环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空间结构．．的认识的升华过程，巧妙至极！（二）学生学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度空间坐标的定义是容易．．．的理解却．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性是模糊．．的.因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．二、教学目标设置依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：1、通过类比．．平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；2、理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；3、体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积．．．问题的意义．．所在；4、掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；5、体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与必要性，并将本节课所获得的结果，在高维．．，培养学．．作简单的推广．．空间．．向量生的类比归纳能力.三、教学策略分析鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略： 1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构．．特点上的统一性．．．，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；四、教学过程为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：引入小结温故知新，建立定理严格论证，完善定理实例探究，应用定理回顾历程，审视定理大胆猜想，推广定理接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作出说明. （一）引入问题1：如图，已知a ，b 是给定的向量，对于任意的p ，请问p 能用a ，b 表示吗？【学生活动】学生思考是否能够表示，有学生认为可以，理由是之前学习的平面向量基本定理，还有学生认为不一定，因为p 可能与a ，b 不共面.【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间向量的类比．．得到空间向量的相关内容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是研究平面向量，同时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此本节课的目的就是要弄清推广过程中的不同之处，并加以解决.（二）温故知新，建立定理问题2：如果a ，b ，p 是共面的，那该怎么表示呢？ 【学生活动】学生提出通过作平行四边形的方法，可以得到''OP OA OB xOA yOB =+=+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r,所以x y =+p a b .并回顾了平面向量基本定理的表述：平面向量基本定理：如果向量a ，b 不共线，那么对于平面中的任一向量p ，存．在唯一．．．有序实数组{,}x y ，使得x y =+p a b ，其中{a ,}b 称为平面的一组基底. 【教师总结】这个就是我们之前在必修4中所学习的平面向量基本定理，同时我ab pOB b pB'OB们知道这个分解不但存在．．，而且唯一．．！ 【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学习的平面向量基本定理，同时为后面推广为空间向量基本定理作好铺垫. 问题3：如果a ，b ，p 是不共面的，那该怎么办呢？ 【学生活动】学生思考提出应该再给出一个向量 问题4：随便再给出一个向量都行吗？【学生活动】学生提出新给出的向量应该与a ，b 不共面.问题5：如果再给出一个与a ，b 不共面的c ，现在该怎么表示p ？ 【学生活动】学生回答类似平面向量基本定理的做法，先过点P 作OC 的平行线，交a ，b 所在的平面于点M ，连接OM ,可以得到OP OM MP =+u u u r u u u u r u u u r由平面向量基本定理可知OM x y =+u u u u ra b ，再作'PC 平行于OM 交直线OC 于点'C ，则'MP OC z ==u u u r u u u u rc ，所以x y z =+p a b+c .【教师总结】这个过程与平面向量基本定理十分相似，如果我们也给这个定理取一个名字，就可以把它叫做空间向量基本定理.