全国高中数学优质课大赛不等式ppt课件

题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高 由题意，先局部运用基本不等式， 再利用不等式的性质即可得证．
第12页
题型分类·深度剖析
题型一
运用基本不等式证明简朴不等式
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
14分
方法二 y＝a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba
＝ab＋a1b＋a2a＋bb2＝ab＋a1b＋a＋ba2b－2ab＝a2b＋ab－2.
6分
令 t＝ab≤a＋2 b2＝14，即 t∈0，14.
第30页
题型分类·深度剖析
易错警示
9.忽视最值获得条件致误
典例：(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 y＝a＋1ab＋1b的最 小值．
数学 苏（文）
§7.4 基本不等式
第七章 不等式
第1页
基础知识·．基本不等式
ab≤a＋2 b
难点正本 疑点清源
1．在应用基本不等式求
(1)基本不等式成立的条件：a≥ 0,b≥ 0 . 最值时，要把握不等式
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时 成立的三个条件，就是
取等号．
“ 一 正 —— 各 项 均 为
【例 1】 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥8.
思维启迪 解析 探究提高
利用基本不等式证明不等式是综 合法证明不等式的一种情况，证明
思路是从已证不等式和问题的已

(2) 过一个点有__无__数__条__条直线.
y
.
.
y
.
o
x
ox
确定直线位置的要素除了点之外,还有
直线的方向,也就是直线的倾斜程度.
5
1.直线倾斜角的定义：
当直线 l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正
向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角
y
注意:(1)直线向上方向
a
O
x
(2)x轴的正方向
1、日常生活中，还有没有 表示倾斜程度的量？
坡度（比）
升高量 前进量
斜坡
平面直角坐标 系中的直线
坡角
直线的倾斜角
坡度
直线的斜率
2.定义：直线倾斜角的正切叫做这 几何画板
C
条直线斜率。斜率通常用k表示，
即：
k tan
直线的倾
a
[0,

)

(
,
)
2
2
斜角和斜
升
3.直线的倾斜角与斜率的关系：

2 4

1; 2
直线CA的斜率
kCA

1 2 03


3 3

1;
由
k AB
0
及
kCA

0
知，直线AB 与CA的倾斜角
பைடு நூலகம்
均为锐角,由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别
为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4。
y
l3
l1
A3 A1
O
x

学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
返回
• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
返回
返回
• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．

不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。

性质8 如果a＞b＞0，那么 n a n b（n∈N，n≥2）
绝对值不等式的基本性质
a 0
绝对 值不 等式

a

b
a

b

a b
a

b
基本 性质

a
n

an
a b ab a b

a1

a2


an

a1

a2

an
不等式的解法
(1)一元一次不等式：ax


x

a, (a

0)
x

a, 或x

a
公式法
f(x) g(x) f(x) g(x),或f(x) f(x) g(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab a b
g(x)

a1 a2 an a1 a2 an
平方法f(x) g(x) f 2 (x) g2 (x) 划分区域讨论法：适合于两个或两个以上绝对值号的不等式
利用绝对值的几何意义:
(6)指数不等式：
af(x)ag(x) f(fx()x ) g(g x()x(),0(, a a 1)1)
(7)对数不等式：
f(x) 0

g(x) 0
(a 1)
loga f (x)

logag(x)

fg((fxx())x)
0 0
g(x) (0

a 1)
f(x) g(x)
不等式的证明方法
证明不等式的主要方法
（1） 比较法

【例1】 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)大小.
分析:此题为两个代数式比较大小,可先作差,再展开,合并同类项,
最终判断差值正负.
解:由题意,作差得
(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)
=-7<0,
故(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
)
A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2
D.ab>ab2>a
解析:∵a<0,-1<b<0,
∴ab>0,b-1<0,1-b>0,0<b2<1,
∴1-b2>0,
∴ab-a=a(b-1)>0.∴ab>a.
∵ab-ab2=ab(1-b)>0,∴ab>ab2.
又∵a-ab2=a(1-b2)<0,
2 2 2
+ + +
-
=


-
-
a-b a-c b-c b-a c-a c-b
=a
·a ·b ·b ·c ·c


=
·
·
.



∵a>b>0,

-
∴ > 1, − > 0, 即
即(x2-x)-(x-2)>0,
∴x2-x>x-2.
第11页
题型一
题型二
题型三
题型二 利用求商法比较大小

基本不等式的转化
Exercise
Exercise
Exercise
Exercise
基本不等式的应用
基本不等式的应用
基本不等式的应用
基本不等式的应用
基本不等式的应用
基本不等式的应用
基本不等式的应用
基本不等式的应用
基本不等式的应用
Exercise
Exercise
Exercise
简单的指数、 对数不等式
基本不等式
不等式的性质
不等式的性质
不等式的性质
不等式的性质
不等式的性质
不等式的性质
不等式的性质
ห้องสมุดไป่ตู้
不等式的性质
不等式的性质
Exercise
Exercise
Exercise
Exercise
Exercise
Exercise
不等式的解法
一元二次不等式的解法
O
Exercise
些简单的实际问题。
在探索不等式解法的过程中， 体会不等式、方程和函数之
间的联系。
分式不等式的解法
掌握分式不等式的解法；会 利用转化思想解不等式。
含有绝对值的不等式的解法
基本不等式
掌握基本不等式，并会用于 解决简单的问题
知识结构
不等式的基本 性质
解不等式 不等式的证明
一元二次不等 式
分式不等式
含绝对值的不 等式
解不等式
解不等式
解不等式
解不等式
解不等式
解不等式
Exercise
Exercise
Exercise
Exercise
Exercise
不等式的恒成立问题

