大招14第三定义与点差法 大招总结圆锥曲线第三定义: 平面内动点到两定点()1,0A a - 和 ()2,0A a 的斜率乘积等于常数 2e 1- 的点的轨 迹为植圆或双曲线. 其中两定点为椭圆或双曲线的顶点. 当 20e 1<< 时为椭圆, 当 2e 1> 时为双曲线.在椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 中, A B 、 是关于原点对称的两点, P 是椭圆上异于 A B 、 的一点, 若 PA PB k k 、 存在,则有: 222e 1PA PB b k k a⋅=-=-在双曲线 2222:1x y C a b-= 中, A B 、 是关于原点对称的两点, P 是双曲线上异于A B 、 的一点, 若 PA PB k k 、 存在, 则有 222:e 1PA PBb k k a⋅=-=抛物线结论: 已知直线 l 与抛物线相交于 ,A B 两点, 点 M 为 AB 的中点, O为原点,则 0AB p k y =证明: 已知 PB 是椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> 一条弦, M 是 PB 的中点, O为椭圆的中心. 若 PB OM k k 、 存 在, 先证明: 22PB OMb k k a⋅=-证明 : 设()()1122,,,P x y B x y 且 12x x ≠,则 ()2211221,1x y a b+=，()2222221,2x y a b +=()() 1?2- 得: 2222121222x x y y a b --=-,()()2121221212.b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212PB b x x y y k x x a y y +-∴==--+ 又 1212OMy y k x x +=+，221,PB OMb k a k ∴=-⋅ 22PB OM b k k a ∴⋅=- 此方法称之为点差法, 设点作差, 设而不求.再证明第三定义, 延长 BO 交椭圆于 ,A PAB 的PA边所对的中位线,PA MO MO k k =, 由点差法结论: 222e 1MO PBb k k a ⋅=-=- 知 222e 1PA PB b k k a⋅=-=- 成立.双曲线第三定义的证明: 只需将椭圆中的 2b 全部换成 2b - 即可 抛物线结论证明: 设()()1122,,,A x y B x y , 抛物线方程 22y px =2211222,2y px y px ==()()()1212122y y y y p x x +-=-()()1212022y y p p x x y y -==-垂径定理如图，已知直线l 与椭圆相交于 ,A B 两点，点M 为AB 的中点，O 为原点，则如图，已知直线l 与双曲线相交于,A B 两点，点M 为AB 的中点，O为原点，则22.OM ABb k k a=-22.OM ABb k k a=(注：直线l 与双曲线的渐近线相交于,A B 两点，其他条件不变，结论依然成立)如图，已知点,A B 椭圆长轴端点(短轴端 点)，P 是椭圆上异于,A B 的一点，则22PA PBb k k a=-．推广：如图，已知点,A B 是椭圆上关于原点 对称的两点，P 是椭圆上异于,A B 的一点，若直线,PA PB 的斜率存在且不为零，22PA PBb k k a=-如图，已知点,A B 双曲线实轴端点，P 是双曲线上异于,A B 的一点，则22PA PBb k k a=．推广：如图，已知点,A B 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上异于,A B 的一点，若直线,PA PB 的斜率存在且不为零，则22PA PBb k k a=．【中点弦·思维引导1】已知AB 是圆221x y +=的一条弦，点P 是AB 中点，当AB 和OP 斜率存在时．思考：OP AB k k ⋅是否为定值?解：点P 是AB 中点，所以AB OP ⊥(垂径定理)，所以1OP AB k k ⋅=-．【中点弦･思维引导2】已知AB 是椭圆2214x y +=的一条弦，点P 是AB 中点，当AB 和OP 斜率存在时．思考：OP AB k k ⋅是否为定值?解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．点A 和点B 在椭圆上，则有221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得：()()()()12121212104x x x x y y y y +-++-= 所以()()()()1212121214y y y y x x x x +-=-+-，即14OP ABk k =-．(此方法名为“点差法”，即设点+作差)【第三定义推广·思维引导1】已知AB 是圆221x y +=的直径，点P 是圆上一点，当PA PB 、斜率存在时．思考：PA PB k k ⋅是否为定值?解：AB 是直径，所以PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-．【第三定义推广･思维引导2】1．已知A B 、是椭圆22143x y +=上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上一点．当PA PB 、斜率存在时，思考：PA PB k k ⋅是否为定值?解：设()()1122,,,A x y P x y ，取AP 中点G ，则1212,22x x y y G ++⎛⎫⎪⎝⎭． 点A 和点P 在椭圆上，则有22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得：()()()()1212121211043x x x x y y y y +-++-=所以()()()()1212121234y y y y x x x x +-=-+-，即34OG AP k k ⋅=-．点O 和G 分别是AB 和AP 的中点，所以//OG PB ，所以34PA PB k k ⋅=-．2．已知A B 、在椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上，点P 是AB 的中点，当AB 和OP 斜率存在时．求证：AB OP k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．