问题6：我们可以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理吗？【学生活动】可以，只需要作出以下修改：空间向量基本定理：如果向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间中的任一向量p ，存在唯一．．．．有序实数组{,,}x y z ，使得x y z =++p a b c ，其中{,a ,}b c 称为空间的一组基底.【设计意图】通过类比平面中的分解过程，让学生在本质．．上体会空间向量在类似问题的处理上方法的相通之处；同时通过修改．．平面向量基本定理的方法来得到空间向量基本定理的表述，让学生再从形式．．上体会两个定理的相似之处，从ab c pC'B'A'OAB PC M而体现了类比．．的思想方法. （三）严格论证，完善定理问题7：我们在平面向量基本定理中知道，p 在基底{a ,}b 下的分解不但存在，而且唯一，那么空间向量基本定理中的分解也唯一吗？【学生活动】学生认为分解唯一，且通过刚才作图过程的唯一性来说明. 【教师总结】从刚才分解过程来看，作图过程是唯一的，但是如果我先将p 按照其他方式分解成几个向量，然后再分别在基底{,a ,}b c 下分解，分解系数仍然不变吗？我们发现通过作图观察问题是一个非常直观有效的方法，但是缺乏必要的逻辑推理，因此无法代替严格的证明，那么请同学们思考，该如何证明分解的唯一性？．【学生活动】鉴于这个问题有一定的难度，教师要求学生先进行独立思考．．．．．．．，然后在有自己的想法之后，分成4人小组讨论．．这个问题，并且最后邀请一位学生上台通过实物投影仪来讲述自己的证明方法：证明：假设存在两种分解，即111x y z =+p a b +c ，且222x y z =+p a b +c ，则有121212()()()x x y y z z =-+--0a b +c（i ）若120z z -=，则1212()()x x y y =-+-0a b ，由平面向量基本定理分解的唯一．．．．．．．．．．．．．性．可知12120x x y y -=-=，所以是同一种分解； （ii ）若120z z -≠，则12122121x x y y z z z z --=+--c a b ， 那就会有c 与a ，b 共面，矛盾！ 所以，只存在一种分解.【教师总结】这位同学通过代数方法证明了分解的唯一性，很好！这样，我们就得到了完整的空间向量基本定理.【设计意图】分解的唯一性．．．在选秀2-1教材的定理表述中并没有指出，但考虑到以下两点原因：1、在必修．．4．平面向量基本定理的表述中提到．．了唯一性；2、教学参考要求这个节课要让学生体会从平面向量基本定理到空间向量基本定理的类比．．过程，那么唯一性的证明就无法回避了. 事实上唯一性的证明，既保持了两个定理的一致性，能够更完整．．地让学生体会到其中的类比过程，又让学生体会了反证法的意义及应用，以及作图过程不能作为唯一性的证明，只能作为直观上的验证，提高了学生思维的严密．．性，最后分解的唯一性保证了空间向量与三元有序数组之间能够建立一一对应．．．．关系，为本节课后续的坐标定义．．．．的合理．．性．做下重要铺垫；（四）实例探究，应用定理 问题8：例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（1）试用AC u u u r ，AO u u u r ，AB u u u r表示CG u u u r ； 【学生活动】学生通过计算得到11=33CG AO AB AC +-u u u r u u u r u u u r u u u r【设计意图】空间向量基本定理的简单应用，即给定一组空间的基底，就可以将任意一个向量分解成基向量的组合.例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（2）你能选择另外一个基底来表示CG u u u r？【学生活动】学生经过讨论，选择，提出了不同基底的选择方案，其中选择最多的是{}OA OB OC u u u r u u u r u u u r，，，此时11=33CG OA OB OC +-u u u r u u u r u u u r u u u r ；但是有一个男生轻声说了一句：“选CG u u u r .”即选择CG u u u r作为一个基向量，如{}CG CA CB u u u r u u u r u u u r ，，，此时=CG CG u u u r u u u r ！【设计意图】让学生熟悉向量在不同基底下的分解，并体会基底的选择并不唯一，课堂上绝大部分学生选择了{}OA OB OC u u u r u u u r u u u r，，，回答理由是因为两两垂直，但CGAOBCGAOB是垂直条件在这个问题中，并没有为解题过程带来方便，而{}CG CA CB u u u r u u u r u u u r，，却使得问题的解决更加简单， 因此可以看出，学生对于基底的选择很多时候是盲目的. 所以这个问题的设置主要目的．．．．是让学生初步体会在问题解决中需要根据具体问题．．．．选择合理的基底，为后面的寻找单位正交基并得出空间向量坐标定义做下了铺垫．．