想 也可写成
推 理
abab(a0,b0)
论
2
证 当且仅当 a=b 时“＝”号成
立
a b ab 2
算术平均数 几何平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？
ab
思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？
AB是圆的直径，点C是AB
上的一点，AC=a,BC=b。 过点C作CD垂直于AB，交
安徽省高中数学优秀课比赛
a b ab (a>0,b>0) 2
当且仅当 a=b 时“＝”号成立 此不等式称为基本不等式
一般地，对于任意实数a、b，我们有
(ab)2 0
即 a2b22ab
当且仅当a=b时，等号成立
类 如果 a＞0 ,b＞0 ,
比
联 用 a 和 b 代 替 a 、 b ,可 得 ab2 ab
D’
圆于D,连接AD、BD
D
o
ab
A
a
Cb B
几何意义：
在圆内，半径长不小于弦长的一半
变式训练
1.
若
x>0
,求
x 1 2x
的最小值，
以及取最值时x的值.
变式训练
2.
若
x<0
,求
x 1 2x
的最小值，
以及取最值时x的值.
变式训练
3.
若
x>2
,求
x 8 x2
的最小值，念及证明 2 基本不等式的几何意义 3 基本不等式的简单应用
作业:
1.找出生活中与基本不等式相 关的一些例子，并尝试解决。
2.课本：P100练习1，2
谢谢指导

例2、甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格
购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不 同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片，两 次购芯片，哪家公司平均成本低？请给出证明过程。
分析：设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元，列出甲、乙两公司的
1.不等式理论的应用主要体现在如下几个方面:
（1）运用不等式研究函数问题（定义域,值域,最值,单调性）; （2）运用不等式研究方程解的问题;
（3）利用函数性质及方程理论研究不等式问题.诸如方程的根 分布问题,解集之间的包含关系,解析几何中的范围问题等等.
2.不等式在实际生活中的应用是指用不等式解决生产, 科研和日常生活中的问题.
S 4200x2 210 4xy 80 1y2 2
38000 4000x2 4000000 x 102 x2
（2）S
38000
4000x2
400000 x2

38000
2 16 108
118000
当且仅当 4000x2
400000 x2
即x
10时 Sm in 118000元
答：计划至少要投资１１．８万元才能建造这样的休闲小区．
过四关:首先是阅读关,即读懂题目,能够概括出问题涉及 哪些内容;其次是理解关,即能准确理解和把握这些量之
间的关系;然后建立数学模型,再讨论不等关系;最后得出结 论.
本节课我们来讨论如何应用不等式解决实际应用问题:
例1某住宅小区为了使居民有一个舒 适的生活环境,计划建一个八边
• 形的休闲小区,它的主体构造的平面图形 是由两个矩形ABCD,EFGH构成的面积为 ２００平方米的十字架地域．现计划在 正方形ＭＮＰＱ上建造一花坛造价为４ ２００元／平米，在四个相同的矩形上

子)不能随意交换.
感悟新知
2. 基本的表达形式：(1)常见的不等号：
符号 ＜ ＞ ≤
≥ ≠
名称 小于号 大于号
小于或 等于号
大于或 等于Βιβλιοθήκη 不等号实际意义 小于、不足 大于、高出
不大于、不 超过、至多
不小于、不 低于、至少
不相等
读法 小于 大于
小于或 等于
大于或 等于 不等于
举例 3+2<6 3+3>5 x≤8
知2－练
感悟新知
知2－练
方法点拨 用不等式表示不等关系时，一定要抓住关键词语
，弄清不等关系，把文字语言描述的不等关系转化 为用数学符号表示的不等式.
感悟新知
解：(1)
3 4
a－(－1)≤
0.
(2)a2－b3>a+b.
(3)3a－4 ≥ －6.
知2－练
课堂小结
不等式
不等 关系
不等号 不等式
用不等式表 示不等关系
感悟新知
知识点 2 一元二次方程的一般形式
列不等式的一般步骤：
知2－讲
感悟新知
知2－讲
特别解读 列不等式的关键是要领会具体问题中内在的数
量关系，特别是一些关键词、句的含义.
感悟新知
例2 用不等式表示： (1)a 的 3 与－1 的差是非正数；
4
(2)a 的平方减去b 的立方大于a 与b 的和； (3)a 的3 倍减去4 的差不小于－6. 解题秘方：解题的关键是根据不等式的定 义，找到题目中的不等关系进行列式．
不是等式也不是不等式.
(1)x+y；(2)3x>7；(3)5=2x+3；(4)x2>0；