点A 和点B 在椭圆上，则有22112222222211y x a b y x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得()()()()1212121222110y y y y x x x x a b +-++-= 所以()()()()2121221212y y y y a x x x x b+-=-+-，即22OP AB a k k b =-．3．已知A B 、在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，点P 是AB 的中点，当AB 和OP斜率存在时．求证：AB OP k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭． 2211222222221 ,? 1x y a b A B x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩点和点在双曲线上则有 ()()()()()()()()121212122222121222121211,? .OP AB x x x x y y y y a by y y y b b k k x x x x a a +--+-=+-==+-作差得所以即4．已知A B 、在双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>上，点P 是AB 的中点，当AB 和OP 斜率存在时．求证：AB OP k k ⋅为定值． 解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．2211222222221 ,? 1y x a b A B y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩点和点在双曲线上则有 作差得()()()()1212121222110y y y y x x x x a b+--+-= ()()()()221212221212 ,? .?OP AB y y y y a a k k x x x x b b +-==+-所以即5．已知A B 、在抛物线22(0)y px p =>上，点P 是AB 的中点，当AB 斜率存在时，求证：AB P k y ⋅为定值．解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．点A 和点B 在拋物线上，则有21122222y px y px ⎧=⎨=⎩作差得()()()1212122y y y y p x x +-=-所以1212122y y y y p x x -+⋅=-，即P AB y k p ⋅=．6．已知A B 、在抛物线22(0)x py p =>上，点P 是AB 的中点，当AB 不与y 轴垂直时，求证：PABx k 为定值． 解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．点A 和点B 在抛物线上，则有21122222x py x py ⎧=⎨=⎩作差得()()()1212122x x x x p y y +-=-1212122 ,? .?P AB x x xp p y y k x x +==--所以即7．已知A B 、是椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两个点，点P 在椭圆上．当PA 和PB 斜率存在时，求证：PA PB k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,P x y A x y ，则()1212221212,,,PA PB y y y y B x y k k x x x x -+--==-+点A 和点P 在椭圆上，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得()()()()1212121222110x x x x y y y y a b +-++-=所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，即22PA PBb k k a=-．8．已知A B 、是椭圆22221(0,0)y x a b a b+=>>上关于原点对称的两个点，点P 在椭圆上．当PA PB 、斜率存在时，求证：PA PB k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,P x y A x y ，则()1212221212,,,PA PB y y y y B x y k k x x x x -+--==-+点A 和点P 在椭圆上，则有22112222222211y x a by x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得()()()()1212121222110y y y y x x x x a b +-++-=所以2121221212y y y y a x x x x b-+⋅=--+，即22PA PBa k k b=-．9．已知A B 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两个点，点P 在双曲线上．当PA 和PB 斜率存在时，求证：PA PB k k ⋅为定值． 解：设()()1122,,,P x y A x y ，则()1212221212,,,PA PB y y y y B x y k k x x x x -+--==-+点A 和点P 在双曲线上，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩作差得()()()()1212121222110x x x x y y y y a b +--+-=所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即22PA PBb k k a=． 10．已知A B 、是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>上关于原点对称的两个点，点P 在双曲线上．当PA PB 、斜率存在时，求证：PA PB k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,P x y A x y ，则()1212221212,,,PA PB y y y y B x y k k x x x x -+--==-+点A 和点P 在椭圆上，则有22112222222211y x a by x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩作差得()()()()1212121222110y y y y x x x x a b+--+-= 所以2121221212y y y y a x x x x b-+⋅=-+，即22PA PB a k k b =．