； 例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（3）试求AB CG ⋅u u u r u u u r；【学生活动】学生经过对比，容易发现选择{}OA OB OC u u u r u u u r u u u r，，作为基底，在这个问题中具有很大的优势，因为两两垂直的单位向量之间的数量积运算结果非常简单！学生通过简单计算，得到221111=()()=03333AB CG OB OA OA OB OC OB OA ⋅-⋅+--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .【教师总结】通过这个问题的解决我们可以发现，在处理向量的数量积问题时，选择两两垂直的单位向量作为基底，会为问题的解决带来很大的方便，因此我们有理由对于这样的基底产生足够的重视.我们不妨设OA =u u u r i ，OB =u u u r j ，OC =u u u rk ，且把这种基底称作单位正交基底. 特别的，如果我们以i ，j ，k 作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么由空间向量基本定理，我们知道对于空间的任意p ，都能表示为x y z =+p a b+c ，而且这种表示是唯一．．的，所以空间的任意p ，都与有序实数组{}x y z ，，之间形成了一一对应．．．．的关系，我们就称x ，y ，z 是p 在单位正交基底{}，，i j k 下的坐标，记为()x y z =，，p .【设计意图】通过具体事例，体会到单位正交基底的选择对于处理数量积问题所带来的方便．．，然后又由之前已经证明的空间向量定理中分解的存在性．．．和唯一．．性．，强调突出我们成功让向量和数组形成了一一对应．．．．，进而很自然地得到了空CGAOB间向量的坐标定义.例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（4）在如图所示的坐标系下，请写出OC u u u r ，OG u u u r ,CG u u u r的坐标；【学生活动】学生通过空间向量坐标的定义，容易得出=001(0,0,1)OC ++=u u u ri j k ，同理有11(,,0)33OG =u u u r ，11(,,1)33CG =-u u u r .【设计意图】巩固空间向量坐标的定义，以及空间向量坐标的得出，为后续的空间向量的坐标运算，与立体几何问题中的几何元素如何用向量坐标表示作下铺垫．．．（五）回顾历程，审视定理问题9：请同学们现在回顾一下，我们通过推广平面向量基本定理，得到了空间向量基本定理，而且我们发现两个定理本质上是一样的，只不过是同一个定理在二维空间推广到三维空间的不同表述而已，简单地说就是给我两个（不共线的）向量，就能表示出平面中的任意一个向量；给我三个（不共面的）向量，就能表示出空间中的任意一个向量. 那么如果将二维空间往后退化，那会是什么情况呢？【学生活动】学生很快反应过来，比二维空间更加简单的是一维空间，也就是直线，从而只需要给出一个非零向量，就可以表示出直线上的所有向量.zyxCGA OB平面向量基本定理空间向量基本定理abpp =x a +y ba bcp =x a +y b +z capp =x a【教师总结】这就是我们之前学习过的向量共线定理，原来这三个定理，本质．．上都是一样的，只是同一个定理，在不同维度．．空间下的不同表述形式而已.【设计意图】揭示了高中阶段三个有关向量空间分解定理的内在本质，让学生以一种联系．．的观点来重新审视．．自己学习过的知识，将旧知识与新知识加以联系,更重要的是，为下面的高维向量的推广作下自然的铺垫．．.（六）大胆猜想，推广定理问题10：那么，请同学们思考一下，空间向量基本定理还可以推广吗？ 【学生活动】学生认为可以推广，但也有所犹豫，因为至于什么是四维空间，将向量推广到比三维更高的维度，是否具有意义，都存在着疑惑，因此引导学生阅读选修2-1教材p99的“阅读与思考．．．．．””——“向量概念的推广与应用”. 【教师总结】通过课本的阅读，相信同学们知道了，向量不但可以推广到四维，甚至可以是任意的n维，都是具有实际意义的. 那么现在你们认为可以将空间向量基本定理进一步推广吗？【学生活动】学生认为可以，那就是给定四个不在同一个（三维）空间的向量，就可以用它们来表示四维空间内的任意一个向量！【设计意图】通过学生的大胆猜测，培养学生的合理猜想．．．．与类比推理．．．．的能力是非常重要的，同时选取合适的内容，让学生采取自行阅读学习的方式，又在课堂上很好地培养了学生的阅读与自学能力.这样一来，在一节课中既利用了教向量共线定理平面向量基本定理空间向量基本定理app =x aabpp =x a +y ba bcp =x a +y b +z c材的丰富教学资源，又让学生从课堂知识起步，通过猜想与类比去思索未知的高维空间，最后又回到课本中的“阅读与思考”材料走向疑问的解答，完成了一次源于．．课本，高于．．课本，最后又回归．．课本的教学过程，合理地利用教材，对课堂教学知识进行了重组与提高.