圆锥曲线第二定义的使用方法(原卷版)

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解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有02020kbyax。

（2）)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有02020kbyax

（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

椭圆与双曲线的对偶性质总结

椭 圆

高考数学重点提示之十七圆锥曲线定义的应用

高考数学重点提示之十七

二次曲线定义的应用Ⅰ.知识系统

1、圆锥曲线的定义是指椭圆、双曲线的第一定义及椭圆、双曲线、抛物线的第二定义也称统一定义。对第一定义，一定要从曲线定义成立的条件去理解，对条件的各种变化去认识所形成的各种轨迹。而对统一定义，要能根据图形准确无误地把曲线上点p到焦点的距离（也称焦半径）转移到相应准线的距离去解决。其中一定要用到点p的横坐标或纵坐标。如点p的坐标没有直接给出，通常把点p坐标设为待定参数。这是用第二定义解题的通规通法。

2.我们必须通过一些典型问题来澄清何时使用第一个定义或第二个定义。一般来说，当问题涉及到两个焦点之间的距离和差，或由曲线上的点和两个焦点组成的三角形中的一些问题（如三角形面积、边长、角度、三角形中的一些最大值和范围等）时，我们应该考虑使用第一个定义并结合面积公式、余弦定理、勾股定理或三角形中的正弦定理来解决这个问题。当问题涉及穿过焦点的弦长和从曲线的一点到焦点的距离（尤其是当该点的坐标条件已知或需要时），第二个定义将转换为焦半径公式来解决。简而言之，如果你想巧妙地解决问题，别忘了：回到定义上来！

3、应把握复数表示圆锥曲线的思想方法，特别应注意复数思想所表达的圆锥曲线中的第一定义思想。这往往是复数与解析几何知识交汇点中的命题思路。二、常见题型的通规通法思想

1.对于填空和选择题中与焦点有关的问题，我们应该坚信第一个定义或第二个定义可以解决问题，并在解决问题时注意算法原理和简化规律。

2、解答题中与焦点有关的问题，如果曲线方程求法之类，应考虑第一定义判断；如是过焦点弦长的求法问题，应用第二定义转移到焦半径公式再求解，这是简化算理的捷径。三、应试题型与解题策略1、已知复数z满足z?5i?z?5i?10，则z对应点的轨迹是（）。（a）椭圆（b）双曲线（c）双曲线一支（d）一条射线

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1 巧用圆锥曲线定义解题

圆锥曲线的两种定义，第二定义体现了“形”的统一，第一定义体现了“质”的区别。两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性。下面谈谈定义在求解圆锥曲线问题中的一些应用。

一、利用定义求轨迹

例1. 已知圆C：是C的动切线，切点为E。离心率为的椭圆，以l为准线，且过，求其相应焦点P的轨迹方程。

分析：问题的关键在于如何运用定义找出P与的关系。

解：如图1，分别过作切线l的垂线，垂足分别为M、N、E。

图1

由椭圆的定义可得：。

∴

又，则点P的轨迹为椭圆，

其方程为。

二、利用定义求最值 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库

2 例2. 如图2，是双曲线＝1的左、右焦点，M（6，6）为双曲线内部的一点，P为双曲线右支上的一点，求：

图2

（1）的最小值；

（2）的最小值。

分析：（1）和式“”与双曲线第一定义有质的区别，是否可设法转化为“差”呢？（2）关键在于处理的系数，于是联想到，可用第二定义转化。

略解：（1）。

（2）

（其中|PH|为P到右准线l的距离）。

例3. 如图3，抛物线，椭圆＝1（）。求两曲线有公共点时a的最小值。 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

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图3

解：抛物线焦点为F（4，0），准线为l：。

椭圆焦点为F（4，0）、。

设两曲线交于点A，从A作l的垂线，垂足为H。

则

则当H、A、F*共线时，2a有最小值。

此时，A的纵坐标为4，代入，得A（1，4）。

再将A点坐标代入椭圆方程得，从而。

文化点精：本题的难点在于如何运用定义作为桥梁，找出H、A、F*共线时2a达到最小值这个切入点。

三、利用定义判定某些位置关系

例4. 设l是经过双曲线的右焦点F2的直线，且和双曲线右支交于A、B两点，则以AB为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点？

解：如图4，分别过A、B及圆心M作双曲线右准线的垂线 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

数学

篇考点透视

圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质.在解答圆锥曲线问题时，灵活运用圆锥曲线的定义，往往能达到化繁为简的效果，同时也能让我们感受到数学的简洁美.要灵活运用圆锥曲线的定义解题，就有必要全面而准确地理解圆锥曲线的定义.1.椭圆的第一定义：把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.双曲线的第一定义：把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于非零常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.3.圆锥曲线的统一定义（简称第二定义）：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l（l不经过点F）的距离之比为常数e的点的轨迹.若01，则动点的轨迹是双曲线；若e=1，则动点的轨迹是抛物线.4.椭圆和双曲线的第三定义：椭圆或双曲线上的动点与关于椭圆或双曲线中心对称的两点连线的斜率的乘积为定值（e2-1或1e2-1）.由此可见，圆锥曲线（椭圆和双曲线）的第一定义涉及过曲线上同一点的两条焦半径之间的关系，圆锥曲线的第二定义把过曲线上一点的焦半径与该点到相应准线的距离关联了起来，圆锥曲线（椭圆和双曲线）的第三定义则与曲线的点与特殊点连线的斜率有关.一般来说，当遇到与圆锥曲线上点到焦点的距离、焦半径、点到准线的距离有关的问题时，都可以考虑根据圆锥曲线的定义来求解.恰当地利用圆锥曲线的定义解题，很多时候能以简驭繁.例1.解方程x2-103x+80+x2+103x+80=20.解：原方程可变形为(x-53)2+(5)2+(x+53)2+(5)2=2×10，此方程中的x可看作椭圆x2102+y252=1与直线y2=5的交点的横坐标，联立椭圆与直线的方程可得x=±45.解答本题若采用常规方法：移项—

—平方——再移项——再平方来求解，

其过程非常复杂，不仅容易出错，而且费时.但利用椭圆的第一定义，将问题转化为求椭圆x2102+y252=1与直线y2=5的交点的横坐标，便可化难为易，达到事半功倍的效果.例2.已知抛物线过点A(-1,0)、B(1,0)，且以圆x2+y2=4的切线为准线，求抛物线焦点的轨迹方程.解：如图1，分别过点A、B、O作圆的切线的垂线，垂足分别为A1、B1、O1，设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义及梯形中位线的性质可得|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4，所以抛物线焦点的轨迹方程为：x24+y23=1(y≠0).