典型例题例1．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[-2,1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为()()122,02,0A A -、， 设点()(),2P a b a ≠±，则22143a b += (1)，12,22P P b bk k a a ==+-； 则1222224P PA b b b k k a a a ⋅=⋅=+--， 将(1)式代入得12PA PA 34k k ⋅=-， []2PA 2,1k ∈--，133,84P k ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦．故选D ．例2．已知A B 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，,M N 是椭圆上关于x轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，且120k k ≠．若12k k +的最小值为1，则椭圆的离心率 A ．12B．2 C．2 D．3解：设()()()()0000,,,,,0,,0M x y N x y A a B a --001200,y y k k x a a x ==+-0001200021y y y k k x a a x x a +=+==+-+ 当且仅当0000y y x a a x =+-，即000,x y b ==时等号成立 212ba b a∴==∴=又因为222a b c c =+∴=2c e a ∴== 故选C ．例3．已知A B 、分别为椭圆2221(03)9x y b b +=<<的左、右顶点，P Q 、是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP BQ 、的斜率分别为,m n ，若点A 到直线y =的距离为1，则该椭圆的离心率为A ．12 B ．4 C ．13D ．2解：由椭圆2221(03)9x y b b +=<<，得()()3,0,3,0A B -， 设()00,P x y ，则()00,Q x y -，2200219x y b ∴+=，则2202099y b x -=-． 0000,33AP BQ y y m k n k x x -====+-， 2202099y b mn x -∴==-．∴直线y =化为y x ==30y -=．由点A 到直线y =的距离为1，1=，解得2638b =， 22298c a b ∴=-=，则4c =．则4c e a ==． 故选B ．例4．已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于,P Q 两点，且 B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：假设这样的直线存在，设,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12122,2x x y y +=+=，又21x ()()222122111,11,222y x y -=-= (1)－(2)得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-=， ()()121220x x y y ∴---=PQ ∴的斜率 12122y y k x x -==-又直线l 过,,P Q B 三点，l ∴的方程为()121y x -=-，即21y x =-．但若将21y x =-代入22112x y -=整理得方程22430x x -+=，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在．例5．已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程． 解：设弦的两个端点分别为()()1122,,,,P x y Q x y PQ 的中点为(),M x y ．则()()222212121,11,222x x y y +=+= (1)－(2)得：()()22221212121212120,022x x x x y y y y y y x x -+-+-=∴++=-．又121212122,2,2,40y y x x x y y y x y x x -+=+==∴+=-．弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=(在已知椭圆内)．例6．直线():50l ax y a --+=(a 是参数)与抛物线2:(1)f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是________．解：设()()1122,,,A x y B x y AB 、中点(),M x y ，则122x x x +=．()():150,l a x y l --+=∴过定点()51,5,1AB MN y N k k x +-∴==-． 又()()()()2211221,11,2y x y x =+=+(1)-(2)得：()()()()2212121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，1212122AB y y k x x x x -∴==++-．于是5221y x x +=+-，即227y x =-． 弦中点轨迹在已知拋物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-(在已知拋物线内)．例7．(2021·陕西咸阳市·高三一模(理))已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上存在两点,A B 关于直线6y x =-对称，且线段AB 的中点坐标为()2,4M -，则双曲线C 的离心率为A B C ．