（七）小结这节课我们通过推广平面向量基本定理，建立了空间向量基本定理，类似于我们由平面向量基本定理得到了平面向量的坐标的概念，我们也通过空间向量基本定理，得到了空间向量坐标的概念.同时我们发现共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理，只不过是同一个定理在不同维度空间下的不同表述而已，简单地说就是这样三句话：给我一个（非零）向量，我就得到了直线； 给我两个（不共线）向量，我就掌握了平面； 给我三个（不共面）向量，我就拥有了空间！像我们今天这种将复杂的空间结构分解为有限个要素的表示的想法，并不是我们独有的，很荣幸，有一位伟大的数学家和我们的想法是一样的.数学家柯西曾经说过这样一句话：向量共线定理平面向量基本定理空间向量基本定理a p p =x a ab p p =x a +y b a bc p =x a +y b +z c 平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示请同学们课后思考一下，柯西的这句话和我们今天的课堂内容有什么联系.好的，今天的课就上到这里，下课！【设计意图】通过空间向量基本定理的建立与三个向量定理的类比与推广的思考，既让学生经历了从一维，到二维，到三维，再到四维的从低维空间到高维空间的类比．．研究过程，同时也让学生体会我们可以用有限个向量去研究无限个向量，这是一种从无限到有限的转化思想.最后以数学家柯西的一句话来结束课堂的讨论，留给学生一些进一步思考的余地，引导学生进入课后更加深入的学习中去.五、教学特点及反思（1）类比与猜想的紧密结合本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.（2）课堂与教材的有机整合教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.以上就是我的课堂教学设计，真诚地希望得到各位专家的批评指正，谢谢！。
3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
一、学习目标：1.掌握空间向量基本定理，会用空间向量基本定理解决问题；
2.理解空间向量坐标的含义，能用坐标表示空间向量.
学习重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握基底表示已知空间向量；
学习难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
二、导学指导与检测
三、巩固诊断
1、判断下列说法是否正确？并说明理由.
（1）空间中任意三个不共线向量均可作为一组基底.
（2）基向量中可以含有零向量，但至多一个.
（3）如果向量,与空间任何向量都不能构成一组基底，那么向量,一定是共线向量.
2、如图所示，空间四边形OABC 中，H G ,分别是ABC ∆，OBC ∆的重心，设=，=，c OC =，试用向量c b a ,,表示向量GH .
闯关题：如图,三棱锥ABC P -中,点G 为ABC ∆的重心,点M 在PG 上,且PM ＝3MG ,过点M 任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC 于点,,,F E D 若,,,t n m ===求证：
t
n m 111++为定值,并求出该定值.。
《空间向量的标准正交分解与坐标表示》2012年11月28日§3. 1《空间向量的标准正交分解与坐标表示》——（教学设计）一、教学目标1、知识与技能：掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，理解空间向量的投影的定义，会求空间向量的投影。
2、过程与方法：从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点；通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示。
难点：1）空间向量的正交分解与坐标表示；2）空间向量的投影的定义及运算三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究四、教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程本节的教学过程由以下几个环节构成：六、教学设计创设情境—感知概念 ① 问题情境我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示.在空间中，向量的坐标又是怎样定义的？向量的投影又是怎样定义的？② 课前练习1. 在给定的空间直角坐标系中，,i j k，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的把,i j k，叫作 ２．标准正交分解：若,i j k，是标准正交基，对空间任意向量a ，存在 三元有序实数（x ，y ，z ），使=a xi y j zk ++叫作a 的3.