函数的单调性(含答案)

用导数研究含参函数的单调性

一、考情分析

函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,

可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,

单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关

重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用

更是高考中的难点.

二、解题秘籍

连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程fx

=0的根,所以求解

含参函数的单调性问题,一般要根据fx

=0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是

二次型

1.若导函数是一次型,分类步骤是：

①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；

②若有根,求出fx

=0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；

③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；

2.若导函数是二次型,分类步骤是：

①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；

②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单

调性；

③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间

上的单调性.

下面我们根据fx

=0的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.

类型一：fx

定义域不是R,fx

=0可化为单根型一次方程

思路：根据根是否在定义域内进行分类

例1.讨论fx=x-1-alnx的单调性

类型二：fx定义域不是R,fx

=0可化为单根型类一次方程

思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类

例2.讨论fx=ax-1-alnx+1的单调性

例3.讨论fx=

1

4ax4

-1

3x3

+1

2ax2-x+1的单调性

提升训练3.2 函数的单调性

一、选择题

1．函数y=（2k﹣1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

∵函数y＝（2k﹣1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数，

∴2k﹣1＜0，

解得k．

故选：A．

2．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有( )

A．k1

【答案】A

【解析】

由于直线向左倾斜，故，直线与直线均向右倾斜，且更接近y轴，

所以：.

故选A.

3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

函数y＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x ∵函数在上单调递增

∴5

∴k≤40

故选B.

4．直线与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

直线y=x+a是一次函数，斜率k=1，b=a，可判断从左到右图象上升，B,D不满足题意;

当b=a＞0时，y=x+a的图象在y轴上的交点在正半轴，没有选项，

所以a＜0，则直线y=ax表示直线过原点，且斜率为小于0，

所以选项A错误，C正确．故选：C

5．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

A中，函数y＝﹣x2+2在（﹣∞，0）上为增函数；

B中，函数y＝4x﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；

C中，函数y＝x2+4x在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；

D中，函数在（﹣∞，0）上为减函数

故选：D． 6．已知函数yfx在定义域R上是减函数，则不等式2142fxfx的解集为（ ）

A．1,3 B．,31,

C．3,1 D．,13,

【答案】A

【解析】

依题意，2142xx，所以130xx，解得13x．故选A

第1页（共4页）

分段函数单调性

1．设函数若f（a）=a，则实数a的值为（ ）

A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2

2．已知函数f（x）=是定义域上的单调函数，则a的取值范围是（ ）

A．（1，+∞） B．[2，+∞） C．（1，2） D．（1，2]

3．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（ ）

A．（0，1） B．（0，） C． D．

4．若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．[0，2） B． C．[1，2] D．[0，1]

5．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

6．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（ ）

A．（0，3） B．（1，3） C．（1，+∞） D．

第2页（共4页）

7．设a＞0且a≠1，若f（x）=为一分段函数，且在R上为增函数，则实数a的取值范围

．

8．若函数y=，则函数的单调增区间为 ．

分段函数单调性答案

1．设函数若f（a）=a，则实数a的值为（ ）

A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2

【解答】解：由题意知，f（a）=a；

当a≥0时，有，解得a=﹣2，（不满足条件，舍去）；

当a＜0时，有，解得a=1（不满足条件，舍去）或a=﹣1．

所以实数a 的值是：a=﹣1．

故选B．

2．已知函数f（x）=是定义域上的单调函数，则a的取值范围是（ ）

A．（1，+∞） B．[2，+∞） C．（1，2） D．（1，2]

【解答】解：因为f（x）是定义域R上的单调函数，所以a应满足：，解得：1＜a≤2，故选D．

3．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（ ）

A．（0，1） B．（0，） C． D．

1 导数应用之含参函数单调性的讨论

一．预备知识：

（一）二次方程根的分布：

1．已知方程4x2+2(m-1)x+(2m+3)=0（mR）有两个正根，求实数m的取值范围。

2．已知方程2x2-(m+1)x+m=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

（二）穿根法拓展：

1．0222xxx 2．(ex-1)(x-1)＞0 3．(ex-1)(x-1)2＞0

4．(e-x-1)(x-1)＞0 5．(1-lnx)(x-1)＞0

二．导后“一次”型：

1．已知函数f(x)=ax-(a+1)·ln(x+1)，a≥-1，求函数f(x)的单调区间。

2．已知函数f(x)=ex-ax，讨论函数f(x)的单调性。

三．导后“二次型”：

3．已知函数f(x)=lnx+x2-ax(aR)，求函数f(x)的单调区间。

2 4．已知函数f(x)=m·ln(x+2)+21x2+1，讨论函数f(x)的单调性。

5．求函数f(x)=(1-a)lnx-x+22ax的单调区间。

6．已知函数f(x)=(ax2-x)·lnx-21ax2+x，讨论f(x)的单调性。

四．导后求导型

7．已知函数f(x)=ex-x2，求函数f(x)的单调区间。

8．已知函数f(x)=xex1ln，求函数f(x)的单调区间。

9．已知函数f(x)=emx+x2-mx，讨论函数f(x)的单调性。

3

4