2 D 解：方法1：设()()1122,,,A x y B x y ， 且线段AB 的中点坐标为()2,4M -，则12124,8x x y y +=+=-，又,A B 关于直线6y x =-对称，所以121211y y x x -⨯=--，且,A B 在双曲线上，2222112222221,1x y x y a b a b-=-=， 相减可得22221212220x x y y a b---=，即()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 故22480a b-=，即222b a =，离心率为e ==故选B ．方法2：直接用结论，由于,A B 关于直线6y x =-对称，即221,1AB AB OMb k k k a=-⋅=⇒-⨯2240220b a --==-即离心率为e ==B ．例8．(2021·西藏昌都市第一高级中学高三期末(文))已知椭圆()2222:1(0),2,1x y M a b D a b+=>>是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点()4,1P -在直线AB 上，求椭圆M 的离心率A ．3 B ． 23 C ． 12D ．2 解：方法1：设()()1122,,,A x y B x y 则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-++=故()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-()()()()()12122212121x x y y a y y b x x +-=-+-()2,1D 是椭圆M 的一条弦AB 的中点故12124,2x x y y +=+=，代入(1)式中可得2122124111224AB y y b k a x x -+-⋅====--- 故有()222222a b a c ==-则a =，则2c a = 故选D 方法2：直接用结论，由于,,,A B P M 四点共线，即11101,42202AB PM AB ODk k k k ---=⋅=⋅=---．22221122b b a a -=-⇒=即离心率为2e ==，故选D 例9．(2021·河南驻马店市高三期末(文))已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为32，直线l 与C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点为()4,3P ，则直线l 的方程为 A ．53290x y +-= B ．53110x y --= C ．3530x y -+= D ．35280x y +-=解：方法1：设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减可得()()12122x x x x a -+()()12122y y y y b -+-=．因为线段AB 以点()4,3P 为中点，所以12128,6x x y y +=+=，所以22121222121243y y x x b b x x y y a a-+=⋅=-+，因为C 的离心率为32，所以2222514b c a a =-=，故直线l 的斜率为53，所以直线l 的方程为()5343y x -=-，即53110x y --=，经检验成立． 故选B方法2：直接用结论，32e ==即222253055,44043AB OP AB AB b b k k k k a a -=⋅=⋅==⇒=-，所以直线l 的方程为()5343y x -=-，即53110x y --=，经检验成立．故选B例10．(2021·江苏苏州市·高三期末)已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下顶点分别为1A ，2A ，点P 在双曲线C 上(异于顶点)，直线12,PA PA 的斜率乘积为34，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B．2y x =±C．3y x =±D ．2y x =±解：方法1：设点()00,p x y ，又()()120,,0,A a A a -，则120000,PA PA y a y ak k x x -+==所以1222000200034PA PA y a y a y a k k x x x -+-⋅=⋅==，又因为点P 在双曲线C 上得2200221y x a b -=，所以2220022y a x a b -=，故222022034y a a x b -==，所以2a b = 则双曲线C的渐近线方程为a y x x b =±=． 故选B方法2：直接用结论122234PA PA a k k b ⋅==，所以a b =则双曲线C 的渐近线方程为ay x b=±=x ± 故选B例 11．(2021•贵州贵阳市·高三期末(理))过抛物线24y x =的焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，若AB 的中点的纵坐标为2，则AB 等于A ．4B ．6C ．8D ．10解：方法1：拋物线24y x =的焦点坐标()1,0F ，准线方程:1l x =-，设AB 的中点为M ，过,,A B M 作准线l 的垂线，垂足分别为,,C D N ，则MN 为梯形ABDC 的中位线，AB AF BF AC BD ∴=+=+ ()0221MN x ==+∣，直线AB 过拋物线的焦点,F ∴可设直线AB 的方程为：1(x my m =+为常数)，代入拋物线的方程消去x 并整理得：2440y my --=，设,A B 的纵坐标分别为12,y y ，线段AB 中点()00,M x y ，则12022,12y y y m m +===∴=， ∴直线AB 的方程为001,1213x y x y =+∴=+=+=，()2318AB ∴=+=，故选C ．方法2 ：直接用结论21tan 2AB o p k y α====即222445,8sin 2p ABαα====⎛ ⎝⎭．故选C例12．(2021•上海杨浦区•复旦附中高二期末)已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,D E M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.O 为坐标原点，若直线,,OD OE OM 的斜率之和为1．则()123111k k k ++= A ．43-B ．3-C ．1813- D ．