坐标的意义（1）坐标的意义：向量的坐标等于（２）投影的定义：一般地，若0b 为b 的单位向量，称0cos ,a b a a b =为向量a在向量b方向上的一、空间向量标准正交分解的过程在给定的空间直角坐标系中，,i j k ，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，a是空间中的任意向量二、空间向量标准正交分解及坐标的定义在给定的空间直角坐标系中，,i j k，为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间中的任意向量a ，存在唯一 一组三元有序实数（x ，y ，z ），使得=a xi y j zk ++我们把=a xi y j zk ++叫作a 的标准正交分解，把,i j k ，叫作标准正交基 （x ，y ，z ）叫作空间向量的坐标.记作(,,)a x y z = .(,,)a x y z =叫作向量的坐标表示.在空间直角坐标系中，点p 的坐标为（x ，y ，z ），向量的坐标也是（x ，y ，z ） 注：当a的起点在坐标原点时，a的终点的坐标为（x ，y ，z ）(,,)a x i y j z k a x y z ⇔=++⇔=思考探究:向量AB 的起点不在坐标原点时，向量AB 的坐标还是终点的坐标吗？如果不是，向量AB的坐标又是怎样的？析：设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，o 为坐标原点，则111(,,)OA x y z = 111x i y j z k =++，222222(,,)OB x y z x i y j z k ==++ ，所以AB OB OA =-222111()()x i y j z k x i y j z k =++-++ 212121()()()x x i y y j z z k =-+-+-即向量AB的坐标为212121(,,)x x y y z z ---例题讲解：例1.在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -2,AB =3,BC =1 5.AA =(1) 写出1C 的坐标，给出1AC关于,i j k，的分解式 (2) 求的坐标解：(1)因为1235ABBC AA ===，，，所以(2)因为点1(3,0,5),(0,2,0)D B所以1(3,2,5)BD =-1(3,2,5)325AC i j k ==++练习1：在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -2,AB =3,BC =1 5.AA =(1) 写出1B 的坐标，给出1AB关于的分解式 (2) 求1BD的坐标析：(1)1(0,2,5)B1(0,2,5)25AB j k ==+(2) (3,2,5)-三、空间向量的坐标意义设a xi y j zk =++ ，那么a i ⋅ ()xi y j zk i =++⋅ xi i y j i zk i =⋅+⋅+⋅由于2||1i i i ⋅== ，而i j ⊥ ，0i j ⋅=，同理0k i ⋅= 所以a i x ⋅= ，同理,a j y a k z ⋅=⋅=我们把,,a i x a j y a k z ⋅=⋅=⋅=分别称为向量a 在x 轴，y 轴，z 轴正方向上的投影。
《空间向量的正交分解及其坐标表示》p浙江省温州中学陈巴尔各位专家评委、老师们：大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.一、教学背景分析（一）教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.本章知识结构《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．增加．．所带来的影响.”“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考 向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广．．为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广．．．．.” 而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，仔细研究教材的编写意图．．．．，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下．．．．的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一．．．．．，同时通过教材的阅读与思考．．．．．环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空间结构．．的认识的升华过程，巧妙至极！（二）学生学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度空间坐标的定义是容易．．．的理解却．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性是模糊．．的.