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第6章 第7节 数学归纳法

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2009~2013年高考真题备选题库

第6章 不等式、推理与证明

第7节 数学归纳法

考点 数学归纳法

1．（2013江苏，10分）设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，…，即当k－1k2

(1)求集合P11中元素的个数；

(2)求集合P2 000中元素的个数．

解：本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计算原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力．

(1)由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.

(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．

事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；

②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．

综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．

于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．

由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．

又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数．故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i2＋j.

又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.

2．（2012湖北，14分）(1)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x＞0)，其中r为有理数，且0＜r＜1.求f(x)的最小值；

(2)试用(1)的结果证明如下命题： 设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数．若b1＋b2＝1，则a1b1a2b2≤a1b1＋a2b2；

(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．

注：当α为正有理数时，有求导公式(xα)1＝αxα－1.

解：(1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)，令f′(x)＝0，解得x＝1.

当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；

当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．

故函数f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝0.

(2)由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即xr≤rx＋(1－r)， ①

若a1，a2中至少有一个为0，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立；

若a1，a2均不为0，又b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是

在①中令x＝a1a2，r＝b1，可得(a1a2)b1≤b1·a1a2＋(1－b1)，

即ab11·a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.

综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数且b1＋b2＝1，总有ab11ab22≤a1b1＋a2b2. ②

(3)(2)中命题的推广形式为

设a1，a2，…，an为非负实数，b1，b2，…，bn为正有理数．

若b1＋b2＋…＋bn＝1，则ab11ab22…abnn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. ③

用数学归纳法证明如下：

(1)当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，③成立．

(2)假设当n＝k时，③成立，即若a1，a2，…，ak为非负实数，b1，b2，…，bk为正有理数，

且b1＋b2＋…＋bk＝1，则ab11ab22…abkk≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk.

当n＝k＋1时，已知a1，a2，…，ak，ak＋1为非负实数，b1，b2，…，bk，bk＋1为正有理数，

且b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1，

此时0＜bk＋1＜1，即1－bk＋1＞0，于是

ab11ab22…abkkabk＋1k＋1＝(ab11ab22…abkk)abk＋1k＋1＝(ab11－bk＋11ab21－bk＋12…abk1－bk＋1k)1－bk＋1abk＋1k＋1.

因b11－bk＋1＋b21－bk＋1＋…＋bk1－bk＋1＝1，由归纳假设可得

ab11－bk＋11ab21－bk＋12…abk1－bk＋1k≤a1·b11－bk＋1＋a2·b21－bk＋1＋…＋ak·bk1－bk＋1＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk1－bk＋1， 从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤(a1b1＋a2b2＋…＋akbk1－bk＋1)1－bk＋1abk＋1k＋1.

又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得

(a1b1＋a2b2＋…＋akbk1－bk＋1)1－bk＋1abk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk1－bk＋1·