32- 解：方法1：设()()()()()()112233112233,,,,,,,,,,,A x y B x y C x y D s t E s t M s t ，因为,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-， 同理可得3222334411,33t t k s k s =-=-， 所以31212312311143t t tk k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD OE OM 、、的料率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-， 故选A ．方法2：直接用结论2123234OD OE OMb k k k k k k a ⋅=⋅=⋅=-=-，所以1314OD OE OM k k k k ⎛++=- ⎝ 23111k k ⎫++=⎪⎭即12311144133k k k ++=-⨯=-．故选A例13．(2021·福建龙岩市·高二期末)过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为________． 解：方法1：过点()1,1P 的直线l 与该双曲线交于,M N 两点，设()()1122,,,M x y N x y ，2211222212,12y x y x ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减可得：()()()()1212121212x x x x y y y y -+=+-， 因为P 为MN 的中点，12122,2x x y y ∴+=+=，()12122x x y y ∴-=-，则12122MN y y k x x -==-，所以直线l 的方程为()121y x -=-，即为210x y --=．故答案为：210x y --=．方法2：直接用结论2210210l OP l a k k k b -⋅=⇒⋅=-得2l k =，点斜式得答案()121y x -=-即2x -10y -=．例14．(2021·河南高三月考(文))已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，斜率为12的直线l交双曲线于,M N O 、为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2，则双曲线的离心率为ABC．D ．4解：方法1：设点()()1122,,M x y N x y 、，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意，得2222112222221,1x y x y a b a b -=-=，两式相减，得22222121220x x y y a b ---=，整理得2222122221y y b x x a-=-， 所以122222121222122121212OP MNy y y y y y b k k x x x x x x a +--⋅=⋅===+--, 因此,双曲线的离心率为c e a =====故选A.方法2:用结论一步到位2222122l OP b b k k a a ⋅=⇒⨯=得e ==故选A.例15.(2020-天津高考真题)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -,右焦点为F ,且,OA OF O =∣为坐标原点.(1)求椭圆方程;(2)已知点C 满足3OC OF =,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的定点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点,求直线AB 的方程.解(I)棛圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -,3b ∴=,由OA OF =,得3c b ==,又由222a b c =+,得2223318a =+=,所以,椭圆的方程为221189x y +=; 方法1:(II)直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以CP AB ⊥, 根据题意可知,直线AB 和直线CP 的斜率均存在,设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为3y kx +=,即3y kx =-,2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,可得()2221120k x kx +-=,解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-,得222126332121k k y k k k -=⋅-=++,所以,点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为()0,3-,所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,由3OC OF =,得点C 的坐标为()1,0,所以,直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+==-+-+,又因为CP AB ⊥,所以231261k k k ⋅=--+,整理得22310k k -+=,解得12k =或1k =.所以,直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 方法2:(II)直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以CP AB ⊥,根据题意可知,直线AB 和直线CP 的斜率均存在,设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为3y kx =-,设AB 直线为()113,,y kx P x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得121211211211619212,318321OP ABk y x k y b k x k k k a x y y kx k ⎧⎧=⎪⎪⋅=-⎪⎪+⋅=-⇒⋅=-⇒⇒⎨⎨-⎪⎪==-⎪⎪+⎩⎩,所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,由3OC OF =,得点C 的坐标为()1,0,所以,直线CP 的斜率为222303216261121CPk k kk k k --+==-+-+,又因为CP AB ⊥,所以231261k k k ⋅=--+,整理得22310k k -+=,解得12k =或1k =.