因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．二、教学目标设置依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：1、通过类比．．平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；2、理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；3、体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积．．．问题的意义．．所在；4、掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；5、体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与必要性，并将本节课所获得的结果，在高维．．，培养学．．向量．．作简单的推广．．空间生的类比归纳能力.三、教学策略分析鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略： 1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构．．特点上的统一性．．．，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；四、教学过程为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作出说明. （一）引入问题1：如图，已知a ，b 是给定的向量，对于任意的p ，请问p 能用a ，b 表示吗？【学生活动】学生思考是否能够表示，有学生认为可以，理由是之前学习的平面向量基本定理，还有学生认为不一定，因为p 可能与a ，b 不共面.【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间向量的类比．．得到空间向量的相关内容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是研究平面向量，同时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此本节课的目的就是要弄清推广过程中的不同之处，并加以解决.（二）温故知新，建立定理问题2：如果a ，b ，p 是共面的，那该怎么表示呢？ 【学生活动】学生提出通过作平行四边形的方法，可以得到''OP OA OB xOA yOB =+=+,所以x y =+p a b .并回顾了平面向量基本定理的表述：平面向量基本定理：如果向量a ，b 不共线，那么对于平面中的任一向量p ，存．在唯一．．．有序实数组{,}x y ，使得x y =+p a b ，其中{a ,}b 称为平面的一组基底. 【教师总结】这个就是我们之前在必修4中所学习的平面向量基本定理，同时我们知道这个分解不但存在．．，而且唯一．．！ 【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学习的平面向量基本定理，同OO时为后面推广为空间向量基本定理作好铺垫. 问题3：如果a ，b ，p 是不共面的，那该怎么办呢？ 【学生活动】学生思考提出应该再给出一个向量 问题4：随便再给出一个向量都行吗？【学生活动】学生提出新给出的向量应该与a ，b 不共面.问题5：如果再给出一个与a ，b 不共面的c ，现在该怎么表示p ？ 【学生活动】学生回答类似平面向量基本定理的做法，先过点P 作OC 的平行线，交a ，b 所在的平面于点M ，连接OM ,可以得到OP OM MP =+由平面向量基本定理可知OM x y =+a b ，再作'PC 平行于OM 交直线OC 于点'C ，则'MP OC z ==c ，所以x y z =+p a b+c .【教师总结】这个过程与平面向量基本定理十分相似，如果我们也给这个定理取一个名字，就可以把它叫做空间向量基本定理.问题6：我们可以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理吗？【学生活动】可以，只需要作出以下修改：空间向量基本定理：如果向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间中的任一向量p ，存在唯一．．．．有序实数组{,,}x y z ，使得x y z =++p a b c ，其中{,a ,}b c 称为空间的一组基底.【设计意图】通过类比平面中的分解过程，让学生在本质．．上体会空间向量在类似问题的处理上方法的相通之处；同时通过修改．．平面向量基本定理的方法来得到空间向量基本定理的表述，让学生再从形式．．上体会两个定理的相似之处，从而体现了类比．．的思想方法. （三）严格论证，完善定理问题7：我们在平面向量基本定理中知道，p 在基底{a ,}b 下的分解不但存在，而且唯一，那么空间向量基本定理中的分解也唯一吗？【学生活动】学生认为分解唯一，且通过刚才作图过程的唯一性来说明. 