(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，

从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，

故当n＝k＋1时，③成立．

由(1)(2)可知，对一切正整数n，所推广的命题成立．

说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n≥2成立，则后续证明中不需讨论n＝1的情况．

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人教新课标高中数学教材章节目录

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必修1→4→5→2→3

普通高中课程标准实验教科书 数学 必修1

第一章 集合与函数概念

1．1 集合

1．2 函数及其表示

1．3 函数的基本性质

第二章 基本初等函数（Ⅰ）

2．1 指数函数

2．2 对数函数

2．3 幂函数

第三章 函数的应用

3．1 函数与方程

3．2 函数模型及其应用

普通高中课程标准实验教科书 数学 必修2

第一章 空间几何体

1．1 空间几何体的结构

1．2 空间几何体的三视图和直观图

1．3 空间几何体的表面积与体积

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2．2 直线、平面平行的判定及其性质

2．3 直线、平面垂直的判定及其性质

第三章 直线与方程

3．1 直线的倾斜角与斜率

3．2 直线的方程

3．3 直线的交点坐标与距离公式

第四章 圆与方程

4．1 圆的方程

4．2 直线、圆的位置关系

4．3 空间直角坐标系

普通高中课程标准实验教科书 数学 必修3

第一章 算法初步

1．1 算法与程序框图

1．2 基本算法语句

1．3 算法案例

阅读与思考 割圆术

第二章 统计

2．1 随机抽样

阅读与思考 一个著名的案例

阅读与思考 广告中数据的可靠性

阅读与思考 如何得到敏感性问题的诚实反应

2．2 用样本估计总体

阅读与思考 生产过程中的质量控制图

2．3 变量间的相关关系

阅读与思考 相关关系的强与弱

第三章 概率

3．1 随机事件的概率

阅读与思考 天气变化的认识过程

3．2 古典概型 3．3 几何概型

《二项式定理》教学设计(含教学内容学情分析及教学点评)

《二项式定理》教学设计(含教学内容学情分析及教学点评)

《二项式定理（一）》教学设计

一、教学内容解析

《二项式定理》，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

二、学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。 在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

不变子空间.若当.最小多项式(简介)

不变子空间.若当.最小多项式(简介)

不变子空间.若当.最小多项式(简介)

§7 不变子空间

◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.

已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念.

一、定义与例子

1.定义：σ∈L(Vn)，W是σ的不变子空间⇔W是V的子空间，且∀ξ∈W,有σ(ξ)∈W.

简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）

2.例子：设σ∈L(Vn)，则下列子空间W都是σ的不变子空间： 1）W={0} 2）W=V 3）W=σ

-1

(0) 4）W=σ(V) 5）W=Vλ0={ξ∈V|σ(ξ)=λ0ξ}

A与B是可交换的，则B的核与值域都是A-子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”

1.定义：设W是σ∈L(Vn)的不变子空间，可只在W中考虑σ，记为σ|W.

【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V可分解为若干σ-子空间

Wi的直和，那么对V

的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间Wi的直和研究.

2.区别：σ|W与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即

ξ∈W⇒(σ|W)ξ=σξ；ξ∉W⇒(σ|W)ξ无意义.

三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）

V=W1⊕W2⊕ ⊕Ws， 设V可分解为若干个σ-子空间的直和：在每个不变子空间Wi中

取基εi,εi, ,εi，i=1,2, s，并把他们合并为V的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有

1 2

k

⎛A1

准对角形

⎝

⎫⎪

⎪，其中Ai，i=1,2, s是A|Wi在对应基下的矩阵. As⎪⎭

进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解

《初等数论(闵嗣鹤、严士健-高等教育出版社)》习题解答完整版

《初等数论(闵嗣鹤、严士健-高等教育出版社)》习题解答完整版

《初等数论》习题解答

第一章 整数的可除性

§1 整除的概念·带余除法

1．证明定理3

定理3 若12naaa，，，都是m得倍数，12nqqq，，，是任意n个整数，则1122nnqaqaqa是m得倍数．

证明： 12,,naaa都是m的倍数。

 存在n个整数12,,nppp使 1122,,,nnapmapmapm

又12,,,nqqq是任意n个整数

1122nnqaqaqa

1122nnqpmqpmqpm

1122()nnpqqpqpm

即1122nnqaqaqa是m的整数

2．证明 3|(1)(21)nnn

证明 (1)(21)(1)(2nnnnnnn

(1)(2)(1)(nnnnnn

又(1)(2)nnn，(1)(2)nnn是连续的三个整数

故3|(1)(2),3|(1)(1)nnnnnn

3|(1)(2)(1)(1)nnnnnn

从而可知 3|(1)(21)nnn

3．若00axby是形如axby（x，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()axbyaxby． 《初等数论》习题解答

证： ,ab不全为0

在整数集合|,SaxbyxyZ中存在正整数，因而有形如axby的最小整数00axby

,xyZ，由带余除法有0000(),0axbyaxbyqrraxby

则00()()rxxqayyqbS，由00axby是S中的最小整数知0r

00|axbyaxby

00|axbyaxby （,xy为任意整数） 0000|,|axbyaaxbyb

00|(,).axbyab 又有(,)|aba，(,)|abb

00(,)|abaxby 故00(,)axbyab