所以,直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.例16.[2018-全国卷高考真题(理)]斜率为k 的直线l 交椭圆22143x y +=于A B 、两点,线段AB 的中点为()1,(0),M m m F >是椭圆右焦点.(1)证明:12k <-.(2)点P 是椭圆上一点且0FP FA FB ++=,证明,,FA FP FB 成等差,并求出公差.解 (1)标准点差法例题(注意先证明结论,在此直接写出重点)22330144AB OMb m k k k m a k⋅=-⇒⋅=-⇒=->,即0k <且()1,?M m 必在椭圆内221143m +<⇒2314143k ⎛⎫- ⎪⎝⎭+<解得12k >或12k <-又0k <,故12k <-. (2)由题意得()1,0F ,设()33,P x y ,则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=. 由(1)及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<.又点P 在C 上,所以34m =,从而331,,22P FP ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.于是(122xFA x ===-.同理222x FB =-. 所以()121432FA FB x x +=-+=. 故2FP FA FB =+,即,,FA FP FB 成等差数列. 设该数列的公差为d ,则12122d FB FA x x =-=-=由34m =得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+,代入C 的方程,并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==,代入(2)解得28d =.所以该数列的公差为28或28-.例17.(2014-江西卷)过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>相交于,A B ,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为_________.解 方法1:设()()1122,,,A x y B x y ,则()()22221122222211,12x y x y a b a b+=+=,M 是线段AB 的中点,12121,1,22x x y y ++∴==直线AB 的方程是()1112y x =--+,()12121,2y y x x ∴-=--过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>相交于,A B 两点,M 是线段AB 的中点,∴(1)(2)两式相减可得22221212220x x y y a b --+=,即2221202c a c b e a b a ⎛⎫+-⋅=∴=∴=∴== ⎪⎝⎭. 方法2:直接用结论2222110210AB OMb b k k a a -⋅=-⇒-⨯=--则2212b a =即离心率为e =2=自我检测1.已知中心在原点,一焦点为(F 的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点的横坐标为12,求椭圆的方程.解:设椭圆的方程为22221y x a b+=,则2250a b -=(1)设弦端点()()1122,,P x y Q x y 、,弦PQ 的中点()00,M x y ,则00012012011,3221,2122x y x x x x y y y ==-=-+==+==-又2222112222221,1y x y x a b a b+=+= 两式相减得()()()()22121212120b y y y y a x x x x +-++-= ()()221212-0b y y a x x -+-=即()22122212,32y y a a x x b b-==-联立(1)(2)解得2275,25a b ==所求椭圆的方程是2217525y x +=2.已知椭圆22143x y +=,试确定m 的取值范围,使得对于直线4y x m =+,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.解:设()()111222,,,P x y P x y 为椭圆上关于直线4y x m =+的对称两点,(),P x y 为弦12P P 的中点,则,222211223412,3412x y x y +=+=两式相减得,()()22221212340x x y y -+-= 即()()()()12121212340x x x x y y y y +-++-=1212121212,2,4y y x x x y y y x x -+=+==--3y x ∴=这就是弦12P P 中点P 轨迹方程. 它与直线4y x m =+的交点必须在椭圆内联立34y x y x m =⎧⎨=+⎩,得3x my m =-⎧⎨=-⎩则必须满足22334y x <-,即()223334m m <-,解得m <<3.若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称,求实数m 的取值范围.解:当0m =时,显然满足.当0m ≠时,设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为()()1122,,P x y Q x y 、,且PQ 的中点为()00,M x y ,则()()221122,1,2y x y x ==(1)-(2)得:22121212PQ 1212011,2y y y y x x k x x y y y --=-∴===-+, 又01,2PQ m k y m =-∴=-. 中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上,()003y m x ∴=-,于是052x =. 中点在抛物线2y x =区域内200M y x ∴<,即2522m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,解得m <<综上可知,所求实数m 的取值范围是(4.