【教师总结】从刚才分解过程来看，作图过程是唯一的，但是如果我先将p 按照其他方式分解成几个向量，然后再分别在基底{,a ,}b c 下分解，分解系数仍然不变吗？我们发现通过作图观察问题是一个非常直观有效的方法，但是缺乏必要的逻辑推理，因此无法代替严格的证明，那么请同学们思考，该如何证明分解的唯一性？．【学生活动】鉴于这个问题有一定的难度，教师要求学生先进行独立思考．．．．．．．，然后在有自己的想法之后，分成4人小组讨论．．这个问题，并且最后邀请一位学生上台通过实物投影仪来讲述自己的证明方法：证明：假设存在两种分解，即111x y z =+p a b+c ，且222x y z =+p a b+c ，则有121212()()()x x y y z z =-+--0a b+c（i ）若120z z -=，则1212()()x x y y =-+-0a b ，由平面向量基本定理分解的唯一．．．．．．．．．．．．．性．可知12120x x y y -=-=，所以是同一种分解； （ii ）若120z z -≠，则12122121x x y yz z z z --=+--c a b ， 那就会有c 与a ，b 共面，矛盾！ 所以，只存在一种分解.【教师总结】这位同学通过代数方法证明了分解的唯一性，很好！这样，我们就得到了完整的空间向量基本定理.【设计意图】分解的唯一性．．．在选秀2-1教材的定理表述中并没有指出，但考虑到以下两点原因：1、在必修．．4．平面向量基本定理的表述中提到．．了唯一性；2、教学参考要求这个节课要让学生体会从平面向量基本定理到空间向量基本定理的类比．．过程，那么唯一性的证明就无法回避了. 事实上唯一性的证明，既保持了两个定理的一致性，能够更完整．．地让学生体会到其中的类比过程，又让学生体会了反证法的意义及应用，以及作图过程不能作为唯一性的证明，只能作为直观上的验证，提高了学生思维的严密．．性，最后分解的唯一性保证了空间向量与三元有序数组之间能够建立一一对应．．．．关系，为本节课后续的坐标定义．．．．的合理．．性．做下重要铺垫；（四）实例探究，应用定理 问题8：例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（1）试用AC ，AO ，AB 表示CG ； 【学生活动】学生通过计算得到11=33CG AO AB AC +-【设计意图】空间向量基本定理的简单应用，即给定一组空间的基底，就可以将任意一个向量分解成基向量的组合.例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（2）你能选择另外一个基底来表示CG ？ 【学生活动】学生经过讨论，选择，提出了不同基底的选择方案，其中选择最多的是{}OA OB OC ，，，此时11=33CG OA OB OC +-；但是有一个男生轻声说了一句：“选CG .”即选择CG 作为一个基向量，如{}CG CA CB ，，，此时=CG CG ！AA【设计意图】让学生熟悉向量在不同基底下的分解，并体会基底的选择并不唯一，课堂上绝大部分学生选择了{}OA OB OC ，，，回答理由是因为两两垂直，但是垂直条件在这个问题中，并没有为解题过程带来方便，而{}CG CA CB ，，却使得问题的解决更加简单， 因此可以看出，学生对于基底的选择很多时候是盲目的. 所以这个问题的设置主要目．．．的．是让学生初步体会在问题解决中需要根据具．体问题．．．选择合理的基底，为后面的寻找单位正交基并得出空间向量坐标定义做下了铺垫．．； 例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，OB OC ，两两垂直；（3）试求AB CG ⋅；【学生活动】学生经过对比，容易发现选择{}OA OB OC ，，作为基底，在这个问题中具有很大的优势，因为两两垂直的单位向量之间的数量积运算结果非常简单！学生通过简单计算，得到221111=()()=03333AB CG OB OA OA OB OC OB OA ⋅-⋅+--=.【教师总结】通过这个问题的解决我们可以发现，在处理向量的数量积问题时，选择两两垂直的单位向量作为基底，会为问题的解决带来很大的方便，因此我们有理由对于这样的基底产生足够的重视.我们不妨设OA =i ，OB =j ，OC =k ，且把这种基底称作单位正交基底. 特别的，如果我们以i ，j ，k 作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么由空间向量基本定理，我们知道对于空间的任意p ，都能表示为x y z =+p a b+c ，而且这种表示是唯一．．的，所以空间的任意p ，都与有序实数组{}x y z ，，之间形成了一一对应．．．．的关系，我们就称x ，y ，z 是p 在单位正交基底{}，，i j k 下的坐标，记为()x y z =，，p .【设计意图】通过具体事例，体会到单位正交基底的选择对于处理数量积问题A所带来的方便．．，然后又由之前已经证明的空间向量定理中分解的存在性．．．和唯一．．性．，强调突出我们成功让向量和数组形成了一一对应．．．．，进而很自然地得到了空间向量的坐标定义.