双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ）方法1:设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y ab-+-+=,有()()()()21212212122y y y y b a x x x x -+==-+,所以223,c e a==故选B.方法2:设AB 中点为P 用结论一步到位22104220AB OPb k k a -⋅=⨯==-得e ==故选B.5.(2021-湖北武汉市-高考模拟(文))过点()4,2P 作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点,若P 为AB 中点,则AB =（ ）A. B. D.方法1:易知直线AB 不与y 轴平行,设其方程为()24y k x -=-代入双曲线22:12x C y -=,整理得()()222128213232100k x k k x k k -+--+-=设此方程两实根为12,x x ,则()12282121k k x x k -+=-又()4,2P 为AB 的中点, 所以()2821821k k k -=-,解得1k =当1k =时,直线与双曲线相交,即上述二次方程的0∆>, 所求直线AB 的方程为24y x -=-化成一般式为121220.8,10,x y x x x x AB --=+===12x x -==.故选D.方法2:设AB 中点为P 用结论一步到位22201402AB OPAB b k k k a -⋅=⋅==-得1AB k =.即直线:AB y x =-2,与双曲线联立得2128100,x x AB x -+==-==.故选D.6.(2013-北京)已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:()I 四边形OABC 为菱形,B 是椭圆的右顶点()2,0∴直线AC 是BO 的垂直平分线,可得AC 方程为1x =设()1,A t ,得22114t +=,解之得2t =(舍负)A ∴的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,同理可得C 的坐标为1,2⎛- ⎝⎭因此AC =可得菱形OABC 的面积为12S AC BO =⋅=(II)方法1:四边形OABC 为菱形,OA OC ∴=, 设()1OA OC r r ==>,得A C 、两点是圆222x y r +=与椭圆22:14x W y +=的公共点,解之得22314x r =- 设A C 、两点横坐标分别为12x x 、,可得A C 、两点的横坐标满足12x x ==,或1x =2x =,(1)当123x x ==时,可得若四边形OABC 为菱形,则B 点必定是右顶点()2,0;(2)若13x =23x =-则120x x +=, 可得AC 的中点必定是原点O ,因此A O C 、、共线,可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述,可得当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能为菱形.方法2:直接利用结论22114OM AB b k k a =-=-≠-,结束战斗!7.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,过右焦点()23,0F 的直线交椭圆于A B 、,且()1,1M -是线段AB 的中点,1F 是椭圆左焦点,求1F AB 的面积.解析:易知直线13:22AB y x =-,由椭圆第三定义可知 ()22222221010113102AB OMAB MF b b b k k k k a a a ----⋅=-=⇒⋅=-⇒=--,且22183,9a cb ⎧==⇒⎨=⎩,联立直线AB 与椭圆方程为2221216129018923x y y y y y x y ⎧+=⎪⇒+-=⇒-==⎨⎪=+⎩1121211622F ABS F F y y =⋅-=⨯=8.抛物线24y x =,过点(2,0)的直线AC 和BD 相互垂直(斜率均存在),M N 、分别是AC 和BD 的中点.求证:直线MN 过定点.方法1:由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设()()1:2,:2AC y k x BD y x k=-=--,由抛物线第三定义可知()222222222222, ,1212222222,2M M MN N N k y p k M y k k k k k k k y p k y k N k k k k ⎧⎧⎧⎛⎫⋅==⎪--⎪⎪+=⇒ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒⇒==⎨⎨⎨-⎛⎫-⋅==⎪⎪⎪+-+=-+- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩⎩分刟代人直线 故直线MN 方程为()()()222222411k k y k x k y x k k--=--⇒=---,故直线MN 过定点()4,0方法2:由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0, 设()()1:2,:2AC y k x BD y x k=-=--,由抛物线第三定义可知()2222222,,12222,2M MN N k y p M y k k k y p y k N k k k ⎧⎧⎪⎪⎛⎫⋅==⎪⎪+= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎪⎪-⋅===-+-⎪⎪⎩⎩分别代入直线 令222222k k+=+得21k =, 此时2222224k k+=+=,故直线MN 过点()4,0H , 当21k ≠时,22222020,22241124NH MH k k kkk k k k k k---====+---+-. 所以,,,NH MH k k M H N =三点共线,所以直线MN 过定点()4,0H .9.双曲线221169x y -=,过点()5,0P 的直线AB 和CD 相互垂直(斜率存在),M N 、分别是AB 和CD 的中点. 求证:直线MN 过定点.方法1:设AB 直线为()()115,,y k x M x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得()212121121111280991691616455169OM ABk y x k y b k x k k k a x ky k x y k ⎧⎧=⎪⎪⋅=⎪⎪-⋅=⇒⋅=⇒⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪-⎩⎩,所以2228045,169169k k M k k ⎛⎫⎪--⎝⎭(1)当0k =时,M 点即是P 点,此时,直线MN 为x 轴.(2)当0k ≠时,将上式M 点坐标中的k 换成1k -,同理可得228045,169169k N k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭. (1)当直线MN 不垂直于x 轴时,直线MN 的斜率()222222454571691698080161169169MN k kk k k k k kk k +--==----, 其方程()22245780169169161k k y x k k k -⎛⎫-=- ⎪---⎝⎭,化简得()27807161k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,所以直线MN 过定点80,07⎛⎫⎪⎝⎭;(2)当直线MN 垂直于x 轴时,2228080169169k k k =--,此时,1k =±,直线MN 也过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述,直线MN 过定点80,07⎛⎫⎪⎝⎭.方法2:设AB 直线为()()115,,y k x M x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得()212121121111280991691616455169OM ABk y x k y b k x k k k a x ky k x y k ⎧⎧=⎪⎪⋅=⎪⎪-⋅=⇒⋅=⇒⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪-⎩⎩,所以2228045,169169k k M k k ⎛⎫⎪--⎝⎭(1)当0k =时,M 点即是P 点,此时,直线MN 为x 轴.(2)当0k ≠时,将上式M 点坐标中的k 换成1k -,同理可得228045,169169k N k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 令2228080169169k k k =--得21k =,设MN 过定点H 此时2228080801691697k k k ==--,故直线MN 过点80,07H ⎛⎫⎪⎝⎭, 当21k ≠时,()()222222245450077169169,8080808016116116971697MHNHk kk k k k k k k k k k k -----====------. 所以,,,NH MH k k M H N =三点共线,所以直线MN 过定点80,07H ⎛⎫⎪⎝⎭. 10.椭圆22143x y +=,过点()1,0F 的直线AB 和CD 相互垂直(斜率存在),M N 、分别是AB 和CD 的中点.求证:直线MN 过定点.方法1:设AB 直线为()()111,,y k x M x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得()212121121111243334443134OM ABk y x k y b k x k k k a x ky k x y k ⎧⎧=⎪⎪⋅=-⎪⎪+⋅=-⇒⋅=-⇒⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩,所以22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭(1)当0k =时,M 点即是F 点,此时,直线MN 为x 轴.(2)当0k ≠时,将上式M 点坐标中的k 换成1k -,同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.(1)当直线MN 不垂直于x 轴时,直线MN 的斜率()222222337343444413434MN k kk k k k k k k k --++==--++, 其方程()2222374343441k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪++-⎝⎭,化简得()274741k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,所以直线MN 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭;(2)当直线MN 垂直于x 轴时,222443434k k k =++,此时,1k =±,直线MN 也过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述,直线MN 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭.方法2:设AB 直线为()()111,,y k x M x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得()2121211211112ˆ34334443134OM ABk y x k y b k x k k k a x ky k x y k ⎧⎧=⎪⎪⋅=-⎪⎪+⋅=-⇒⋅=-⇒⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩,所以22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭(1)当0k =时,M 点即是F 点,此时,直线MN 为x 轴.(2)当0k ≠时,将上式M 点坐标中的k 换成1k -,同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.令222443434k k k =++得21k =,设MN 过定点H . 此时22244434347k k k ==++,故直线MN 过点4,07⎛⎫⎪⎝⎭, 当21k ≠时,22222223300773434,44444444347347MHNH k kk kk k k k k k k k k -----++====----++.所以,,,NH MH k k M H N =三点共线,所以直线MN 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭.。