例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ∆的重心，1OA OB OC ===，且OA ，O B O C ，两两垂直；（4）在如图所示的坐标系下，请写出OC ，OG ,CG 的坐标；【学生活动】学生通过空间向量坐标的定义，容易得出=001(0,0,1)OC ++=i j k ，同理有11(,,0)33OG =，11(,,1)33CG =-.【设计意图】巩固空间向量坐标的定义，以及空间向量坐标的得出，为后续的空间向量的坐标运算，与立体几何问题中的几何元素如何用向量坐标表示作下铺垫．．．（五）回顾历程，审视定理问题9：请同学们现在回顾一下，我们通过推广平面向量基本定理，得到了空间向量基本定理，而且我们发现两个定理本质上是一样的，只不过是同一个定理在二维空间推广到三维空间的不同表述而已，简单地说就是给我两个（不共线的）向量，就能表示出平面中的任意一个向量；给我三个（不共面的）向量，就能表示出空间中的任意一个向量. 那么如果将二维空间往后退化，那会是什么情况呢？【学生活动】学生很快反应过来，比二维空间更加简单的是一维空间，也就是直线，从而只需要给出一个非零平面向量基本定理空间向量基本定理abpp =x a +y ba bcp =x a +y b +z capp =x a向量，就可以表示出直线上的所有向量. 【教师总结】这就是我们之前学习过的向量共线定理，原来这三个定理，本质．．上都是一样的，只是同一个定理，在不同维度．．空间下的不同表述形式而已.【设计意图】揭示了高中阶段三个有关向量空间分解定理的内在本质，让学生以一种联系．．的观点来重新审视．．自己学习过的知识，将旧知识与新知识加以联系,更重要的是，为下面的高维向量的推广作下自然的铺垫．．.（六）大胆猜想，推广定理问题10：那么，请同学们思考一下，空间向量基本定理还可以推广吗？ 【学生活动】学生认为可以推广，但也有所犹豫，因为至于什么是四维空间，将向量推广到比三维更高的维度，是否具有意义，都存在着疑惑，因此引导学生阅读选修2-1教材p99的“阅读与思考．．．．．””——“向量概念的推广与应用”. 【教师总结】通过课本的阅读，相信同学们知道了，向量不但可以推广到四维，甚至可以是任意的n维，都是具有实际意义的. 那么现在你们认为可以将空间向量基本定理进一步推广吗？【学生活动】学生认为可以，那就是给定四个不在同一个（三维）空间的向量，就可以用它们来表示四维空间内的任意一个向量！【设计意图】通过学生的大胆猜测，培养学生的合理猜想．．．．与类比推理．．．．的能力是非常重要的，同时选取合适的内容，让学生采取自行阅读学习的方式，又在课堂上很好地培养了学生的阅读与自学能力.这样一来，在一节课中既利用了教向量共线定理平面向量基本定理空间向量基本定理app =x aabpp =x a +y ba bcp =x a +y b +zc材的丰富教学资源，又让学生从课堂知识起步，通过猜想与类比去思索未知的高维空间，最后又回到课本中的“阅读与思考”材料走向疑问的解答，完成了一次源于．．课本，高于．．课本，最后又回归．．课本的教学过程，合理地利用教材，对课堂教学知识进行了重组与提高.（七）小结这节课我们通过推广平面向量基本定理，建立了空间向量基本定理，类似于我们由平面向量基本定理得到了平面向量的坐标的概念，我们也通过空间向量基本定理，得到了空间向量坐标的概念.同时我们发现共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理，只不过是同一个定理在不同维度空间下的不同表述而已，简单地说就是这样三句话：给我一个（非零）向量，我就得到了直线； 给我两个（不共线）向量，我就掌握了平面； 给我三个（不共面）向量，我就拥有了空间！像我们今天这种将复杂的空间结构分解为有限个要素的表示的想法，并不是我们独有的，很荣幸，有一位伟大的数学家和我们的想法是一样的.数学家柯西曾经说过这样一句话：向量共线定理平面向量基本定理空间向量基本定理a p p =x a ab p p =x a +y b a bc p =x a +y b +z c 平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示请同学们课后思考一下，柯西的这句话和我们今天的课堂内容有什么联系.好的，今天的课就上到这里，下课！【设计意图】通过空间向量基本定理的建立与三个向量定理的类比与推广的思考，既让学生经历了从一维，到二维，到三维，再到四维的从低维空间到高维空间的类比．．研究过程，同时也让学生体会我们可以用有限个向量去研究无限个向量，这是一种从无限到有限的转化思想.最后以数学家柯西的一句话来结束课堂的讨论，留给学生一些进一步思考的余地，引导学生进入课后更加深入的学习中去.五、教学特点及反思（1）类比与猜想的紧密结合本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.（2）课堂与教材的有机整合教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.以上就是我的课堂教学设计，真诚地希望得到各位专家的批评指正，谢谢！。
